高中数学第一章直线多边形圆1.2圆与直线1.2.1圆周角定理学案.docx

1.21圆周角定理课标解读1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论2会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.1圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半2圆周角定理的两个推论推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弧是半圆1通过圆周角定理及其推论判断：“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确【提示】不正确“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图若ABDG，则BACEDF，但.2圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】不一定相等一般有两种情况：相等或互补弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补与圆周角定理相关的证明如图121，已知：ABC内接于O，D、E在BC边上，且BDCE，12.图121求证：ABAC.【思路探究】证明此题可先添加辅助线，再由圆周角12得到其所对弧相等进而构造等弦、等弧的条件【自主解答】延长AD、AE，分别交O于F、G，连接BF、CG，12，BFCG，FBCGCE.又BDCE，BFDCGE，FG，ABAC.1解答本题时利用12，添加辅助线，构造等弧是解题的关键2利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件如图122，ABC内接于O，高AD、BE相交于H，AD的延长线交O于F，求证：BFBH.图122【证明】BEAC，ADBC，AHEC.AHEBHF，FC，BHFF.BFBH.直径所对的圆周角图123如图123所示，AB是半圆的直径，AC为弦，且ACBC43，AB10 cm，ODAC于D.求四边形OBCD的面积【思路探究】由AB是半圆的直径知C90，由条件求出AC，BC，四边形OBCD面积可求【自主解答】AB是半圆的直径，C90.ACBC43，可设AC4x，BC3x.又AB10，16x29x2100，x2，AC8 cm，BC6 cm.又ODAC，ODBC，AD4 cm，OD3 cm.S四边形OBCDSABCSAOD683424618(cm2)1解答本题时利用ACBC43，得到AC与BC的关系，然后根据勾股定理可求出AC与BC的长度2在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等图124如图124，AB是O的直径，AB2 cm，点C在圆周上，且BAC30，ABD120，CDBD于D.求BD的长【解】如图，连接BC，AB为O的直径，ACB90.A30，AB2 cm，BC1(cm)ABD120，DBC1206060.CDBD，BCD906030，BD0.5(cm)与圆周角定理有关的计算问题图125已知：如图125，ABC内接于O，点D是上一点，AD交BC于E点，AD6 cm，BD5 cm，CD3 cm，求DE的长【思路探究】解答本题可先观察图形，AD，BD，CD及未知边DE，分别在ABD与CED中，再证明ABDCED，利用相似三角形的性质求得DE的长【自主解答】，ADBCDE，又，BADECD，ABDCED，即，DE2.5(cm)1解答本题时寻找已知和未知的关系，从而确定ABD与CED的相似关系，是解答本题的关键2和圆周角定理有关的线段、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过比例线段，相似三角形来计算图126(2011湖南高考)如图126，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_【解析】如图，连接CE、AO、AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得CEB90，CBE30，AOB60.故AOB为等边三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.【答案】图127(教材第12页练习第1题)已知：如图127，ABC内接于O，AEBC，垂足为E，AD是O的直径求证：ABACADAE.(2012课标全国卷)如图128，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：图128(1)CDBC；(2)BCDGBD.【命题意图】本题考查平面几何中线段的相等以及三角形相似的判定，以及逻辑推理能力【证明】(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1)可知BDCF，所以GBBD，所以BGDBDG.由BCCD知CBDCDB，又因为DGBEFCDBC，所以BCDGBD.图1291如图129，AB为O的直径，C、D是O上的两点，BAC20，则DAC的度数是()A30B35C45 D70【解析】BAC20，【答案】B2在半径等于7 cm的圆内有长为7 cm的弦，则此弦所对的圆周角为()A60或120 B30或150C60 D120【解析】如图所示，O的半径为7 cm，AB7 cm，过O作OCAB于C，则AC cm，sinAOC，AOC60，AOB120.又圆的一条弦所对的圆周角相等或互补，故弦AB所对的圆周角为60或120.【答案】A3ABC内接于O，且345，则A_，B_，C_.【解析】345，的度数为90，的度数为120，的度数为150，A60，B75，C45.【答案】6075454如图1210，A、B、C是O的圆周上三点，若BOC3BOA，则CAB是ACB的_倍图1210【解析】ACBAOB，CABBOC，又BOC3BOA，CAB3ACB.【答案】3一、选择题图12111如图1211，已知圆心角AOB的度数为100，则圆周角ACB的度数是()A80B100C120 D130【解析】AOB100，所对圆心角为260，ACB130.【答案】D2如图1212，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么等于()图1212AsinBPD BcosBPDCtanBPD D以上答案都不对【解析】连接BD，由BA是直径，知ADB是直角三角形根据CPDAPB，cosBPD.【答案】B图12133如图1213所示，A50，ABC60，BD是O的直径，则AEB等于()A70B110C90D120【解析】由题意知，DA50，BCD90，CBD905040.又ACB180506070，AEBCBDACB4070110.【答案】B4如图1214，点A、B、C是圆O上的点，且AB4，ACB30，则圆O的面积等于()图1214A4 B8C12 D16【解析】连接OA，OB.ACB30，AOB60.又OAOB，AOB为等边三角形又AB4，OAOB4.SO4216.【答案】D二、填空题5如图1215所示，AB是O的直径，D是的中点，ABD20，则BCE_(答案用数值表示)图1215【解析】连接AD、DE，ABD20，AED20，又D是的中点，DACDEA20.又AB是O的直径，ADB90，DCA70，BCE70.【答案】706(2013商丘模拟)如图1216，AB为O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB3，CD1，则sinAPD_.图1216【解析】由于AB为O的直径，则ADP90，所以APD是直角三角形则sinAPD，cosAPD，由题意知，DCPABP，CDPBAP，所以PCDPBA.所以，又AB3，CD1，则.cosAPD.又sin2APDcos2APD1，sinAPD.【答案】三、解答题图12177如图1217，G是BC为直径的圆上一点，A是劣弧的中点，ADBC，D为垂足，连接AC、BG，其中BG交AD、AC于点E、F.求证：BEEF.【证明】连接AB，BC为直径，BAC90，2DAC90.CDAC90，2C.，1C，12，AEBE.又1BFA90，2DAF90，BFADAF，AEEF，BEEF.8如图1218，已知ABC内接于O，AD平分BAC交O于D，DEBA交O于E.求证：ACDE.图1218【证明】连接AE、DC.AD平分BAC，BADDAC.ABED，BADADE，DACADE.是公共弧，EACEDC，DACCAEADEEDC，DAEADC，ACDE.图12199(2012江苏高考)如图1219，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BDDC，连接AC、AE、DE.求证：EC.【证明】如图，连接OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB.于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周