福建省2020届高三数学下学期3月质量检查测试试题 理（PDF）答案.pdf

理科数学参考答案及评分细则 第 1 页 共 15 页 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试 理科数学参考答案及评分细则理科数学参考答案及评分细则 评分说明 1 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据 试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该 题的内容和难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应 给分数的一半 如果后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 3 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4 只给整数分数 选择题和填空题不给中间分 一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题一 选择题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分分 满分 60 分 分 1 c 2 b 3 d 4 b 5 b 6 a 7 c 8 a 9 b 10 c 11 d 12 a 二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题二 填空题 本大题考查基础知识和基本运算 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 13 2i 14 9 15 1 3 16 8 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题主要考查正弦定理 余弦定理等解三角形基础知识 考查运算求解能力 考查函 数与方程思想 考查逻辑推理 数学运算等核心素养 体现基础性 综合性 满分 12 分 解法一 1 由余弦定理得 222 2coscabacb 2 分 又 222 2cabab 所以2cos2acbab 即coscbb 由正弦定理得 sincossincbb 4 分 显然cos0b 所以tansinbc 5 分 因为 3 sin 3 c 所以 3 tan 3 b 又因为0b 所以 6 b 6 分 2 在abd 和bcd 中 bda 由余弦定理可得 2 22 222 2 cos 2 2 2 b ac bdadab adb bbd ad a 7 分 2 22 222 2 cos 2 2 2 b aa bdcdbc cdb bbd cd a 8 分 因为coscos0adbcdb 所以 2 22 2 b ca 9 分 又因为 222 2cabab 所以 22 440aabb 即 2 4410 aa bb 10 分 解得 12 2 a b 因为0 0ab 所以 12 2 a b 12 分 理科数学参考答案及评分细则 第 2 页 共 15 页 解法二 1 由已知 根据正弦定理得 222 sinsinsin2sinsincabab 2 分 所以 2 22 sincoscossinsinsin2sinsinabababab 3 分 得 222222 sincoscossin2sincossincossinsin2sinsinababaabbabab 故 22222 sincoscos1 sin2sincossincossin2sinsinababaabbaab 于是 22222 sincossinsinsin2sincossincos2sinsinababaaabbab 2222 sincossin1sin2sincossincos2sinsinababaabbab 22 sincossincossincossinsinabaabbab 4 分 因为sincos0ab 所以 sinsin sincoscossin sincos ab abab ab 所以sintancb 5 分 因为 3 sin 3 c 所以 3 tan 3 b 又因为 0 b 所以 6 b 6 分 2 因为d是ac中点 所以 1 2 bdbabc 所以 2221 2 4 bdbabcba bc 7 分 因为bdbca 所以 222 42cosacaacb 8 分 又因为 222 cos 2 acb b ac 所以 222222 4acaacb 所以 222 22acb 9 分 又因为 222 2cabab 所以 2222 222abaabb 所以 22 44abab 即 2 4410 aa bb 10 分 解得 12 2 a b 因为0 0ab 所以 12 2 a b 12 分 解法三 1 同解法一 6 分 2 在abc 中 由正弦定理知 sinsinsincoscossincos cossin sinsinsinsin bcaabcbcb cc bbbbb 7 分 又由 1 知sintancb 所以 cos costancos1 sin ab cbc bb 即cos1 a c b 8 分 又bdbc 所以 2 abcbd bacdc 又因为bdcc 2dbccbdcc 理科数学参考答案及评分细则 第 3 页 共 15 页 在bcd 中 sinsin1 sin2sinccos2cos bdcc dcdbccc 所以 1 4cos a bc 即cos 4 b c a 9 分 所以 2 4410 aa bb 10 分 解得 12 2 a b 因为0 0ab 所以 12 2 a b 12 分 解法四 1 同解法一 6 分 2 延长bd至e 使得debd 连接 ce ae 如图所示 因为d为ac中点 所以四边形abce是平行四边形 所以bceabc 7 分 在bce 中 ceabc 222bebdbca 由余弦定理得 2 22 22 23 cos 22 acaca bce acac 即 22 3 cos 2 ca abc ac 8 分 在abc 中 222 cos 2 cab abc ac 所以 22222 3cabac 即 222 22cab 9 分 又因为 222 2cabab 所以 2222 2 22abbaab 得 22 440aabb 即 2 4410 aa bb 10 分 解得 12 2 a b 因为0 0ab 所以 12 2 a b 12 分 解法五 1 同解法一 6 分 2 因为bdbc 所以bdcc 2dbccbdcc 在bcd 中 由正弦定理知 sin sin cdcbd bcbdc 即 sin2 2cos 2sin cb c ac 7 分 所以 222 2 22 abc b aab 8 分 化简得 222 22abc 9 分 又因为 222 2cabab 所以 2222 222abaabb 所以 22 44abab 即 22 440aabb 即 2 4410 aa bb 10 分 解得 12 2 a b 因为0a 0b 所以 12 2 a b 12 分 理科数学参考答案及评分细则 第 4 页 共 15 页 18 本小题考查直线与平面平行 平面与平面平行的判定与性质 直线与平面垂直的判定与 性质 三棱锥的体积与二面角等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求 解能力 考查化归与转化思想 函数与方程思想 考查直观想象 逻辑推理 数学运算 等核心素养 体现基础性 综合性 满分 12 分 解法一 1 依题意得 在矩形abcd中 2ab 3bc 2beec 所以3 1adec 在线段 1 b a上取一点m 满足 1 2ammb 又因为 1 2dffb 所以 11 b mb f mafd 故fmad 1 分 又因为ecad 所以ecfm 2 分 因为 1 1 3 fmad 所以ecfm 3 分 所以四边形fmec为平行四边形 所以cfem 4 分 又因为cf 平面 1 b ae em 平面 1 b ae 所以cf平面 1 b ae 5 分 2 设 1 b到平面aecd的距离为h 1 1 3 baedaed vsh 又3 aed s 所以 1 baed vh 故要使三棱锥 1 baed 的体积取到最大值 须且仅需取到最大值 取ae的中点o 连结 1 bo 依题意得 1 boae 则 1 2hbo 因为平面 1 b ae平面aecdae 1 boae 1 bo 平面 1 b ae 故当平面 1 b ae 平面aecd时 1 bo 平面aecd 1 hbo 即当且仅当平面 1 b ae 平面aecd时 1 baed v 取得最大值 此时2h 6 分 如图 以d为坐标原点 da dc的方向分别为 x 轴 y 轴的正方向建立空间直角坐 标系d xyz 得 0 0 0d 1 2 0e 1 2 1 2b 1 2 1 2db 1 2 0de 7 分 设 x y z n 是平面 1 b ed的一个法向量 则 1 0 0 db de n n 8 分 得 220 20 xyz xy 令1y 解得 3 2 1 2 n 9 分 又因为平面cde的一个法向量为 0 0 1 m 10 分 所以 3 3 19 2 cos 199 41 2 m n m n mn 11 分 因为 1 bdec 为钝角 所以其余弦值等于 3 19 19 12 分 h 理科数学参考答案及评分细则 第 5 页 共 15 页 解法二 1 依题意 在线段ad上取一点q 使得 2 3 dqda 因为 1 2dffb 所以 1 dqdf dadb 所以 1 fqb a 1 分 因为fq 平面 1 b ae 1 b a 平面 1 b ae 所以fq平面 1 b ae 2 分 在矩形abcd中 adbc 2beec 所以 11 33 ecbcadaq 又aqec 所以四边形qaec为平行四边形 故qcae 又因为cq 平面 1 b ae ae 平面 1 b ae 所以cq平面 1 b ae 3 分 又因为cqfqq 所以平面qcf平面 1 b ae 4 分 又因为cf 平面qcf 所以cf平面 1 b ae 5 分 2 设 1 b到平面aecd的距离为h 1 1 3 baedaed vsh 又3 aed s 所以 1 baed vh 故要使三棱锥 1 baed 的体积取到最大值 须且仅需取到最大值 取ae的中点o 连结 1 bo 依题意得 1 boae 则 1 2hbo 因为平面 1 b ae平面aecdae 1 boae 1 bo 平面 1 b ae 故当平面 1 b ae 平面aecd时 1 bo 平面aecd 1 hbo 即当且仅当平面 1 b ae 平面aecd时 1 baed v 取得最大值 此时2h 6 分 如图 以o为坐标原点 ec cd的方向分别为 x 轴 y 轴的正方向建立空间直角坐标 系oxyz 得 1 0 0 2b 2 1 0d 1 1 0e 所以 1 1 1 2eb 1 2 0ed 7 分 设 x y z n 是平面 1 b ed的一个法向量 则 1 0 0 eb ed n n 8 分 得 20 20 xyz xy 令1y 解得 3 2 1 2 n 9 分 又因为平面cde的一个法向量为 0 0 1 m 10 分 所以 3 3 19 2 cos 199 41 2 m n m n mn 11 分 因为 1 bdec 为钝角 所以其余弦值等于 3 19 19 12 分 h 理科数学参考答案及评分细则 第 6 页 共 15 页 解法三 1 延长 ae dc相交于点n 在矩形abcd中 2beec 所以 2 3 dc dn 2 分 又因为 1 2dffb 所以 1 dcdf dndb 所以 1 cfb n 4 分 又因为cf 平面 1 b ae 1 b n 平面 1 b ae 所以cf平面 1 b ae 5分 2 设 1 b到平面aecd的距离为h 1 1 3 baedaed vsh 又3 aed s 所以 1 baed vh 故要使三棱锥 1 baed 的体积取到最大值 须且仅需 取到最大值 取ae的中点o 连结 1 bo 依题意得 1 boae 则 1 2hbo 因为平面 1 b ae平面aecdae 1 boae 1 bo 平面 1 b ae 故当平面 1 b ae 平面aecd时 1 bo 平面aecd 1 hbo 即当且仅当平面 1 b ae 平面aecd时 1 baed v 取得最大值 此时2h 6 分 过o作ohde 垂足为h 连接 1 b h 因为 1 bo 平面aecd 所以 1 bode 7 分 又因为ohde 1 booho 所以de 平面 1 boh 8 分 所以 1 b hde 所以 1 b ho 为二面角 1 adeb 的平面角 即 1 b ho 为二面角 1 bdec 的平面角的补角 9 分 设a到直线de的距离d 11 3 22 aed sde dad dc 又因为 22 215de 得 6 5 d 所以 3 25 d oh 10 分 在 1 boh 中 1 2bo 3 5 oh 且 1 90boh 所以 222 11 19 5 b hbooh 所以 1 1 3 19 cos 19 oh b ho b h 11 分 二面角 1 bdec 的余弦值等于 3 19 19 12 分 19 本小题主要考查椭圆的定义 标准方程及简单几何性质 直线与椭圆的位置关系等基础 知识 考查运算求解能力 推理论证能力 考查数形结合思想 函数与方程思想等 考 查直观想象 逻辑推理 数学运算等核心素养 体现基础性 综合性与创新性 满分 12 分 解法一 1 因为椭圆e的焦距为2 3 所以 3c 1 分 所以 22 3ab 2 分 h 理科数学参考答案及评分细则 第 7 页 共 15 页 当 2 l垂直x轴时 3mg 因为abg 的面积为 3 3 2 即 13 3 22 abmg 所以3ab 不妨设 3 1 2 a 3 分 代入椭圆e的方程得 22 13 1 4ab 联立 解得 2 4a 2 1b 所以椭圆e的方程 2 2 1 4 x y 5 分 2 设 11 a x y 22 b x y 则 1 4 cy 因为直线 2 l不与x轴重合 故可设 2 l方程为1xmy 6 分 联立 2 2 1 1 4 xmy x y 整理得 22 4230mymy 所以 2 1630m 12 2 2 4 m yy m 12 2 3 4 y y m 7 分 所以直线 bc 12 1 2 4 4 yy yyx x 8 分 令 0y 则 12 12 4 4 yx x yy 所以d的横坐标 12 12 4 4 d yx x yy 9 分 所以 12121212 121212 432333553 4 2222 d yxy myy myyy x yyyyyy 1212 12 23 2 my yyy yy 22 12 66 44 0 2 mm mm yy 所以 5 2 d x 11 分 因为mg中点的横坐标为 5 2 所以d为线段mg的中点 所以md dg 12 分 解法二 1 因为椭圆e的焦距为2 3 所以2 2 3c 所以 3c 1 分 所以 22 3ab 2 分 即 22 3ab 所以椭圆e的方程为 22 22 1 3 xy bb 当 2 l垂直x轴时 点a的横坐标为 1 将1x 代入椭圆方程得 22 2 2 2 3 bb y b 所以 2 2 22 2 3 b b aby b 3 分 又因为 3mg 所以 2 2 132 2 3 abg b b sabmg b 理科数学参考答案及评分细则 第 8 页 共 15 页 因为 2 2 3 3323 3 22 3 abg b b s b 所以 解得 2 1b 或 2 9 4 b 舍去 所以椭圆e的方程为 2 2 1 4 x y 5 分 2 设 11 a x y 22 b x y 则 1 4 cy 因为直线 2 l不与x轴重合 故可设 2 l方程为1xmy 6 分 联立 2 2 1 1 4 xmy x y 整理得 22 4230mymy 所以 2 1630m 12 2 2 4 m yy m 12 2 3 4 y y m 7 分 要证md dg 只要证d 5 0 2 8 分 只须证 22 b xy 1 4 cy与点 5 0 2 三点共线 只须证 12 2 35 22 yy x 9 分 又 22 1xmy 只须证 212 35 1 22 yymy 只须证 1212 3 2 yymy y 10 分 因为 12 2 2 4 m yy m 12 2 3 4 y y m 所以 1212 3 2 yymy y 成立 11 分 所以md dg 12 分 解法三 1 同解法一 5 分 2 设 11 a x y 22 b x y 则 1 4 cy 因为直线 2 l不与x轴重合 故可设 2 l方程为1xmy 6 分 联立 2 2 1 1 4 xmy x y 整理得 22 4230mymy 所以 2 1630m 12 2 2 4 m yy m 12 2 3 4 y y m 7 分 所以 1212 3 2 my yyy 又因为直线 bc 12 1 2 4 4 yy yyx x 8 分 令 0y 则 12 12 4 4 yx x yy 所以d的横坐标 12 12 4 4 d yx x yy 9 分 又因为 22 1xmy 理科数学参考答案及评分细则 第 9 页 共 15 页 所以 1212 1212 1212 121212 3 4 344 2 d yyyy y myyymy yyy x yyyyyy 12 12 55 5 22 2 yy yy 11 分 因为mg中点的横坐标为 5 2 所以d为线段mg的中点 所以md dg 12 分 20 本小题主要考查回归直线 数列和二项展开式等基础知识 考查数据处理能力 运算 求解能力 应用意识 考查统计与概率思想 分类与整合思想 考查数学抽象 数学建 模 数据分析 数学运算等核心素养 体现基础性 综合性与应用性 满分 12 分 解 1 依题意得 123456 3 5 6 x 1 分 故 68610 410 66 3 5 x y y x 2 分 所以 66 11 693108610700 iiii ii xxyyx yxy 3 分 6 2 1 25911925 17 5 444444 i i xx 所以 6 1 6 2 1 700 40 17 5 ii i i i xxyy b xx 4 分 41040 3 5270aybx 所以y关于x的线性回归方程为 40270yx 5 分 令12x 时 得 2019 年 12 月该家庭人均月纯收入预估值为40 12270750 元 所以 2020 年第一季度每月的人均月纯收入均为 2 750500 3 元 所以 2020 年 3 月份该家庭的人均月纯收入为500元 6 分 2 因为每月的增长率为 设从 3 月开始到 12 月的纯收入之和为 则 29 10 500500150015001saaa 10 50011a a 8 分 依题意 令 10 50011 80005005007000 a a 9 分 a 10 s 理科数学参考答案及评分细则 第 10 页 共 15 页 当0 15a 时 10 10 5001 151 30500 7000 0 153 s 成立 10 分 当00 15a 时 由 得 10 117000 14 500 a a 即 23 1 10451201 14 aaa a 所以 2 1204540aa 解得0 074a 或0 449a 舍去 综上0 074a 11 分 所以 为使该家庭 2020 年能实现小康生活 至少应为8 12 分 21 本小题主要考查函数的单调性与极值 导数的应用等基础知识 考查抽象概括能力 推 理论证能力 运算求解能力 考查函数与方程思想 化归与转化思想 分类与整合思想 数形结合等思想 特殊与一般思想 考查数学抽象 逻辑推理 直观想象 数学运算等 核心素养 体现综合性 应用性与创新性 满分 12 分 解法一 1 因为0ax 11xa fx axax 1 分 当0a 时 0 x 若0 xa 则 0fx f x在 0 a单调递减 若xa 则 0fx f x在 a 单调递增 所以 f x的极小值为 1 2lnf aa 无极大值 3 分 当0a 时 0 x 若xa 则 0fx f x在 a 单调递减 若0ax 则 0fx 所以在 0a单调递增 所以 f x的极小值为 1 2lnf aa 无极大值 5 分 综上所述 当0a 时 f x的极小值为 1 2lnf aa 无极大值 当0a 时 f x 的极小值为 1 2lnf aa 无极大值 2 由 1 知 当 1a时 lnf xxx 在 0 1单调递减 在 1 单调递增 所以 min 11f xf 所以ln1xx 6 分 因为 2 e ln1e0 xx xmxx m 所以 2 eln0 x xxmxx m 所以 2 ln ex mxxm xx 7 分 令 2 ex mxxm h x 0 x 则 2 2 2 21 ee 21111 eee xx xxx mxmxxm mxmxmmxmx h x 8 分 因为0m 所以 1 11 m 若01m 则 1 10 m 当01x 时 则 0h x 所以 h x在 0 1单调递增 a 理科数学参考答案及评分细则 第 11 页 共 15 页 当1x 时 则 0h x 所以 h x在 1 单调递减 所以 max 21 1 e m h xh 又因为 1f x 且 h x和 f x都在1x 处取得最值 所以 21 1 e m 解得 e 1 2 m 所以 e 1 0 2 m 10 分 若1m 则 1 011 m 当 1 01x m 时 0h x h x在 1 0 1 m 单调递减 当 1 11x m 时 0h x h x在 1 1 1 m 单调递增 当1x 时 0h x h x在 1 单调递减 所以 21 11 e m h 与 矛盾 不符合题意 舍去 11 分 综上 正实数m的取值范围为 e 1 0 2 12 分 解法二 1 同解法一 5 分 2 由 1 知 当 1a时 lnf xxx 在 0 1单调递减 在 1 单调递增 所以 min 11f xf 所以ln1xx 6 分 因为 2 e ln1e0 xx xmxx m 所以 2 eln0 x xxmxx m 所以 2 ln ex mxxm xx 7 分 要使原不等式成立 则当1x 时上式必须成立 代入得 e 1 2 m 此时 e 1 0 2 m 8 分 下面证明 当 e 1 0 2 m 时 原不等式恒成立 令 2 ex mxxm h x 0 x 则 2 2 2 21 ee 21111 eee xx xxx mxmxxm mxmxmmxmx h x 因为 e 1 0 2 m 0 x 所以10mxm 所以当01x 时 0h x 当1x 时 0h x 所以 h x在 0 1单调递增 在 1 单调递减 10 分 max 21 11 e m h xh 11 分 所以不等式 2 ln ex mxxm xx 恒成立 即原不等式恒成立 所以正实数m的取值范围为 e 1 0 2 12 分 理科数学参考答案及评分细则 第 12 页 共 15 页 解法三 1 同解法一 5 分 2 由 1 知 当 1a时 lnf xxx 在 0 1单调递减 在 1 单调递增 所以 min 11f xf 所以ln1xx 6 分 因为 2 e ln 1 e 0 xx xmxx m 所以 2 eln0 x xxmxx m 所以 2 ln ex mxxm xx 7 分 要使原不等式成立 则当1x 时上式必须成立 代入得 e 1 2 m 此时 e 1 0 2 m 8 分 下面证明 当 e 1 0 2 m 时 原不等式恒成立 因为 e 1 0 2 m 所以 22 e1 2 e1 e2e xx mxxmxx 9 分 令 2 e12e1 2ex xx h x 0 x 则 2 1e1e3e12 e2e3 2e2e xx xxxx h x 所以当01x 时 0h x 当1x 时 0h x 所以 h x在 0 1单调递增 在 1 单调递减 10 分 所以 max 11h xh 所以 1h x 11 分 即 2 1 ex mxxm 所以当 e 1 0 2 m 时 2 ln ex mxxm xx 成立 即原不等式恒成立 所以当正实数m的取值范围为 e 1 0 2 12 分 解法四 1 同解法一 5 分 2 因为 2 e ln1e0 xx xmxx m 又因为 2 10 x 所以 2 e ln1e 1 xx xx m x 6 分 由 1 知 当 1a时 lnf xxx 在 0 1单调递减 在 1 单调递增 所以 min 11f xf 所以ln1xx 所以ln1xx 当且仅当1x 时等号成立 7 分 所以 222 e ln1ee11e e 111 xxxx x xxxx x xxx 当且仅当1x 时等号成立 8 分 令 2 e 1 x x h x x 0 x 则 2 2 1e1 1 1 x xxx hx x 9 分 理科数学参考答案及评分细则 第 13 页 共 15 页 令 e1 1 x k xxx 则 e1 0 x kxx 所以 k x在 0 单调递增 所以 00k xk 所以当01x 时 0hx 当1x 时 0hx 10 分 所以 h x在 0 1单调递减 在 1 单调递增 所以 min e1 1 2 h xh 综上当1x 时 2 e ln1e 1 xx xx y x 取得最小值 e1 2 11 分 所以正实数m的取值范围为 e 1 0 2 12 分 解法五 1 同解法一 5 分 2 要使得原不等式成立 则必须当1x 时上式成立 代入得 e 1 2 m 6 分 下面证明 当 e 1 2 m 时 原不等式恒成立 因为 e 1 2 m 且 2 10 x 所以 22 e 1 e ln1ee ln11e 2 xxxx xmxx mxxx 7 分 令 2 e 1 e ln11e 2 xx k xxxx 0 x 则 1 eln1e 11 x kxxxx x 8 分 令 1 eln1e 11 x xxxx x 所以 2 21 eln2e 1 x xxx xx 由 1 知 当1a 时 lnf xxx 在 0 1单调递减 在 1 单调递增 所以 min 11f xf 所以ln1xx 即ln1xx 当且仅当1x 时等号成立 所以 2212 2112112 eln2e 1 e 3e 1e 31 e xxx x xxx xxxxxx 9 分 再令 12 112 30 ex m xx xx 下面证明 0m x 由ln1xx 得 1 exx 因为0 x 所以 1 11 exx 所以 2 12222 11211213331 3 3 30 ex xx m x xxxxxxxx 所以 e10 xm x 所以 0 x 所以 k x 在 0 单调递减 10 分 又因为 10 k 所以当01x 时 0k x 当1x 时 0k x 所以 k x在 0 1单调递增 在 1 单调递减 所以 max 10k xk 11 分 所以 0k x 所以 2 e ln1e0 xx xmxx m 当且仅当1x 时等号成立 所以正实数m的取值范围为 e 1 0 2 12 分 理科数学参考答案及评分细则 第 14 页 共 15 页 22 选修44 坐标系与参数方程 本小题主要考查参数方程 极坐标方程等基础知识 考查运算求解能力 推理论证