在万有引力作用下的质点运动.doc

本科毕业论文题 目 ： 在万有引力作用下 的质点运动问题 完成人姓名 ： 主 修 专 业： 物理学教育 所在院（系）： 物理系 入 学 年 度： 2006年 完 成 日 期： 指 导 教 师： 在万有引力作用下的质点运动问题 物理系 摘要：质点在万有引力作用下的运动是经典力学的一个重要问题,在万有引力作用下行星绕太阳作椭圆运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。人造卫星运动也是卫星受地球万有引力作用绕地球作椭圆运动。这样万有引力作用下的质点运动问题就显得尤为重要。本文主要是根据万有引力的知识解决地球卫星的速度，变轨等问题。通过导出的极坐标系下物体在万有引力作用下运行的轨道方程, 对人造地球卫星的轨道转换进行了定性的分析与探讨。 本文从整体上分为两大部分，第一部分首先给出有心力即万有引力的定义基本特征，研究万有引力作用下的质点运动，得出行星椭圆轨道的运动方程及速度。第二部分从基本知识和方程入手重点研究宇宙速度和宇宙航行。使得概念和物理量的物理意义更加直观。关键词：有心力；万有引力；行星的速度；椭圆轨道；宇宙速度Under the action of gravity particle motion problemsGuo hao Department of Physics,Bohai UniversityAbstract: Under the action of gravity particle in sports is an important problem of classical mechanics on gravitation, under the planets revolve around the sun, sun for elliptic movement is a focus of the ellipse. Satellite is by earth satellite orbited the earth gravity ACTS as elliptical movement. So under the action of gravity particle motion problems appear particularly important. This paper is mainly based on the knowledge of gravity earth satellites to solve problems such as the speed, the orbit changes. Through the polar coordinate objects in under gravitys orbit satellites, the equation of the rail transition qualitative analysis and discussion. Based on the whole, the first part are divided into two most first have heart namely definition of gravity characteristics, research under the action of gravity particle movement, elliptical orbit of planetary motion equation and speed. The second part of the universe from the basic focus speed and cosmic voyage. Make physical concept and the physical meaning more intuitive.Keywords: Central force; Gravitation; The speed of the planet; Elliptical orbit; Cosmic velocity目 录引言1一、行星运动及kepler定律1二、有心力和有心运动2（一）基本特性21.质点的动量矩守恒22.有心运动是平面运动33.有心运动质点的机械能守恒3（二）运动方程3（三）轨道微分方程5三、万有引力作用下的质点运动6（一）轨道方程6（二）行星的椭圆轨道运动71.轨道方程72.行星椭圆轨道方程的长短半轴93.行星速度114.行星法向和切向加速度115.行星作椭圆轨道运动的曲率半径12四宇宙速度和宇宙航行12（一）人造地球卫星在轨运行的轨道方程12（二）宇宙速度15（三）卫星轨道转换的实现16五结论18参考文献19渤海大学本科毕业论文万有引力作用下的质点运动引言经典力学的发展是与对天体运行的观察和研究分不开的1。行星绕恒星的运动属于所谓“有心运动”一类的运动。人造地球卫星变轨问题,由于其所涉及的相关知识较多,综合性较强,在物理教材中只是一带而过,使许多学生对卫星在轨运行速率发生变化时卫星的轨道随之发生变化的规律感到困惑不解,总认为卫星在轨运行速率，轨道半径越大,卫星速率越小,而使卫星的速度增加,卫星却远离地球,作为物理教师有必要对此问题分析与探讨,本文将对行星的椭圆轨道方程和卫星变轨问题做进一步的分析和解决，有助于拓宽学生视野,引导学生突破难点,解决问题。一、行星运动及kepler定律 日、月、星辰东升西落的天文现象，人类对其认识经历了漫长的道路。十六世纪前的“地心说”被教会用来作为“上帝造物”的依据，束缚着人类的思想。 波兰天文学家哥白尼经过四十年的天文观测和研究，提出了“日心说”。德国天文学家kepler在总结前人对天体运行位置测量的资料后，在1609-1619年先后提出了“行星运行三定律”（kpler定律）。Newton在总结前人的科学实验，特别是伽利略“自由落体”定律的基础上，提出了动力学三定律（Newton定律），并于1686年提出了“万有引力定律” 2。二、有心力和有心运动（一）基本特性 取力心为惯性系坐标的原点，则质点受到的有心力可按定义写为 其中，是质点的位置矢量。由此可以立即知道有心力对于力心的力矩为零。因为有心力的方向总是通过力心，有心力对力心（坐标原点）的力矩为 其次，有心力是保守力。这是因为有心力只具有径矢方向的分量，因而质点由P点运动到P点时有心力作的功是W=这个积分只与起点和终点离开力心的距离和有关，显然与质点运动的路径无关。这就证明了有心力是保守力3。 根据有心力的特点，立即可以推得质点有心运动的一些基本特性。1.质点的动量矩守恒质点受到的有心力对于力心的力矩为零，由动量矩定理立即可知，质点在运动过程中对力心（坐标原点）的动量矩守恒，即恒矢量2.有心运动是平面运动由于角动量与质点的位矢及速度矢量都垂直，质点的角动量却是一恒量矢量，因而质点的位矢和速度都只能在与角动量垂直的平面内。质点的有心运动只能是平面，有心运动的轨道曲线是平面曲线。质点的运动平面，是由质点的初始位矢和初始速度矢量所决定的。3.有心运动质点的机械能守恒作用于质点的有心力是保守力，质点具有势能:V(r)=质点的总机械能守恒：=常量（二）运动方程前面讨论了有心力和质点有心运动的一些特点，对求解有心运动问题提供了有利的帮助。质点有心运动问题的求解采用平面极坐标系是最为适宜的。取运动平面为极坐标平面，角动量则与极坐标平面垂直，质点的运动微分方程可写为 上面的第二个方程很容易积分，注意到： 因而有 立即得出第一积分：这里h是积分常数。这个积分实际上就是质点角动量守恒的极坐标表示式。由式： 即 =h因此，对于有心运动，通常是在给定的初始条件下求解下列方程组： = =h除这两个方程外，还可利用机械能守恒方程： +V（r）=E在上述三个方程中，只需适当选取两个方程，便可解得质点的运动。（三）轨道微分方程 关于有心运动，人们感兴趣的常常是质点的运动轨道。我们可以通过求解运动方程，先得到以时间t为参量的轨道参量方程r=r（t），=然后消去t得出轨道曲线方程r=r（）.但也可以一开始就在运动方程中消去时间参量t得到轨道微分方程，然后求轨道微分方程的解得出轨道曲线方程。 =-式子中已经利用关系式。再引进变换： 则有 代入运动方程中的第一式，即得到轨道微分方程： 这个方程也称为比内公式4，是二阶非线性微分方程。对此求解可得，从而得到质点的轨道方程。它把质点所受的有心力、有心力场中的运动特征（角动量守恒）以及和为变量的一个微分方程之内，因而既可以用它由已知轨道求有心力的具体形式；也可以用它由已知有心力求运动轨道。尤其在我们已知轨道而希望求力的规律时特别有用。式中的正负取决于有心力是斥力还是引力：斥力时为正号，引力时为负号。三、万有引力作用下的质点运动（一）轨道方程万有引力具有如下形式： 其中， 是与力的性质有关的常量。为求质点的运动轨道，将此式代入轨道微分方程，可得方程： 这是简谐运动类型的微分方程，容易得出它的解为 其中，A和都是积分常数，由初始条件确定；h与质点的动量矩相关。若令 则轨道方程可写为 只需适当选取极坐标轴（x轴）的方向，在上式中便可以取等号时，此时质点有心运动的轨道极坐标方程可写成 这是典型的圆锥曲线极坐标方程，力心（坐标原点）位于圆锥曲线的焦点。式子中e称为轨道的偏心率5，p是圆锥曲线正焦弦长度的一半。椭圆、抛物线和双曲线都是圆锥曲线，这取决于偏心率e的数值。（二）行星的椭圆轨道运动1.轨道方程 设椭圆的长短半轴分别为a和b,椭圆的两焦点之间的距离为2c,ac,太阳位于焦点处,P为椭圆轨道上行星经过的任意一点,如图1所示.按余弦定理可得因有，故可得 图1设为正焦弦，为偏心率，则 （1）如图2所示。 图2 当式（1）中角的初始角为时，式（1）等价于行星椭圆轨道方程。如图1所示，按余弦定理可得 因= -1故得椭圆表示式为： （2）2.行星椭圆轨道方程的长短半轴（1）行星椭圆表达式行星在太阳引力场作用下运动,由于引力场是有心力场,所以行星运动遵守角动量和能量守恒定律.当行星在轨道上运动时,设行星质量为m,它在轨道上任意点速度为v,太阳质量为M,行星和太阳中心之间距离为r,行星太阳系统的总能量为E,按能量守恒定律有： （3） （4）式中G为万有引力常数。 对于行星太阳系统，在行星轨道上存在一点P，太阳中心和P点的矢径为，该点的行星速度为。和之间的夹角为，如图3所示，太阳中心和之间的垂直距离为b（在椭圆轨道情况下，),这个b即行星椭圆轨道的短半轴，根据角动量守恒定律 （5）由图3知故可得 （6）将式（4）代入（6）可得 （7）式（7）为行星椭圆轨道表达式。将（2）和式（7）相对照，可得 （8）故有： （9）式（9）为行星太阳系统总能量。 图3（2）行星椭圆轨道的长短半轴6由式（9）可得长半轴a的绝对值 （10）对于行星太阳系统，遵守角动量守恒定律，从图3可知角动量 即短半轴为 由式（8）知，故得 （11）3.行星速度 行星速度v可从行星太阳系统总能量表达式导出。将式（9）代入（3）可得 （12）式（12）为行星作椭圆轨道运动的速度表达式。4.行星法向和切向加速度如图3所示，行星的引力加速度在直线上，其方向指向太阳中心，行星的法向加速度沿角的平分线上。 根据式（2）有 所以法向加速度 （13）如图3所示，切向加速度 由式（2）可得 所以切向加速度 5.行星作椭圆轨道运动的曲率半径7 如图3所示，曲率半径在的角平分线上，有 将式（12）和式（13）代入上式，可得曲率半径 （14） 由上面的讨论可见，在研究有心力场问题时，采用椭圆表示式处理行星运动的物理问题方法简洁，对深化理解有心力场的物理内容也是有益的。四宇宙速度和宇宙航行（一）人造地球卫星在轨运行的轨道方程 质点在有心力场中运动时，径向速度等于零的那些点又称为拱点。力心与拱点连线称为拱心线。力心与拱点间的距离称为拱点力心距，简称拱距8。它实际上确定了运动的边界到力心的距离。以地心为极点，在卫星地球连线和速度方向所决定的平面内建立极坐标系，由于卫星是在有心力作用下的运动，故满足角动量守恒和机械能守恒两个规律，根据角动量守恒定律有： 其中，为发射时卫星到地心的距离，为发射时绕地球旋转的角速度9。用表示，则 (1) 取无穷远处引力势能为零，则在任意距离处的引力势能为，卫星的机械能为： （2）（1）、（2）两式子联立，并利用，便可解得： （3）式中为积分常数，将极轴转过以个角度，可使，（3）式子可写成 （4）（4）式就是物体在万有引力作用下的运行轨道方程，将（4）式与极坐标系的圆锥曲线方程比较分析轨道方程10：a当e=0时，运动轨道为一圆，即 解此方程有： 即发射速度为实数故即，此时，即就是说，当卫星的发射速度方向与地心到该卫星的连线（极径）方向垂直时，并且满足发射速度是高度的单值函数11，即，此时卫星便绕地球作圆周运动，运动半径为（R+H）。b.当时，运动轨道为一椭圆，即： c.当时，运动轨道为抛物线，即： d.当，运动轨道为双曲线，即 根据b，c，d似乎发觉卫星作椭圆，抛物线，双曲线运动与发射角无关，果真是这样的吗？实际上，这只是一种理想化模型，是假设地球与卫星为质点的情况下菜成立的，在实际问题中，我们需要考虑他们的大小，轨道是不能穿过地球的，即还有一个条件： （这里卫星仍被视为质点）由于在轨道方程中,我们以地球的中心作为曲线的右焦点处理的,根据解析几何知识,在曲线上顶点到焦点的距离最短,故当时有最小的距离,将代入此不等式，并解之有： （5）故发射速度与发射角必须满足(4)式才能使卫星轨道不穿过地球.事实上由(4)式亦可知,欲使不等式右边为实数,要求|sin|R/(R+H),如果太小,此不等式便不会成立,那么轨道便会过地球,这是不符合实际的12。 如果质点在势场中运动是周期性的，则轨道是闭合的。就是说，在径向极限和之间往返有限次之后，周而复始，完全重复原先的运动。反之，如果在有限次振荡之后，轨道不能自行闭合则称轨道式开放的。下面我们再讨论一下近地面发射问题,近地面发射有H=0,由(4)式可知|sin|R/(R+H),故只能取等号,于是有=90,当H=0,=90时,(4)式右边根号下成立了0/0型极限问题,根据数学知识可求出，由（4）式得：（二）宇宙速度近地面发射问题只可能是发射速度与极径垂直,发射的最小速度是 (又称第一宇宙速度),此时卫星以最小速度绕地球表面作圆周运动,当发射速度达时(又称第二宇宙速度)卫星以地球心为焦点作抛物线运动,当然再也不可能返回地球,因为抛物线为非闭合曲线,当发射速度介于和之间时,卫星作椭圆运动,并随速度的增大椭圆越扁,地球为椭圆的一个焦点,发射点为近地点.当卫星速度大于而小于第三宇宙速度时(物体逃离太阳系的速度,又称逃逸速度)它将在地球引力范围内作双曲线运动,当卫星脱离地球引力后,将绕太阳运动成为太阳的一个行星,如果控制发射速度和轨道,它也可成为其它行星的卫星。（三）卫星轨道转换的实现 由第一宇宙速度可以看出，在轨的人造卫星其速度完全由轨道半径大小决定：与其的平方根成反比轨道半径越小的，其速度越大（贴地球表面飞行，其速度最大，即为第一宇宙速度7.9千米/秒）;轨道半径越大的，其速度越小。在变轨过程中，人造卫星由低轨道调整到高轨道，其轨道半径增加，那么运行速度将比原来的小。 将人造地球卫星送入预定轨道已相当困难,而将它从一个轨道精确转移到另一轨道,更是难上加难。现仅定性说明一下如何将卫星从圆轨道转换到圆轨道。 理解变轨问题的关键是对公式的正确理解.否则,自然就会产生本文开头所提到的问题.真正理解上式,关键在于必须清楚上式成立的前提条件:卫星沿半径为r的圆轨道匀速率运行时,即离地心为r,且径向速度=0,此时卫星所需向心力恰好由万有引力提供,即满足也即： 如图4中几个轨道.A:半径为的圆;B:半径为的圆;a:表示一类椭圆(图4中只画出一个),近地点离地心为,远地点离地心为;b:表示另一类椭圆,近地点离地心为,远地点离地心.欲使卫星在A轨道上运行,必须满足:(1)将它送至处;(2)速率必须是；（3）速度与地面平行.这就是说,仅满足速率公式,而速度方向不满足，则仍不能沿圆轨道A运动.同理,若在处给卫星一个速率，且运动方向与地面平行,则卫星将沿圆轨道B运行.若卫星轨道为a,则运行速率是不断变化的,在近地点,在远地点而在其它位置时，。 图4 由图4可见,欲将卫星由圆轨道A转入圆轨道B,可以a类或b类椭圆为过渡轨道13。 如要通过a类椭圆过渡,则在圆A上某位置,令推进发动机瞬间点火工作(实际上不可能瞬间完成),使速率增为;当卫