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常系数 第七节 齐次线性微分方程 基本思路 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程 代数方程 之根 转化 第七章 一 定义 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 二阶齐次线性方程 如何求解 其中p q为常数 二阶变系数齐次线性微分方程 其中p q不全为常数 二 二阶常系数齐次线性方程解法 特征方程法 1 由上节讨论可知 可先求出微分方程 1 的它的两个线性无关的特解y1 y2 那么c1y1 c2y2就是微分方程 1 的通解 当r为常数时 指数函数y erx和它的各阶导数都只相差一个常数因子 由于指数函数有这个特点 因此我们用y erx来尝试看是否选取适当的r 使y erx满足方程 1 代入微分方程 1 得 特征方程 2 方程 2 的特征根 1 特征方程有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 2 特征方程有两个相等的实根 一特解为 特征根为 求另一特解 要求 设另一特解为 则 因为这里只要得到一个不为常数的解 所以不妨选取 从而微分方程 1 的通解为 3 特征方程有一对共轭复根 特征根为 欧拉公式 两个复数值特解为 重新组合得到微分方程的新特解 所以 微分方程 1 的通解为 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征根 3 根据特征根的不同情况 得到相应的通解 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例2 例3 求解初值问题 解 特征方程 有重根 因此原方程的通解为 利用初始条件得 于是所求初值问题的解为 n阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 注意 n次代数方程有n个根 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项 且每一项各一个任意常数 例4 的通解 解 特征方程 特征根 因此原方程通解为 解 特征方程 即 其根为 方程通解 例5 故通解为 解 特征方程为 1 思考与练习 2 求方程 的通解 答案 通解为 通解为 通解为 第八节 3 为特解的4阶常系数线性齐次微分方程 并求其通解 解 根据给定的特解知特征方程有根 因此特征方程为 即 故所求方程为 其通解为 1 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤 1 写出相应的特征方程 2 求出特征根 3 根据特征根的
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