简谐振动论文.doc

摘摘 要要 自然界中存在许多振动现象 在众多的振动中 有一种振动最为简单也最 为基本 它就是简谐振动 但是现行的物理教材和参考资料对简谐振动合成这 一部分却没有一个系统的介绍 而简谐振动的合成又在日常生活中运用的十分 广泛 针对这一实际情况 本文将重点讨论简谐振动合成及相关问题 旨在让 大家对简谐振动的合成有个系统而又全面的认识 关键词关键词 简谐振动 简谐振动方程 简谐振动合成 同频率 同方向 不同频率 相互垂直 任意方向 合振动方程 I Abstract There are many vibration phenomena in nature in a large number of vibration there is a vibration is the most simple and most basic it is simple harmonic motion But the current physics textbooks and reference materials on the synthesis of simple harmonic motion but not the introduction of a system and simple harmonic motion synthesis and use in daily life is very extensive for the actual situation this article will focus on synthesis and simple harmonic motion Issues related to the synthesis of simple harmonic motion so that we have a systematic and comprehensive understanding KeyKey words words harmonic oscillation simple harmonic motion equations simple harmonic motion synthesis the same frequency in the same direction different frequency perpendicular to each other in any direction co vibration equation II 目目 录录 摘摘 要要 I ABSTRACT II 引引 言言 1 1 简谐振动简谐振动 2 1 1 研究简谐振动合成的意义 2 1 2 简谐振动的定义 2 1 3 简谐振动的旋转矢量表示法 2 2 简谐振动合成简谐振动合成 3 2 1 研究简谐振动合成需要考虑的问题 3 2 2 两个简谐振动的合成 4 2 2 1 两个简谐振动同方向同频率的合成 4 2 2 2 两个简谐振动同方向不同频率的合成 5 2 2 3 两个简谐振动互相垂直同频率的合成 7 2 2 4 两个简谐振动互相垂直不同频率的合成 11 2 2 5 任意方向两个同频率简谐振动的合成 13 2 2 6 任意方向两个不同频率简谐振动的合成 14 3 结语结语 15 参考文献参考文献 16 0 引引 言言 人们都曾经体验过反复来回运动的现象 太阳的东升西落 机床上刀具的 往复切割 用手指弹两端固定的弦时 弦不但上下振动 并且发出声音 轻轻 地拨动吊在天花板上的物体时 物体便来回摆动 机械钟摆的运动 这些运动 都具有一个共特点 运动体以某稳定位置为中心 并在其附近做反复来回的周 期运动 这种运动现象被称为机械振动 简称振动 应该指出 一般的振动概 念并不局限于机械运动范围之内 例如在电磁学的振荡电路中 电流于电压围 绕着某一数值作往复的变化 这种变化也称为振动 不过振动有两种 一种是经过一段时间后回到起点的封闭轨迹运动 另一 种是不会回到原出发点的非封闭轨迹运动 1 1 自然界中存在许多振动现象 其中对人类影响最大的要属空气的振动 而 在众多的振动中 有一种振动最为简单也最为基本 它就是简谐振动 1 1 简谐振动简谐振动 1 1 研究简谐振动合成的意义研究简谐振动合成的意义 简谐振动是一种最简单也最基本的振动形式 其之所以 最简单 是因为 它具有单一的振动频率和固定不变的振幅 之所以 最基本 是因为理论研究 证实 任何复杂的振动都可以分解为若干简谐振动 而研究简谐振动的合成 对理解光波和声波的干涉和衍射现象有着重要的意义 鉴于简谐振动合成的重 要性 接下来我们将重点讲解简谐振动合成问题 但在此之前 有必要来了解 一下什么是简谐振动 以及简谐振动的表示方法 1 2 简谐振动的定义简谐振动的定义 简谐振动是一种理想的振动 它是无阻尼性振动系统的固有振动 简谐振 动的定义有一下四种 一是从物体受力角度的角度来定义 物体所受合外力与物体偏离平衡位置 的位移成正比并且反向 则物体做简谐振动 2 2 二是用物体振动的加速度来定义 物体的加速度与物体位移成正比并且反 向 则物体做简谐振动 三是用运动微分方程来定义 凡是遵循微分方程 2 2 0 2 0 d x x dt 的运动就称为简谐振动 是由系统性质决定的常数 2 2 0 四是用运动关系来定义 物体的位移随时间作正弦cos xAt 或余弦函数变化的运动叫简谐振动 在判断物体是否做简谐振动的时候 我们所依据的就是以上所述四个简谐 振动的定义 1 3 简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 在处理简谐振动时 有一种简单而有效的方法 矢量表示法 现用旋转 矢量的投影表示简谐振动 如图 1 1 所示 旋转矢量的水平投影 0 cos xAt 2 旋转矢量速度的水平投影 0000 cos sin 2 vxAtAt 旋转矢量加速度水平投影 22 0000 cos cos axvAtAt 图 1 1 表示简谐振动的旋转矢量图 为一长度不变的矢量 的始点在坐标轴的原点处 记时起点时 A A 0t 矢量与坐标轴的夹角为 矢量以角速度逆时针匀速转动 A A 0 由此可见 匀速旋转矢量在坐标轴上的投影表示一特定的简谐振动的运动学方程 矢端的速度大小为 在轴上的投影为 0 A x 00 cos 2 At 矢端沿圆周运动的加速度即向心加速度的大小为 其在轴上 2 0 A x 的投影为 2 00 cosAt 2 简谐振动合成简谐振动合成 2 1 研究简谐振动合成需要考虑的问题研究简谐振动合成需要考虑的问题 以上就是我们在讨论简谐振动合成前必须了解的知识 现在开始讨论简谐 振动合成问题 对于简谐振动 一般来说其振动的合成问题是相当复杂的 就 拿两个简谐振动要合成来说 首先必须考虑它们的振动方向 所以我们需要分 别讨论同方向与相互垂直这两种情况 而考虑了振动方向 接下来的振动特征 就是频率 因此又把情况分成同频率与不同频率 3 2 2 两个简谐振动的合成两个简谐振动的合成 为此在研究简谐振动合成前 我们需要考虑每个简谐振动振动方向 每个 简谐振动振动频率 以及需要合成的个数 3 3 由于三个及三个以上简谐振动的 合成牵涉到在一维坐标系下 二维坐标系下 三维坐标系下的合成情况 问题 相当复杂 故不作讲解 本文只考虑两个简谐振动的合成 2 2 1 两个简谐振动同方向同频率的合成两个简谐振动同方向同频率的合成 设质点在一条直线上同时参与两个圆频率为的简谐振动 现取此直线为 0 轴 取质点的平衡位置为原点 则这两个简谐振动可以表示为 x 1101 cos xAt 2202 cos xAt 因为和分别表示在同一直线上离开平衡位置的位移 所以合位移 1 x 2 x 等于上述两个位移的代数和 x 12101202 000 cos cos coscossinsincos xxxAtAt AtAtAt 上式表明 同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动 其频率 和分振动频率相同 合振动的振幅和初相位由下式决定 4 A 22 121221 2cos AAAA A 1122 coscos cos AA A 1122 sinsin sin AA A 对于上面的问题 用旋转矢量法同样可以得到上述结果 如图 2 1 取坐 标系 画出时二分振动的旋转矢量 和 它们与坐标轴的夹角Ox0t 1 A 2 A 分别等于和 两矢量均以角速度沿逆时针方向旋转 我们可知 1 2 0 1 A 之间的夹角不变 合矢量也以旋转 合振动的位移等于时刻 2 A 12 AA 0 t 合矢量在坐标轴上的投影 即 000 coscossinsincos AtAtAt 4 可见 合振动时振幅等于 初相位为的简谐振动 其圆频率与分振A 动相同 这个结论和前文相同 图 2 1 用旋转矢量法求两个同方向同频率简谐振动的合成 下面分别讨论以下几种情况 若相位差 其中 n 0 1 2 3 21 2n 则合振幅 即若二分振动的相位相同 则合振动的振幅为分 12 AAA 振动振幅之和 这是合振幅的最大可能值 若相位差 其中 n 0 1 2 3 21 21n 于是合振幅为 即若二分振动的相位相反 则合振动的振幅 12 AAA 为分振动的振幅之差 这是合振幅的最小可能值 一般情况下 二分振动既不同相位也不反相位 则合振幅 A 介于 与之间 12 AAA 12 AAA 上述结论在讨论光波 声波以及电磁辐射的干涉和衍射时很有用处 2 2 2 两个简谐振动同方向不同频率的合成两个简谐振动同方向不同频率的合成 设质点在一条直线上同时参与圆频率不同的简谐振动 为了突出圆频率不 同而引起的效果和简化计算 我们假设这来那个分振动的振幅相同 初相位也 相同 它们的表达式分别为 5 111 cosxAt 222 cosxAt 于是合振动的表达式为 2 2 2121 12 2coscos 22 xxxAtt 1 由此可以看出 情况是相当复杂的 在同方向不同频率简谐振动合成的问题中 若二分振动的频率之和远大于 二分振动的频率之差 则其合振动具有特殊意义 5 现假设 2121 则式 2 2 1 中的 随时间的变化比 21 2 cos 2 At 21 cos 2 t 随时间的变化要缓慢的多 于是我们可以将式 2 2 1 表示的运动 看作振幅 按照缓慢变化 而圆频率等于的 准简谐振动 6 6 21 2 cos 2 At 21 2 如图 2 2 所示的情况就是个具体的例子 6 图 2 2 二分振动的频率之和远大于二分振动的频率之差时合运动看做准简 谐振动 其中 1 90vHz 2 80vHz 10vHz 在这里 合振动的振幅是随时间作周期性变化的 这种周期性变化称为拍 合振动振幅每变化一个周期 称为一拍 单位时间内拍出现的次数称为拍频 若用表示合振动振幅的变化周期 则有 T 2121 2cos2cos 22 AtAtT 于是有 21 2 T 进而可知 21 2 T 故拍频 21 21 1 2 vvv T 其中和分别为两个分振动的频率 1 v 2 v 拍现象可以用下面的方法显示 使两个频率相差很小的音叉同时振动 这 时就会感觉到周期性的时强时弱的声音 这就是拍 7 7 拍的现象在声学 光学 以及无线电技术领域中 都有广泛的应用 2 2 3 两个简谐振动互相垂直同频率的合成两个简谐振动互相垂直同频率的合成 设质点同时参与两个简谐振动 这两个简谐振动的振动方向互相垂直并有 相同的圆频率 它们的表达式分别为 101 cosxAt 202 cosyAt 7 质点即参与轴方向的运动 又沿轴方向的运动 实际上是在平xyOxy 面上运动 从上面两个方程式中消去时间 得质点运动的轨道方程 t 2 3 22 2 2121 22 1212 2 cossin xyxy AAA A 1 此为一椭圆的轨迹方程 椭圆的形状由两分振动的初位相差所 21 决定 8 8 下面讨论几种特殊情况 1 分振动相位相同或相反时 相位相同 即 21 0 图 2 3 相位相同情况 则 2 3 1 式变为 2 3 2 22 22 121212 1 122 2 00 xyxyxy AAA AAA Axy yx AAA 2 由 2 3 2 式可见 合振动的轨迹为过原点且在一 三象限的直线 质 点距离原点的位移满足下列方程 r 2222 12120 cos rxxAAt 8 上式表明合振动也是简谐振动 与分振动频率相同 但振幅为 22 12 AA 相位相反 即 21 图 2 4 相位相反情况 则 2 3 1 式成为 2 3 2 22 22 121212 1 122 2 00 xyxyxy AAA AAA Axy yx AAA 3 则 2 3 3 式即为 合振动的轨迹为过原点 且在二 四象限的直线 合 振动任一点的位移为 2222 12120 cos rxxAAt 上式表明合振动也是简谐振动 与分振动频率相同 2 相位差为时 2 时 21 2 则 2 3 1 式变为 2 3 22 22 12 1 xy AA 4 9 从 2 3 4 式中可知 质点的轨迹是个椭圆 此椭圆沿轴的长轴为X 沿轴的轴长为 设在某一时刻 这时质点的位 1 2AY 2 2A 1 0t 置为 在稍后一个时刻 稍微增大 这时为正值 为 1 xA 0y txy 负值 说明质点运动到第四象限 可见质点是沿顺时针方向运动的 9 9 图 2 5 相位差为情况 21 2 当时 21 2 同理 由 2 3 1 式得到的轨道方程仍为 2 3 22 22 12 1 xy AA 5 图 2 6 相位差为情况 21 2 可知质点的轨道仍然是一个椭圆 但容易看出质点是沿逆时针方向运动的 9 9 3 相位差为其他任意值时的情况 10 根据式 2 3 1 可知在一般情况下质点的运动轨道为一个椭圆 此椭 圆位于以和为边的矩形之内 长轴和短轴的大小与方位 与相位 1 2A 2 2A 差有关 图 2 7 给出与不同相位差对应的轨道形状和质点的运动方向 21 轨道形状可以用示波器清楚地显示 图 2 7 相位差为其他任意值时的轨道形状 总之 两振动方向垂直 频率相同的简谐振动 合振动的轨迹为直线 圆或椭圆 轨迹的形状和运动方向由分振动的振幅和相位差决定 10 10 2 2 4 两个简谐振动互相垂直不同频率的合成两个简谐振动互相垂直不同频率的合成 如果质点同时参与两个简谐振动 这两个简谐振动的振动方向互相垂直 但频率不同 那么这时质点的运动时比较复杂的 设上述两个简谐振动的表达式分别为 111 cosxAt 222 cosyAt 11 这两个振动的相位差为 它不是定值而是随时间 2121 t 变化的 故一般来说质点的轨道不能形成稳定的图案 下面我们讨论两种特殊 情况 1 如果两个互相垂直的分振动的频率相差很小 则可以近似地把它们的 振动频率看作相同 不过其相位差随时间在缓慢地变化 因此 质点的轨道将 不断的按上图所示的次序 依次地从直线变成各种椭圆 再变成直线 并不断 地 继续循环地变化下去 利用示波器可以清楚地观察到这种变化 2 如果两个互相垂直的分振动的频率成简单的整数比 则质点的轨道形 成闭合的曲线并构成稳定的图形 这种图形称为利萨如图形 图给出利萨如图 形的一部分 这些图形利用示波器同样可以清楚地把它们显示出来 如图 2 8 所示 利用利萨如图形 我们可以判断两个合振动的圆频率之比 从而由一个振动 的已知频率求出另一个振动的未知频率 这已成为无线电技术中常用的一种方 法 3 2 3 1 2 1 1 1 0 4 2 3 2 12 图 2 8 两个互相垂直的分振动的频率成简单的整数比的情况 12 2 2 5 任意方向两个同频率简谐振动的合成任意方向两个同频率简谐振动的合成 由两个同方向同频率简谐振动的合成可知 任意一个简谐振动总是可以分 解为两个同方向同频率的简谐振动 而由两个互相垂直的同频率简谐振动的合 成知 任意一个简谐振动又总是可以分解为两个互相垂直的同频率的简谐振动 11 11 设两个同频率简谐振动 它们振动方向之间的夹角为 其振动方程分别 为 111 cos xAti 22222 cos coscos sinxAtiAtj 假设第一个简谐振动的振动方向沿轴 第二个简谐振动的振动方向与X 轴成角 并把第二个简谐振动分解为和两个互相垂直方向同频率的简X xy 谐振动 则合振动的振动方程 2 5 22 cos sincos rAtiAtj 1 其中 2 5 222 121212 cos2coscos AAAA A 2 13 式 2 5 1 中是方向两个同频率简谐振动 cos At x 和的合振动 111 cos xAt 222 cos xAt 合振动方程 2 5 1 可以写为 2 5 cos xAt 3 2 5 22 sincos yAt 4 将以上两式消去时间 得到轨道方程 t 222222222 22222 sin2sincos sinsin 0AxAAxyA yA A 曲线形状的判别公式 2 5 2 4bac 2222 1221 4sincos 1A A 5 由 2 5 5 可知 I 当 则合振动的轨迹为圆或者椭圆 合振动不再sin0 21 cos 1 是简谐振动 II 当 时 合振动的轨迹为一条直线 sin0 21 cos 1 时轨迹方程为 21 cos 1 12 2 cos sin AAy x A 时轨迹方程为 21 cos 1 122 cossinxy AAA 对于以上情况 我们可以求得质点离开平衡位置的合位移 21 cos 1 222 1222 222 1222 cos sincos cos sincos AAAt x AAAt 21 21 cos 1 cos 1 14 这表明振动依旧是个简谐振动 2 2 6 任意方向两个不同频率简谐振动的合成任意方向两个不同频率简谐振动的合成 设两个不同频率的简谐振动 它们振动方向之间的夹角为 其振动方程 分别为 2 6 1111 cos xAti 1 2222222 cos coscos sinxAtiAtj 2 6 2 则合振动方程 111222222 cos coscos cos cos sinrAtAttiAtj 由于在轴方向的两个不同频率的简谐振动 即和x 1111 cos xA