高中数学必修二 第四章 圆的方程 全套ppt课件

第四章 4 1 4 3 4 2 4 1 圆的方程 主要内容 4 1 2圆的一般方程 4 1 1圆的标准方程 4 1 1 圆的标准方程 思考 在平面直角坐标系中 如何确定一个圆呢 在平面直角坐标系中 两点确定一条直线 一点和倾斜角也能确定一条直线 平面内到定点的距离等于定长的点的集合 定点 定长 圆心 半径 r C 圆的定义 当圆心位置与半径大小确定后 圆就唯一确定了 因此一个圆最基本要素是圆心和半径 如图 在直角坐标系中 圆心 点 A的位置用坐标 a b 表示 半径r的大小等于圆上任意点M x y 与圆心A a b 的距离 x O C M x y y x y O C M x y 圆心C a b 半径r 特别地 若圆心为O 0 0 则圆的方程为 标准方程 圆的标准方程 已知圆的圆心为C a b 半径为r 求圆的方程 x y O C M x y 解 设点M x y 为圆C上任一点 P M MC r 圆上所有点的集合 探究 在直角坐标系中 已知点M x0 y0 和圆C 如何判断点M在圆外 圆上 圆内 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点M在圆C外 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点M在圆C上 x0 a 2 y0 b 2 r2时 点M在圆C内 探究 x y O C M 1 点M在圆外 MC r 2 点M在圆上 MC r 3 点M在圆内 MC r 例1写出圆心为 半径长等于5的圆的方程 并判断点 是否在这个圆上 解 圆心是 半径长等于5的圆的标准方程是 把的坐标代入圆的方程 左右两边相等 点的坐标适合圆的方程 所以点在这个圆上 把点的坐标代入方程 左右两边不相等 点的坐标不适合圆的方程 所以点不在这个圆上 例2的三个顶点的坐标分别为A 5 1 B 7 3 C 2 8 求它的外接圆的方程 分析 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 三角形有唯一的外接圆 解 设所求圆的方程是 因为A 5 1 B 7 3 C 2 8 都在圆上 所以它们的坐标都满足圆的方程 于是 所以 的外接圆的方程是 解此方程组 得 结论 在平面直角坐标系中 已知三个点的坐标可以确定一个圆的方程 例3已知圆心为C的圆经过点A 1 1 和B 2 2 且圆心C在直线上l x y 1 0 求圆心为C的圆的标准方程 分析 如图 确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小 圆心为C的圆经过点A 1 1 和B 2 2 由于圆心C与A B两点的距离相等 所以圆心C在线段AB的垂直平分线上 又圆心C在直线l上 因此圆心C是直线l与直线的交点 半径长等于 CA 或 CB 即 因此线段AB的垂直平分线的方程是 解此方程组 得 所以圆心C的坐标是 圆心为C的圆的半径长 所以 圆心为C的圆的标准方程是 小结 1 圆的标准方程的结构特点 2 点与圆的位置关系的判定 3 求圆的标准方程的方法 待定系数法 代入法 作业 P120 121练习 1 2 3 4 4 1 2 圆的一般方程 思考 1 圆的标准方程展开可得到一个什么式子 2 方程与都表示的图形是圆吗 解 分别配方得 思考 第一个方程表示以 1 2 为圆心 2为半径长的圆 第二个方程没有实数解 不存在点的坐标 x y 满足这个方程 它不表示任何图形 方程在什么条件下表示圆 探究 1 当时 表示圆 2 当时 表示点 3 当时 不表示任何图形 圆的一般方程 其中 练习 判断下列方程是不是表示圆 表示以 2 3 为圆心 以3为半径的圆 表示点 2 3 不表示任何图形 比较 圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点 圆的一般方程的特点 1 x2 y2的系数相同 都不为0 2 没有形如xy的二次项 圆的一般方程与圆的标准方程各有特点 1 圆的标准方程带有明显的几何的影子 圆心和半径一目了然 2 圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构 更适合方程理论的运用 思考 例1求过三点O 0 0 A 1 1 B 4 2 的圆的方程 并求出这个圆的半径长和圆心坐标 解 设所求圆的方程为 因为A 5 1 B 7 3 C 2 8 都在圆上 所求圆的方程为 上述解法用了一般方程 请你比较上节课的标准方程的解法 探究 用标准方程解答 待定系数法 解 设所求圆的方程为 因为A 5 1 B 7 3 C 2 8 都在圆上 所求圆的方程为 例2已知线段AB的端点B的坐标是 4 3 端点A在圆 x 1 2 y2 4上运动 求线段AB的中点M的轨迹方程 例2方程表示的图形是一个圆 求a的取值范围 小结 1 圆的一般方程的结构特点 2 用配方法化一般方程为标准方程 3 求圆的一般方程的方法 待定系数法 代入法 小结 求圆的方程 几何方法 求圆心坐标 两条直线的交点 常用弦的中垂线 求半径 圆心到圆上一点的距离 写出圆的标准方程 待定系数法 列关于a b r 或D E F 的方程组 解出a b r 或D E F 写出标准方程 或一般方程 作业 P123练习 1 2 3 P124习题4 1A组 1 2 3 4 4 2 直线 圆的位置关系 主要内容 4 2 2圆与圆的位置关系 4 2 3直线与圆的方程的应用 4 2 1直线与圆的位置关系 4 2 1 直线与圆的位置关系 问题 一艘轮船在沿直线返回港口的途中 接到气象台的台风预报 台风中心位于轮船正西70km处 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域 已知港口位于台风中心正北40km处 如果这艘轮船不改变航线 那么它是否会受到台风的影响 这样 受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为 轮船航线所在直线l的方程为 问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点 O 想一想 平面几何中 直线与圆有哪几种位置关系 平面几何中 直线与圆有三种位置关系 分析 方法一代数法 判断直线l与圆的位置关系 就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解 方法二几何法 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系 判断直线与圆的位置关系 解法一 由直线l与圆的方程 得 例1如下图 已知直线l 和圆心为C的圆 判断直线l与圆的位置关系 如果相交 求它们交点的坐标 因为 1 0 所以 直线l与圆相交 有两个公共点 解法二 圆可化为 其圆心C的坐标为 0 1 半径长为 点C 0 1 到直线l的距离 代入 消去y 得 由 解得 所以 直线l与圆相交 有两个公共点 所以 直线l与圆有两个交点 它们的坐标分别是 把代入方程 得 把代入方程 得 A 2 0 B 1 3 判断直线与圆的位置关系常用几何法 方法二 但如果求交点坐标就最好用代数方法 方法一 了 解 将圆的方程写成标准形式 得 如图 因为直线l被圆所截得的弦长是 所以弦心距为 例2已知过点的直线被圆所截得的弦长为 求直线的方程 即圆心到所求直线的距离为 因为直线l过点 所以可设所求直线l的方程为 即 根据点到直线的距离公式 得到圆心到直线l的距离 因此 即 两边平方 并整理得到 解得 所以 所求直线l有两条 它们的方程分别为 或 即 直线方程化为一般式 1 设点M x0 y0 为圆x2 y2 r2上一点 如何求过点M的圆的切线方程 x0 x y0y r2 思考题 2 设点M x0 y0 为圆x2 y2 r2外一点 如何求过点M的圆的切线方程 思考题 小结 1 直线和圆的位置关系的判断 2 会求弦长和圆的切线 代数法 几何法 圆心到直线的距离和半径的关系 解直线和圆方程联立的方程组 判断直线和圆的位置关系 几何方法 求圆心坐标及半径r 配方法 圆心到直线的距离d 点到直线距离公式 代数方法 消去y 或x 作业 P128练习 2 3 4 P132习题4 2A组 1 2 3 5 4 2 2 圆与圆的位置关系 思考 圆与圆的位置关系有哪几种 如何根据圆的方程 判断它们之间的位置关系 圆与圆的位置关系 外离 O1O2 R r O1O2 R r R r O1O2 R r O1O2 R r 0 O1O2 R r O1O2 0 外切 相交 内切 内含 同心圆 内含 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 几何方法 两圆心坐标及半径 配方法 圆心距d 两点间距离公式 比较d和r1 r2的大小 下结论 代数方法 消去y 或x 两个圆的方程联立解方程组 根据解的个数判定两圆的位置关系 例1已知圆C1 x2 y2 2x 8y 8 0 圆C2 x2 y2 4x 4y 2 0 判断圆C1与圆C2的位置关系 分析 方法一圆C1圆C2有几个公共点 由它们的方程组成的方程组有几组实数解确定 方法二 可以依据连心线的长与两个半径长的和r1 r2或两半径长的差的绝对值 r1 r2 的大小关系 判断两圆的位置关系 思考 比较上述两种解法的优劣 如果例1中要求公共点的坐标 用哪求法比较合适 显然上述例子中只要判断两圆的位置关系 用几何方法比较简单 但如果要求公共点的坐标 必须用代数方法求解方程组 例2 求经过点M 3 1 且与圆切于点N 1 2 的圆的方程 y O C1 M N C x D 分析 求圆的方程主要找到圆心C a b 和半径r即可 r CM 显然 圆心C在已知圆圆心C1和切点N的连线上 同时圆心C又在MN的垂直平分线上 所以只要写出直线C1N方程和MN的垂直平分线方程即可联立求得圆心 例3已知一个圆的圆心为M 2 1 且与圆C x2 y2 3x 0相交于A B两点 若圆心M到直线AB的距离为 求圆M的方程 x2 y2 4x 2y 1 0 例4 求圆关于直线对称的圆的方程 C E D a b 解 设对称圆圆心为D a b 半径同圆C 满足 1 若两圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0和C2 x2 y2 D2x E2y F2 0相交 则其公共弦所在直线的方程是 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0 那么过交点的圆系方程是什么 m x2 y2 D1x E1y F1 n x2 y2 D2x E2y F2 0 拓展 2 若两圆C1 x2 y2 D1x E1y F1 0和C2 x2 y2 D2x E2y F2 0相切 则方程 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0表示的直线是什么 若两圆相离呢 拓展 小结 1 圆和圆的位置关系的判断 2 会求相交圆的公共交点坐标 代数法 几何法 圆心到直线的距离和半径的关系 解直线和圆方程联立的方程组 作业 P132习题4 2A组 4 6 9 11 4 2 3 直线与圆的方程的应用 1 平面几何 立体几何和解析几何在研究问题时的本质区别是什么 2 坐标在几何学和代数学之间的联系起了什么作用 复习 在平面直角坐标系下 与坐标有关的问题 1 两点间距离公式 2 直线的方程点到直线的距离 平行直线间距离 3 圆的方程点 直线 圆和圆的位置关系 4 解决问题的出发点 2 几何方法 1 代数方法 譬如 用解方程组的方法判断直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 譬如 用平面几何相切的意义来判断直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 5 用建立坐标系的方法解决实际问题或平面几何中问题 例1 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图 这个圆的圆拱跨度AB 20m 拱高OP 4m 建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑 求支柱A2P2的高度 精确到0 01m 分析 如图所示 建立直角坐标系 求出圆弧所在的圆的方程 那么只要知道点P2的坐标 就可得出支柱A2P2的高度 化几何问题为代数问题 例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直 求证 圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半 分析 许多平面几何问题常利用 坐标法 来解决 首先选择合适的位置建立适当的直角坐标系 由于四边形的对角线互相垂直 以对角线为坐标轴较好 进而设定四个顶点坐标 随后用坐标法验证本题的结论 A O D C B 例3如图 在Rt AOB中 OA 4 OB 3 AOB 90 点P是 AOB内切圆上任意一点 求点P到顶点A O B的距离的平方和的最大值和最小值 分析 建立适当的坐标系 求出点P所在的圆的方程 再写出点P到顶点的距离的平方和 用代数方法求出最值 例4如图 圆O1和圆O2的半径都等于1 圆心距为4 过动点P分别作圆O1和圆O2的切线 切点为M N 且使得 PM PN 试求点P的运动轨迹是什么曲线 分析 建立适当的坐标系 求出点P的轨迹方程 在依据方程判断点P的运动轨迹 思想方法小结 用坐标法解决几何问题时 先用坐标和方程表示相应的几何元素 点 直线 圆 将几何问题转化为代数问题 然后通过代数运算解决代数问题 最后解释代数运算结果的几何含义 得到几何问题的结论 这就是用坐标法解决平面几何问题的 三步曲 第一步 建立适当的平面直角坐标系 用坐标和方程表示问题中的几何元素 将平面几何问题转化为代数问题 第二步 通过代数运算 解决代数问题 第三步 把代数运算结果 翻译 成几何结论 坐标法 三步曲 作业 P132练习 1 2 3 4 P133习题4 2B组 1 2 3 4 3 空间直角坐标系 主要内容 4 3 2空间两点间的距离公式 4 3 1空间直角坐标系 4 3 1 空间直角坐标系 问题引入 1 数轴Ox上的点M 用代数的方法怎样表示呢 2 直角坐标平面上的点M 怎样表示呢 数轴Ox上的点M 可用与它对应的实数x表示 直角坐标平面上的点M 可用一对有序实数 x y 表示 x x y 3 怎样确切的表示室内灯泡的位置 4 空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢 当建立空间直角坐标系后 空间中的点M 可以用有序实数 x y z 表示 x y z x y z 如图 是单位正方体 以O为原点 分别以射线OA OC 的方向为正方向 以线段OA OC 的长为单位长 建立三条数轴 x轴 y轴 z轴 这时我们说建立了一个空间直角坐标系 其中点O叫做坐标原点 x轴 y轴 z轴叫做坐标轴 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面 分别称为xOy平面 yOz平面 zOx平面 空间直角坐标系 右手直角坐标系 在空间直角坐标系中 让右手拇指指向x轴的正方向 食指指向y轴的正方向 如果中指指向z轴的正方向 则称这个坐标系为右手直角坐标系 设点M是空间的一个定点 过点M分别作垂直于x轴 y轴和z轴的平面 依次交x轴 y轴和z轴于点P Q和R M O 设点P Q和R在x轴 y轴和z轴上的坐标分别是x y和z 那么点M就对应唯一确定的有序实数组 x y z 反过来 给定有序实数组 x y z 我们可以在x轴 y轴和z轴上依次取坐标为x y和z的点P Q和R 分别过P Q和R各作一个平面 分别垂直于x轴 y轴和z轴 这三个平面的唯一交点就是有序实数组 x y z 确定的点M M O P M Q O M R 这样空间一点M的坐标可以用有序实数组 x y z 来表示 有序实数组 x y z 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标 记作M x y z 其中x叫做点M的横坐标 y叫做点M的纵坐标 z叫做点M的竖坐标 OABC A B C D 是单位正方体 以O为原点 分别以射线OA OC OD 的方向为正方向 以线段OA OC OD 的长为单位长 建立空间直角坐标系O xyz 试说出正方体的各个顶点的坐标 并指出哪些点在坐标轴上 哪些点在坐标平面上 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 解 在z轴上 且 它的竖坐标是2 它的横坐标x与纵坐标y都是零 所以点的坐标是 0 0 2 点C在y轴上 且 它的纵坐标是4 它的横坐标x与竖坐标z都是零 所以点C的坐标是 0 4 0 同理 点的坐标是 3 0 2 例1 例1 解 点B 在平面上的射影是B 因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同 在xOy平面上 点B横坐标x 3 纵坐标y 4 点B 在z轴上的射影是D 它的竖坐标与点D 的竖坐标相同 点D 的竖坐标z 2 所以点B 的坐标是 3 4 2 例2结晶体的基本单位称为晶胞 如图是食盐晶胞的示意图 可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体 其中色点代表钠原子 黑点代表氯原子 解 把图中的钠原子分成上 中 下三层来