广东省珠海市实验中学、东莞六中、河源高级中学三校2020届高考数学下学期第一次联考试题 理 答案.pdf

1 珠海市实验中学 东莞市第六高级中学 河源高级中学 2020 届高考联盟第一次联考 理科数学试题理科数学试题 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 badca abbcb db 12 解析 将正方体展开如图 不难发现六边形的六边形成一条直线且与ba1平行 显然周长l是一个定值 对于面积s 当截面在 11b a中点时 截面为正六边形面积为 2 24 3 l 当截面在 1 a时 截面为正三角形面积 为 2 36 3 l 故s不为定值 二二 填空题填空题 13 8 14 150 15 85 16 2020 2020 2 1 2021 1 s 16 解析 当 1n 时 1 0s 当 2n 时 1 1 nn n sa n n 11 11121 2 111 nnnnn sssss nnnnn 1 11 11111111 1222212 nnn nnn ssss nnn 故 2020 2020 2 1 2021 1 s 三 解答题三 解答题 17 解 1 5 3 sin a a为 锐 角 5 4 cos a 在 abd中 由 余 弦 定 理 得 aabadabadbdcos2 222 0208 2 abab 得 210舍去或 abab ab 10 5 分 2 c a d b s q e f o 2 由 1 可知aadabs abd sin 2 1 15 5 3 510 2 1 6 分 abcd 四 点 共 圆 ca 5 4 cos 5 3 sin cc 在 bcd中 由 正 弦 定 理 得 dbc cd c bd sinsin 即 dbc sin 5 5 3 53 得 5 5 sin dbc 8 分 5 52 cos dbc sin sinbcddbcbdc sin bcddbc 25 52 5 3 5 52 5 4 5 5 10 分 bdccdbds bcd sin 2 1 3 25 52 553 2 1 11 分 四边形abcd面积18315 s 12 分 18 解析 1 证明 连结 ac 交 bd 于点 o 连结so 在平行四边形abcd中 ad cd acbd 且o为ac bd的中点 sbsd bdso osoac 且sacsoac平面 sacbd平面 scbdsacsc 平面 aeqfbd平面 且efsbdaeqf 平面平面 efbd scef 4 分 2 sacabcdsacbd平面 故平面平面 可知由 1 的中点 为且acoscsa acso 又acsacabcd 平面平面 abcdso平面 saoabcdsa 所成角为与平面 5 分 sa 与平面abcd所成角的正弦值为 2 3 32 sa且3 3 soao 6 分 3 c a d b s q e f o x y z 1 2 obabaobrt由勾股定理得 中 在 则 轴建立空间直角坐标系为为坐标原点 分别以如图 以zyxosoboao 3 0 0 0 1 0 0 0 3 0 10 0 0 3 sdcba 的中点 为scq 2 3 0 2 3 q 2 3 0 2 33 0 2 0 aqbd 则 7 分 0 0 1 msbd的一个法向量为易知 平面 8 分 则 因为的法向量为设平面bdefzyxnaeqf 0 2 3 2 33 02 0 0 zx y aqn bdn 即 3 0 1 301 naeqfzyx的一个法向量为 故可取平面 则 令 10 分 2 1 31 1 cos nm nm nm 11 分 2 1 余弦值为所成锐二面角的与平面平面aeqfsbd 12 分 19 解 1 法一 焦点 1 0f 当直线l斜率不存在时 方程为1x 与抛物线的交点坐标分别为 1 2 1 2 此时 4ab 不符合题意 故直线的斜率存在 1 分 设直线l方程为 1yk x 与 2 4yx 联立得 2222 220k xkxk 当0k 时 方程只有一根 不符合题意 故0k 2 12 2 22k xx k 抛物线的准线方程为1x 由抛物线的定义得 2 12 2 22 1128 k abafbfxx k 4 解得1k 4 分 所以l方程为1yx 或1yx 5 分 法二 焦点 1 0f 显然直线l不平行于x轴 设直线l方程为1xmy 与 2 4yx 联立得 2 440ymy 设 1122 a x yb xy 1212 4 4yym y y 2 分 2222 222 1212121212 1144 1abxxyymyymyyy ym 由 8ab 解得1m 4 分 所以l方程为1yx 或1yx 5 分 2 设 1122 a x yb xy 设直线l方程为 0 xmyb m 与 2 4yx 联立得 2 440ymyb 1212 4 4yym y yb 6 分 由aeobeo 得 eaeb kk 即 12 12 22 yy xx 7 分 整理得 1 21122 220y xyx yy 即 121122 220y mybymyb yy 整理得 1212 220my ybyy 9 分 即 8420bmbm 即2b 11 分 故直线l方程为2xmy 过定点 2 0 12 分 20 1 i 依题意 200 个零件的直径平均值为 由标准差公式得 65 5 第一天 第二天 则 故 注 如果写出不给分 3 分 ii 由 1 可知 196 33 58 771 3 0 980 9974 200 pxpx 仅满足一个不等式 判断流水线 m 的等级为合格 6 分 2 可知 200 件零件中合格品 7 个 次品 4 个 的可能取值为 0 1 2 则 的分布列 则 12 分 21 解 1 函数 2 2lnf xxax 的定义域是 0 2 22 1 2 ax fxax xx 0 x 1 分 当0a 时 0fx 函数 f x的单调递增区间为 0 没有单调递减区间 当0a 时 令 0fx 得 a x a 当 0 a x a 时 0fx 当 a x a 时 0fx 2 100 2 1 1 65 100484 i i x 2 100 2 2 1 65 100400 i i x 200 22 1 11 65 484400 4 42 200200 i i x 4 42 2 10 1 2 202 2 10 2 164 62 967 1 0 820 6826 200 pxpx 189 22 60 869 2 0 9450 9544 200 pxpx 2 7 2 11 21 0 55 c p c 11 74 2 11 28 1 55 c c p c 2 4 2 11 6 2 55 c p c 012 p 21 55 28 55 6 55 212868 012 55555511 e 6 函数 f x的单调递增区间为 0 a a 单调递减区间为 a a 3 分 综上所述 当0a 时 函数 f x的单调递增区间为 0 没有单调递减区间 当0a 时 函数 f x的单调递增区间为 0 a a 单调递减区间为 a a 4 分 2 证明 f x有最大值且最大值是 1 由 1 知 0a 且 max ln11 a f xfa a 1a 5 分 法一 二次部分求导 用隐零点求最值问题 设 2 1 342ln x h xg xf xxexxx 2 2 21 1 2 23 2 2 2 xxx xx h xxexxexe xxx 6 分 又设 x ex x 1 2 则0 1 2 x ex x 所以 x 在 0 上单调递增 因为042 4 1 4 1 e 032 3 1 3 1 e 所以存在 3 1 4 1 0 x 使得0 0 x 当 0 0 xx 时 0 x 当 0 xx时 0 x 所以当 0 0 xx 时 0 xh xh单调递减 当 0 xx时 0 xh xh单调递增 0 2 min00000 1 342ln x h xh xxexxx 由 0 1 2 0 0 x e x 得 2 1 0 0 x e x 8 分 所以 2 00000 0 1 12342lnh xxxxx x 2 000 0 1 52lnxxx x 3 1 4 1 0 x 9 分 设 2 1 52lnxxxx x 3 1 4 1 x 7 222 222 122 1 1 1 21 21 xxxx xx xxxxx 10 分 所以当 3 1 4 1 x时 0 x x 在 3 1 4 1 单调递减 2 00 11114 532ln22ln30 33339 h xx 11 分 因此 0h x 即 xgxf 得证 12 分 法二 放缩法 用隐零点求最值问题 上接1a 2 1 342ln x g xf xxexxx 当0 x 时 易证 1 ln1 x exxx 证明如下 1 0 10 0 0 0 xx p xexxp xep x p xp 设 在上单调递增 1 x ex 5 分 11 ln1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 x q xxxxq x xx xq x xq x p x p xp 设 当时 当时 在上单调递减 上单调递增 ln1xx 6 分 22 1 1 342ln253 2lng xf xxxxxxxxx 7 分 2 253 2lnh xxxx 设 2 2452 45 0 xx h xxx xx 显然 2 4520 xx 有异号两根 设正根为 0 x 2 00 4520 xx 9 分 00 00 0 2 0 000000 0 00000 0 0 0 0 52 2532ln532ln 2 54 2ln222ln2 1 ln 0 2 xxh xxxh x h xxx h xh x x h xxxxxx x xxxxx 则当时 当时 在上单调递减 上单调递增 11 分 0 0h xg xf xh x 即 xgxf 得证 12 分 8 22 解 1 直线l的极坐标方程为 2 sin 42 即 sin cos 10 由 cosx siny 可得直线l的直角坐标方程为 10 xy 将曲线c的参数方程 3cos sin x y 消去参数 得曲线c的普通方程为 2 2 3 1 x y 5 分 2 设 3cos bsin 0 2 点a的极坐标2 4 化为直角坐标为1 1 则 3cos1 sin1 22 g 点g到直线l的距离 3cos 1sin 1 22 sin 1 22 2 2 2 3 d 当sin 1 3 时 等