空间几何体的表面积与体积ppt课件

1 3 1柱体 椎体 台体的表面积与体积 一 柱体 锥体 台体的表面积 1 矩形面积公式 2 三角形面积公式 正三角形面积公式 3 圆面积面积公式 4 圆周长公式 5 扇形面积公式 6 梯形面积公式 复习回顾 柱体 锥体 台体 球 几何体的分类 多面体 旋转体 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积 你知道正方体和长方体的表面积怎样得到的 几何体表面积 把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开 得到什么图形 侧面积怎么求 正棱锥的侧面展开图是什么 侧面展开 正棱锥的侧面积如何计算 表面积如何计算 正棱台的侧面展开图是什么 侧面展开 正棱台的侧面积如何计算 表面积如何计算 棱柱 棱锥 棱台的表面积 一般地 多面体的表面积就是各个面的面积之和 表面积 侧面积 底面积 小结 1 弄清楚柱 锥 台的侧面展开图的形状是关键 2 对应的面积公式 例1已知棱长为a 各面均为等边三角形的四面体S ABC 求它的表面积 例1已知棱长为a 各面均为等边三角形的四面体S ABC 求它的表面积 所以 因此 四面体S ABC的表面积 交BC于点D 解 先求的面积 过点S作 典型例题 因为 求多面体的表面积可以通过求各个平面多边形的面积和得到 那么旋转体的表面积该如何求呢 思考 三者之间关系 圆柱 圆锥 圆台三者的表面积公式之间有什么关系 例2如图 一个圆台形花盆盆口直径20cm 盆底直径为15cm 底部渗水圆孔直径为1 5cm 盆壁长15cm 那么花盆的表面积约是多少平方厘米 取3 14 结果精确到1 解 由圆台的表面积公式得花盆的表面积 答 花盆的表面积约是999 典型例题 各面面积之和 小结 展开图 圆台 圆柱 圆锥 空间问题转化成平面问题 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 所用的数学思想 柱体 锥体 台体的表面积 二 柱体 锥体 台体的体积 长方体体积 正方体体积 圆柱的体积 a b h a a a h 底面积 高 柱体体积 以前学过特殊的棱柱 正方体 长方体以及圆柱的体积公式 它们的体积公式可以统一为 柱体体积 3 1 锥体 棱锥 圆锥 的体积 底面积S 高h 注意 三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换 四面体的每一个面都可以作为底面 可以用来求点到面的距离 问题 锥体 棱锥 圆锥 的体积 锥体体积 其中S为底面面积 h为高 h 由此可知 棱柱与圆柱的体积公式类似 都是底面面积乘高 棱锥与圆锥的体积公式类似 都是底面面积乘高的 h x 四 台体的体积 V台体 上下底面积分别是s s 高是h 则 台体 棱台 圆台 的体积公式 台体体积 柱体 锥体 台体的体积公式之间有什么关系 S为底面面积 h为柱体高 分别为上 下底面面积 h为台体高 S为底面面积 h为锥体高 例2如图 一个圆台形花盆盆口直径20cm 盆底直径为15cm 底部渗水圆孔直径为1 5cm 盆壁长15cm 那么花盆的表面积约是多少平方厘米 例3有一堆规格相同的铁制 铁的密度是 六角螺帽共重5 8kg 已知底面是正六边形 边长为12mm 内孔直径为10mm 高为10mm 问这堆螺帽大约有多少个 取3 14 解 六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差 即 答 这堆螺帽大约有252个 典型例题 R R 球的体积 一个半径和高都等于R的圆柱 挖去一个以上底面为底面 下底面圆心为顶点的圆锥后 所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等 探究 R R 半径为R的球的体积 第一步 分割 O 球面被分割成n个网格 表面积分别为 则球的表面积 则球的体积为 设 小锥体 的体积为 知识点三 球的表面积和体积 O 第二步 求近似和 O 由第一步得 第三步 转化为球的表面积 如果网格分的越细 则 由 得 半径为R的球的表面积公式 设球的半径为R 则球的体积公式为V球 4 3 R3 例1 2009年高考上海卷 若球O1 O2表面积之比 4 则它们的半径之比 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 例2 例3 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 略解 变题1 如果球O和这个正方体的六个面都相切 则有S 变题2 如果球O和这个正方体的各条棱都相切 则有S 关键 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系 例4已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 解 如图 设球O半径为R 截面 O 的半径为r 题型一旋转体的表面积及其体积如图所示 半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴 旋转一周得到一几何体 求该几何体的表面积 其中 BAC 30 及其体积 先分析阴影部分旋转后形成几何体的形状 再求表面积 解如图所示 过C作CO1 AB于O1 在半圆中可得 BCA 90 BAC 30 AB 2R AC BC R S球 4 R2 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状 再将图形进行合理的分割 然后利用有关公式进行计算 知能迁移2已知球的半径为R 在球内作一个内接圆柱 这个圆柱底面半径与高为何值时 它的侧面积最大 侧面积的最大值是多少 解如图为轴截面 设圆柱的高为h 底面半径为r 侧面积为S 则 知能迁移2已知球的半径为R 在球内作一个内接圆柱 这个圆柱底面半径与高为何值时 它的侧面积最大 侧面积的最大值是多少 解如图为轴截面 设圆柱的高为h 底面半径为r 侧面积为S 则 题型二多面体的表面积及其体积一个正三棱锥的底面边长为6 侧棱长为 求这个三棱锥的体积 本题为求棱锥的体积问题 已知底面边长和侧棱长 可先求出三棱锥的底面面积和高 再根据体积公式求出其体积 解如图所示 正三棱锥S ABC 设H为正 ABC的中心 连接SH 则SH的长即为该正三棱锥的高 连接AH并延长交BC于E 则E为BC的中点 且AH BC ABC是边长为6的正三角形 求锥体的体积 要选择适当的底面和高 然后应用公式进行计算即可 常用方法 割补法和等积变换法 1 割补法 求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体 锥体 分别求出锥体和柱体的体积 从而得出几何体的体积 2 等积变换法 利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面 求体积时 可选择容易计算的方式来计算 利用 等积性 可求 点到面的距离 题型三组合体的表面积及其体积 12分 如图所示 在等腰梯形ABCD中 AB 2DC 2 DAB 60 E为AB的中点 将 ADE与 BEC分别沿ED EC向上折起 使A B重合 求形成的三棱锥的外接球的体积 易知折叠成的几何体是棱长为1的正四面体 要求外接球的体积只要求出外接球的半径即可 解由已知条件知 平面图形中AE EB BC CD DA DE EC 1 折叠后得到一个正四面体 2分 方法一作AF 平面DEC 垂足为F F即为 DEC的中心 取EC的中点G 连接DG