湖南省衡阳市2020届高三数学下学期第一次联考（一模）试题 理（PDF）答案.pdf

衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 第 1 页 共 9 页 衡阳市衡阳市 20202 20 0 届高三第一次联考届高三第一次联考 数学数学 理科 理科 参考答案参考答案 1 1 答案 c 解析 依题意 0 1 a 0 b 所以 1 acb 故选c 命题意图 本题考查一元二次不等式的解法 指数不等式的解法以及补集的运算 属于基础题 2 2 答案 b 解析 iz 1 所以211 22 zz 所以 i iz z 2 2 2 2 1 2 所以复数 z z 的实部是 2 2 虚部是 2 2 故选b 命题意图 源于教材的基础题 本题考查复数几何意义 复数的模 共轭复数 复数除法运算以及复 数实部 虚部的概念 属基础题 3 答案 答案 a 解析 由题意知 rx 使得a xxx 3 sin2cos3sin 知 2 2 a 选a 命题意图 此题重在考查三角函数与简易逻辑的交汇 辅助角公式的应用 属于中档题 4 答案 b 解析 fxf x 则函数 yf x 为偶函数 函数 yf x 在区间 0 内单调递增 在该函数在区间 0 上为减函数 11 22 log 3log 10 由换底公式得 12 2 log 3log 3 由函数的 性质可得 2 log 3af 对数函数 2 logyx 在 0 上为增函数 则 22 log 3log 21 指数函数 2xy 为增函数 则 1 210 0222 即 1 2 1 021 2 1 2 2 1 02log 3 2 因此 bca 命题意图 本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系 同时也考查了利用中间值法比 较指数式和代数式的大小关系 涉及指数函数与对数函数的单调性 考查分析问题和解决问题的能力 属 于中等题 5 5 答案 d 解 析 2 202abaaa ba ba b 因 此 a 在 b 方 向 上 的 投 影 为 1 2 2 cos b ba baa 衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 第 2 页 共 9 页 命题意图 本题结合向量数量积的几何运算考查向量的投影的概念 属于基础题型 6 6 答案 答案 a 解析 解析 设所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件a 所以 9 2 2 10 2 5 c c ap 因此 9 7 9 2 11 apap 故选a 命题意图命题意图 本题考查了超几何分布以及对立事件的概率 旨在考查学生的分析转化题意 求解运算能力 7 7 答案 答案 a 解析 二项式 3 10mxm 的展开式的通项公式得 22 12 1 32 31xmmxct 第二项的系数 为3 2 33m 2 1m 0m 解得1m 当1m 时 则1 1 0 1 0 eedxe xx 故选a 命题意图 本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用 属于中档题 旨在考查考生的分析转化能 力 逻辑推理 求解运算能力 8 8 答案 c 解析 如图 作直线0 yx 当直线上移与圆 22 1 1yx 相切时 yxz 取最大值 此时 圆心 0 1 到直线0 zyx的距离等于 1 即1 2 1 z 解得z的最大值为 21 当下移与圆 22 4xy 相切时 yxz 取最小值 同理2 2 z 即z的最小值为 22 所以 21 22 z 故选c 命题意图 本题考查线性规划的数据应用 考查数形结合思想以及计算能力 考查分析问题解决问题 的能力 9 9 答案 d 解析 对于函数 0 04yx 当100 x 时 43y 不合题意 对于函数 1 0151 x y 当100 x 时 3 4323y 不合题意 对于函数 tan1 19 x y 不满足递增 不合题意 对于函数 11 log310yx 满足 6 100 x 增函数 且 111111 log3 100 10log 290log 13313y 结合图象 衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 第 3 页 共 9 页 符合题意 故选d 命题意图 本题结合现实生活情境 考查函数模型的应用 解题关键在于弄清题目给定规则 依次用四 个函数逐一检验 属于中档题 10 10 答案 答案 d 解析 不妨设过点 0 1 cf 与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为cy b a x 与另一条渐近线 x a b y 的交点为 a bcc m 2 2 由0 21 mfmf得0 2 2 3 2 2 a bcc a bcc 即有3 2 2 a b 又因 为21 2 2 a b e 故选d 命题意图命题意图 本题涉及双曲的渐近线 离心率等基本量的计算 旨在考查学生的数形结合思想 分析转化 能力 另外0 21 mfmf等价于点m在以线段 21f f为直径的圆外 于是也可以由com 获得结论 11 11 答案 c xxxx x xxf2020sin 2 3 2020cos 2 1 2020cos 2 1 2020sin 2 3 3 2020cos 6 2020sin 6 2020sin22020cos2020sin3 xxx max2af x 又存在实数 12 x x 对任意实数x总 有 12 f xf xf x 成立 21 maxmin 2 2f xf xf xf x 作出函数 xf的图象 由图可知 2 21 xx 的最小值即为函数 xf最大负零点 0 x的绝对值 0 x 而 2020 6 0 x 于是有 12 a xx 的最小值为 3030 2 2020 6 2 故选c 命题意图 本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用 重在考查学生数形结合思 想以及直观想象核心素养 12 12 答案 b 解析 取 1 ab的中点k ad的中点o 连接km kn 1 ob on 显然anbcm 1 平面 故 正确 衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 第 4 页 共 9 页 2 5 2 1 1 2 22 1 2 1 kbnbnkcm 故 错误 1 knb 即为异面直线cm与 1 nb所成角 2 1 tan 1 1 1 nb kb knb 故 错误 显然o为三棱锥andb 1 外接球球心 且1 oar 故 正确 综上 正确 选b 命题意图 本题考查翻折过程中点线面位置关系 相关角度 长度 体积的计算 旨在考查考生的直观 想象 数学运算核心素养 13 13 答案 答案 3 1 解析 由 x xy 1 2 有3 1 a 从而 3 1 a 命题意图命题意图 题主要考查导数的几何意义 两直线的位置关系 属于容易题 1414 答案 答案 2 解析 解析 由余弦定理得 222 222 cos2cos 2 bca abcabca bc 由面积公式 1 sin 2 sbca 在abc 的面积s满足 222 3 34 acbs 可得 3tan a 3 a 即 2 3 sin a 再由正弦定理 22 sin r a a 有22 sinsin r ca ca 命题意图命题意图 本题主要考查了正余弦定理的合理运用 熟悉公式及化简是解题的重点 属于较为基础题 15 15 答案 8 解析 解析 抛物线 2 4yx 的焦点 1 0 f 设 2211 yxbyxa 直线ab方程为rmmyx 1 由 xy myx 4 1 2 得044 2 myy 于 是 有 4 4 21 21 yy myy 根 据 题 意 有44 21 myy 3 2 2 2 2121 yymxx t 所以 8132 ab 命题意图命题意图 本题主要考查抛物线的简单性质 以及抛物线与直线的位置关系 解答直线与抛物线位置关系 的问题 其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立 消元 化简 然后应用根与系数的关系建立方程 解决相关问题 16 16 答案 答案 1 m 解析 解析 解法解法 1 由题意对任意的 3x 不等式 m ex x13ln 恒成立 则3 ex时 不等式 m ex x13ln 也成立 代入3 ex得 3 eem 则1 m 这是满足题意的一个必要条件 又m为整 衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 第 5 页 共 9 页 数 只需验证1 m时 对任意的 3x 不等式 m ex x13ln 恒成立 即证 1 13ln ex x 变形 为 x e x 1 3ln 对任意的 3x恒成立 令 x e xxg 1 3ln 3x 则 3 3 xe xe xg 故 xg在 3e递减 33 e 递增 0 3 113 e egxg x e x 1 3ln 对任意的 3x恒成立 故1 m满足题意 此法参照端点效应 小题可用 解法解法 2 记 x x xf 3ln 则 2 3ln 3 x x x x xf 令 3ln 3 x x x x 于是有 0 3 1 3 3 2 xx x x 在 3上单减 又 02ln2 4 7 7 05ln 5 8 8 8 7 0 x 使得 4 1 5 1 3 13ln 00 0 max xx x xf 故有 4 11 m e 4 m e 1 max m 命题意图命题意图 本题考查了函数的单调性 最值问题 考查导数的应用以及转化思想 运用导数工具解决含 参数不等式恒成立问题关键是探寻到一个使命题成立的必要条件 这是解决此类题的常用手段 属于难题 三 三 解答题解答题 17 17 解析解析 1 设公差为d 由题意得 135369 92 1 1 da da 解得 1 3 3 a d 3 n an 5 分 2 令 n n n a c 2 1 3 11 2 则 6 1 0 1 ccn 6 1 1 ttn 8 分 又 3 1 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 2 1 3 1 n n n t 11 63 n t 12 分 命题意图命题意图 考查等差数列的基本量计算和数列的单调性 以恒成立思想为载体 旨在考查考生的知识 的化归与转化能力 求解运算能力 1 18 8 解析 解析 1 证明 取ac的中点o 连接ef of 在dac 中dadc doac 由平面dac 平面abc 且交线为ac得do 平面abc o f分别为ac bc的中点 abof 且2abof 又 abde 2abde ofdep 且ofde 四边形defo为平行四边形 doef ef 平面abc 4 分 2 do 平面abc acbc 以o为原点 oa所在直线为x轴 过点o与cb平行的直线为 y轴 od所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 则 1 0 0a 1 0 0c 1 4 0b ef 平面 衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 第 6 页 共 9 页 abc 直线be与平面abc所成角60ebf tan602 3doefbf o 0 0 2 3d 32 2 1 e 可取平面abc的法向量 1 0 0 m 设平面dce的法向量 nx y z 有 32 0 1 cd 32 2 0 ce 则 0322 032 zy zx 取1z 则 2 3x 3 y 所以有 1 3 32 m 于是 4 1 41 1 cos nm nm nm 故所求二面角的余弦值为 4 1 12 分 命题意图命题意图 本题背景为底面为直角三角形的棱柱切去部分结构剩下几何体 对几何体中线面垂直 线 线平行判定和性质 二面角平面角求法都有具体考查 旨在考查考生的空间想象 转化 求解运算能力 19 解析解析 1 三角形nmf1 的周长为244 a 又 2 2 a c e 222 abc 得 2 2 a 1 2 b 故所求椭圆方程为1 2 2 2 y x 5 分 2 设 1122 m x yn xy由 2 2 1 1 2 xmy x y 得 22 2 210mymy 1212 22 21 22 m yyy y mm 直线nk的方程 2 2 3 3 2 2 y yx x 令 1 yy 则有 8 分 12212122 2 222 1313 2 3 22222 2 m yyyy xy myy m x yyy 2 22 2 2 22 2 mm y mm y nh与 2 l交点的横坐标为定值2 12 分 命题意图命题意图 着重考查解几中 可变图形中的不变性 这一核心内容 考查考生的分析转化 数据处理能力 20 解析解析 1 解 当 ea 时 由 xxf 得 0ln xeex x ex 令xeex x e xf x ln 其定 义为 0 从而有 2 1 2 1 x xexe x e e x exe xf xxx 易知 xex 1 在 0 x 时恒成立 故当 1 0 x 时 0 xf xf在 1 0 上单调递减 当 1 x时 0 xf xf在 1 上单 调递增 所以01ln 1 min eeefxf 所以方程0ln xeex x ex 有唯一实数根1 0 x 故 衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 第 7 页 共 9 页 xf有唯一不动点 6 分 2 解法 1 xf有两个不动点等价于函数 x e a x e xh xx ln 在 0上有两个不同的零点 令 e x e t x 则有tattgxhln 函数 xh有两个零点等价于函数 tg在 e上有唯一零点 即方程 t t a ln1 在 e上有唯一解 考虑 ln et t t th 因0 1ln 2 t t th th 在 e上单调递增 且0 lim th x 从而 0 11 ae ea 12 分 0 lim th x 处不够严谨 酌情扣 2 分 解 法 2 先 证 明 2 0 x exx 令 2 x xex 则 2 2 xx xexxe 当 0 ln2 x 时 0 ln2 xx 当 时 0 x 从而 ln2 0 x 因此 2 x xex 在 0 上单调递增 故 0 0 x 所以 2 0 x exx 即 2ln 0 xx x f x 有两个零点等价于 ln ln xx e g xa xx 有两个零 点 ln 2 ln1 1 ln xx exxx g x x xx 7 分 易知 lnln 0 1ln0 xxx eexxx 当 0 1 x 时 0g x 当 1 x 时 0g x 所以有 min 1 g xgea 9 分 下 面 说 明 当 ae 时 ln ln xx e g xa xx 有 两 个 零 点 取 1 0 1 a xe 有 111 lnlnxxxa 故 11 ln 111 11 ln0 ln xx e g xaxxa xx 取 2 1 a xe 且 222 lnlnxxxa 故 22 ln 222 22 ln0 ln xx e g xaxxa xx 又 1 0gea 由零点存在性定理知 f x 在 0 1 存在唯一 3 x 使 3 0g x 在 1 内存在 4 x 使 4 0g x 综上有a e 12 分 解法 3 由 xxf 得 0ln ln xxae xx 令 xxxtln 则 x x xt 1 显然 xxxtln 在 1 0上单减 在 1上单增 从而 11 min txt 令 1 tatetg t 根据题意知 1 tatetg t 在 1上有唯一零点 1 当0 a时 0 tg恒成立 无零点 不符合题意 2 当 衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 第 8 页 共 9 页 0 a时 令 0 aetg t 有 at ln 由 0ln ag得ea 此时 01 aeg 接下 来只需在 1上找一点 0 t 使得 0 0 tg即可 因为 0 2 ttet 从而0 2 attatet 即 0 at at 取at 0 不妨取at2 0 有 02 ag 所以 tg在 0 1t 上存在唯一零点 即 xxf 有两个不同实根 故ea 命题意图命题意图 本题以不动点理论背景命制试题 涉及利用导数研究函数形态 切线放缩 xex 1 exex 同型同构 变量分离求参数等方法的应用 重在考查考生的函数思想 求解运算能力 21 21 解析 解析 1 旧政策下该收入层级的it从业者每月应纳的个税为 1500 0 03 3000 0 1 4500 0 2 11500 0 254120 1 分 2 依据新政策 既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为 240005000 100018000 月缴个税3000 0 03 9000 0 1 6000 0 22190x 只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为 240005000 1000 100017000 月缴个税3000 0 03 9000 0 1 5000 0 21990x 只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为 240005000 1000200016000 月缴个税3000 0 03 9000 0 1 4000 0 21790x 既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为 240005000 1000 1000200015000 月缴个3000 0 03 9000 0 1 3000 0 21590x 所以x的可能值为 2190 1990 1790 1590 依题意 上述四类人群的人数之比是 2 1 1 1 所以 2 2190 5 p x 1 1990 5 p x 1 1790 5 p x 1 1590 5 p x 9 分 所以x的分布列为 x2190199017901590 p 1 5 1 5 1 5 2 5 所以 1830 5 2 1590 5 1 1790 5 1 1990 5 1 2190 xe 10 分 3 因为在新政策下该收入层级的it从业者2019年月缴个税为1830 所以该收入层级的it从业者每 月少缴交的个税为229018304120 设经过x个月 该收入层级的it从业者少缴交的个税的总和就 超过24000 则240002290 x 因为xn 所以11 x 所以经过 11 个月 该收入层级的it从业者 少缴交的个税的总和就超过 2019 年的月收入 12 分 衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题 第 9 页 共 9 页 命题意图命题意图 本道题结合 个税新政 这个话题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望 样本估计总 体的统计思想 综合性程度较高 着重对学生数据分析