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第18章隐函数定理及其应用小结 一 内容要求 1 了解隐函数的概念 理解隐函数存在唯一性定理 可微性定理 掌握隐函数的求导法 2 了解隐函数组的概念 理解隐函数组定理 掌握求导法 了解反函数定理与坐标变换 3 会求平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与与法平面 曲面的切平面与法线 4 会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题 极值 最值 不等式 二练习 1 理解隐函数存在唯一性定理 可微性定理 掌握隐函数的求导法 例1 验证方程 在点 0 0 某邻域 可确定一个单值可导隐函数 解 令 则 并求 连续 由定理可知 导的隐函数 在x 0的某邻域内方程存在单值可 且 例2 设 解 利用隐函数求导 再对x求导 解法2利用公式 设 则 两边对x求偏导 2 了解隐函数组的概念 理解隐函数组定理 掌握求导法 了解反函数定理与坐标变换 例3设 解1 令 则 解2 方程两端对x求导 注意 即 得 即 3 会求平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与与法平面 曲面的切平面与法线 所求切线方程为 法平面方程为 4 会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题 极值 最值 不等式 解 则 练习2 解 得 例2 求在约束条件 下的极小值 并证明不等式 解 作拉格朗日函数 令 即稳定点 解 作拉格朗日函数 令 即稳定点 其次再判别稳定点是极值点 记 则 故方程 在稳定点附近可唯一确定可微数 令 现在用二元函数取极值的充分条件判别 是的极值点 由约束条件得 从而 故在点有 因此在取极小值 这等价于在取极小值 分析约束集 是一无界集 当在内远离原点时 函
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