数学实验作业四.doc

数学实验作业四题目：P120. 1.d)；4)；5)日期：2003-3-23【实验内容】：一：用欧拉方法和龙格库塔方法求微分方程数值解，画出解的图形，对结果进行比较分析。以下方程供选择：a) b) c) (Bessel方程，令n=1/2)，精确解d) 幂级数解【模型建立】：原方程化为记，并用t代替x，则原方程化为：；且；于是可以用龙格库塔法求解。【模型求解】：用Matlab作龙格库塔法求解：% chapter 41.d%此函数是微分方程组function Xdot=ch41dfun(t,x)Xdot=x(2),-cos(t)*x(1);%ch41d.mfunction I=ch41d(a)x0=1,0;t,x=ode45(ch41dfun,0,a,x0);y=x(:,1);plot(t,y,r);hold on;gtext(y);y1=1-1/jiecheng(2)*t.2+2/jiecheng(4)*t.4-9/jiecheng(6)*t.6+55/jiecheng(8)*t.8;plot(t,y1,b);gtext(y1);t,y,y1hold off;运行程序可以得到： (只保留图像，数据省略) 图1 ch41d(10)（数据省略，y1图象也省略） 图2 ch41d(15) 图3 ch41d(20) 图4【结果分析】：由图1得：y(龙格库塔方法)和y1(级数近似解)在0到大约1.5的区间内是完全吻合的，从x=1.5之后，两条曲线开始分离。之后y的变化趋势可见图2图4，呈幅度越来越大的上下震荡。对y取绝对值后再取对数，得到其图象为：由此图可见：|y|基本是随x指数增加的，并上下振动，可以猜测|y|接近于的形式。四：求解“火箭发射”问题。【模型分析】：从上图可以看出，开始的几个点基本呈线性；而以后的几模型假设：1) 时，F与x呈正比，F(x)kx;模型建立：采用最小二乘法，目标函数为模型求解：为求出J的最小值，应保证编程语句如下：function k,a,b,c=number8(m)x = 1, 2, 4, 7, 9, 12, 13, 15, 17;运行程序可以得到：x0 = 7.9342同时得到拟合曲线如下：结论：五：一只小船渡过宽为d的河流（见下图），目标是起点A正对着的另一岸B点。已知河水流速v1与船在静水中的速度v2之比为k。a)建立小船航线的方程，求其解析解。b)设d=100m,v1=1m/s,v2=2m/s,用数值解法求渡河所需时间、任意时刻小船的位置及航行曲线，作图，并与解析解比较。c)若流速v1为0,0.5,1.5,2(m/s)，结果将如何？BxxydVV2V1CAy【模型建立】：如图，以B为原点，沿河岸向右为x轴正向，垂直河岸向下为y轴正向，建立坐标系。设在t时刻，船在x方向上的位移是x(t)，在y方向上的位移是y(t),则：在t时刻，船在x方向上的速度是，在y方向上的速度是，将船的速度V和静水速度V1在x,y轴方向上分解，可得：，又因为船头始终指向B点，所以，所以：，即这就是本题的微分方程。初始条件为：x(0)=0,y(0)=-d【模型求解】：1.解析解:令，将直角坐标化成极坐标，则原微分方程化成:;化简后为：消去t，得：于是解得：，其中2.数值解法：根据上述微分方程，用龙格库塔方法求解：程序如下：%ch45fun.m%第四章第5题%此函数是微分方程组function Xdot=ch45fun(t,x,V1,V2)%x(1)代表x;x(2)代表y%加入限制条件，防止无限循环if (norm(x)1e-5) Xdot=V1-V2*x(1)/sqrt(x(1)2+x(2)2),-V2*x(2)/sqrt(x(1)2+x(2)2);else Xdot=0,0;end%ch45.m%第四章第5题function I=ch45(V1,V2,d,a)x0=0,-d;%初始条件t,x=ode45(ch45fun,0,a,x0,V1,V2);plot(x(:,1),x(:,2),r);hold on;%作图t,x(:,1),x(:,2)%打印数据%下面是作出精确解的图象seta=linspace(-pi/2,0,100);rou=d*(abs(tan(seta/2).(V2/V1)./sin(seta);xp=-rou.*cos(seta);yp=-rou.*sin(seta);plot(xp,yp,b);hold off;需要说明：在ch45fun.m中，加入了(norm(x)1e-5)的限制条件，以保证在船离B点足够近时中止运算。否则无法得出正确结果。运行结果：（中间数据省略）可知渡河时航线如图，所用时间为：66.7秒。当v1=0,0.5,1.5,2时，结果分别为（图像）：v1=0说明在静水中，船沿直线到达B点。这与直观经验相符合渡河时间为50秒；v1=0.5渡河时间为：53.3秒v1=1.5渡河时间为：114.3秒v1=2渡河时间:从图上看出，到t=1000秒时，船已到达对岸，但是并没有到达B点，而是在B点下游50米处。由于船头指向B点，即船头指向逆流方向，且船速（静水）等于水速，可知船将保持原地不动。也就是说，船永远到达不了B点。所以渡河时间为无穷大。v1=2.5渡河时间：与v1=2时情况类似，船能到达对岸，但是是在B点下游。由于船速（静水）小于水速，船将被水冲得顺流而下，同样永远到达不了B点。【结果分析】：1.以上图中红线是龙格库塔方法的结果，蓝线是解析解的结果。从图中可以看出，两种方法的结果基本上是相符的。但在接近B点时，解析解将无法得到正确解（因为会出现分