概率论与数理统计PPT课件

1 概率论与数理统计第19讲 本文件可从网址上下载 单击ppt讲义后选择 概率论 子目录 2 第五章大数定律与中心极限定理 3 切贝谢夫不等式 设随机变量x有期望值Ex及方差Dx 则任给e 0 有 4 示意图 Ex Ex e Ex e j x x Dx e2 5 证如x是离散型随机变量 那么 6 如果x是连续型随机变量 x j x 则 7 例1设x是掷一颗骰子所出现的点数 若给定e 1 2 实际计算P x Ex e 并验证切贝谢夫不等式成立 解因P x k 1 6 k 1 2 3 4 5 6 8 例2设电站供电所有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0 7 而假定开关时间彼此独立 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率 9 解令x为同时开灯的数目 则x B 10000 0 7 可见只要有供应7200盏灯的电力就够用 10 大数定律的概念 例1掷一颗骰子 出现1点的概率是1 6 在掷的次数比较少时 出现1点的频率可能与1 6相差很大 但是在掷的次数很多时 出现1点的频率接近1 6是必然的 例2测量一个长度a 一次测量的结果不见得就等于a 量了若干次 其算术平均值仍不见得等于a 但当测量次数很多时 算术平均值接近于a几乎是必然的 11 算术平均值在相同条件下对某一个随机变量进行反复地试验 计划试验n次 就试验方案而言 这样的试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机变量x1 x2 xn 将这n个随机变量加起来除以n称做这n个随机变量的算术平均值 12 虽然n个随机变量的算术平均值仍然是随机变量 人们相信当试验次数n无限增大的时候 此随机变量将趋向于常数 即数学期望 这就是大数定律 这就让人想到极限的概念 但是 传统的极限定义在这里遇到了麻烦 传统的一个数列 an 的极限是定义为 任给一个非常小的实数e 存在着一个正数N 当n N时 an a e 但概率不行 比如说虽然掷硬币试验次数增加时频率将趋于0 5 但无论试验多少回 次次正面向上的机会都是存在的 13 因此 人们就尝试其它的定义有关随机变量的极限的办法 比如说均方收敛 大家知道当一个随机变量的方差为0时 这个随机变量实际上就是一个常数 那么 可以知道 一组相互独立同分布的期望为m方差为s2随机变量 它们的n个变量的算术平均值的期望和方差为 14 可见当随着试验次数增加 n次试验的算术平均值的数学期望将保持不变 而其方差则随着n的增加而减少 趋向于0 因此可以认为算术平均值将趋向于一个常数 即随机变量的期望 由此定义出 当一列随机变量的方差趋向于0的时候 如果它们的数学期望不变为m 则称为这组随机变量均方收敛于数学期望m 记作 15 而切贝谢夫不等式又建立了方差与概率的关系 将不等式中的x替换为hn得 由此可见 如果Dhn趋向于0 则hn落在其期望m周围的任意一个小区间 m e m e 内的概率就趋向于1 因此人们就将这样的情况称做依概率收敛 16 定义5 1若存在常数a 使对于任何e 0 有 17 定理5 3 辛钦大数定律 如果x1 x2 是相互独立并且具有相同分布的随机变量 有Exi a i 1 2 则有 这个定理说明我们应当相信只要反复试验 则一个随机变量的算术平均值将趋向于常数 通常就是数学期望 18 定理5 2 贝努里大数定律 在独立试验序列中 当试验次数n无限增加时 事件A发生的频率x n x是n次试验中事件A发生的次数 满足 这个定理说明在试验条件不变的情况下 重复进行多次试验时 任何事件A发生的频率将趋向于概率 19 中心极限定理 中心极限定理是概率论的一个非常重要的定理 它原来叫中心极限定律 对中心极限定理 只需要记住这样一个描述就行 如果多个相互独立的随机变量相加 不管它们是离散的还是连续的或者是任何类型的 只要它们大小相差并不悬殊 则加起来以后得到的随机变量 就近似服从正态分布 20 正态分布的概率密度的图形 21 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0 1分布的随机变量之和 下面是当x B 20 0 5 时 x的概率分布图 22 普阿松分布相当于二项分布中p很小n很大的分布 因此 参数l np当很大时也相当于n特别大 这个时候普阿松分布也近似服从正态分布 下面是l 30时的普阿松概率分布图 23 在c2 n 分布中 如果自由度n很大 也可以认为是多个自由度为1的相互独立的c2 1 分布的随机变量的和 因此也近似服从正态分布 下面是c2 60 的概率密度曲线 x 0 60 120 24 例1一个螺丝钉的重量是一个随机变量 期望值是一两 标准差是0 1两 求一盒 100个 螺丝钉的重量超过10 2斤的概率 解设一盒重量为x 盒中第i个螺丝钉的重量为xi i 1 2 100 x1 x100相互独立 25 例2对敌人的防御地段进行100次轰炸 每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量 其期望值为2 方差为1 69 求在100次轰炸中有180颗到220炸弹命中目标的概率 解令第i次轰炸命中目标的次数为x 100次轰炸命中目标次数x x1 x2 x100 Ex 200 Dx 169 近似有x N 200 132 26 定理5 5拉普拉斯定理 设x B n p 27 例310部机器独立工作 每部停机的概率为0 2 求3部机器同时停机的概率 解10部机器中同时停机的数目x B 10 0 2 28 例4设电站供电所有10000盏电灯 夜晚每一盏灯开灯的概率都是0 7 而假定开关时间彼此独立 估计夜晚同时开着的灯数在6800与7200之间的概率 解开着的灯数x B 10000 0 7 29 例5产品为废品的概率为p 0 005 求10000件产品中废品数不大于70的概率 解100