第二章 弹性力学的基本方程ppt课件

第二章弹性力学的基本方程和一般原理 2 1载荷应力 2 2平衡 运动 微分方程 2 3斜面应力公式应力边界条件 2 4位移几何方程 2 5广义Hooke定律 2 6弹性力学问题的一般提法 2 7指标表示法 2 8迭加原理 2 9弹性力学问题解的唯一性原理 2 10圣维南原理 2 1载荷应力 1 外力的表示外力 直接施加在物体上引起物体的变形与内力 根据外力作用区域分为体积力和表面力 体积力 分布在物体的体积内 作用在物体内的所有质点上 例如重力 惯性力 电磁力等 体力矢量表示为 表面力 作用在物体表面上的外力 简称面力 例如 液体或气体的压力 固体间的接触力等 通常用面力矢量 2 应力在载荷的作用下 物体的各部分之间要产生相互作用 这种物体内的一部分对另一部分的相互作用力 称为内力 弹性体内一点内力集度表示为 注意 同一点不同截面上的内力不同 2 应力分量应力正负号的规定 正面上的应力分量与坐标轴的正方向一致为正 负面上的应力分量与坐标的负方向一致为正 反之为负 应力分量 1 微元体 首先 在物体内一点P的附近 用三组坐标面的平行平面截出一个微小的平行六面体单元 三条棱边的长度分别为dx dy dz 如图2 6示 作用在微元体上的体力的三个分量仍用和表示 2 2平衡 运动 微分方程 2 力平衡微分方程 由得 又称纳维叶 Navier 方程 3 力矩平衡方程 剪应力互等定理 3 运动微分方程 如果物体处于运动状态 根据达朗伯 d Alembert 原理 在体力项中引入惯性力 和 这里 为材料密度 t为时间 运动微分方程 2 3斜面应力公式应力边界条件 过物体内的一点P取出一个微四面体 设斜面 的面积为dA 则三个负面的面积分别为 1 四面体的平衡方程 由x方向的平衡条件得 将各面面积代入得 同理可得 上式称为斜面应力公式 又称Cauchy公式 2 斜面上的正应力与剪应力 3 边界条件 上式称为应力的边界条件 l m n为斜面外法线方向余弦 2 4位移几何方程 1 位移物体内各点位置的改变量称为位移 用u v w表示位移矢量u 沿x y z三个坐标方向的分量 并规定沿坐标轴正方向的位移分量为正 反之为负 研究物体位形变化 可以将位移分解成两类 1 物体刚体位移 2 物体内质点间相对位移 2 应变 线元的相对伸长 称为正应变 沿x y z 和 表示 即 方向线元的正应变分别用 正交线元直角的变化称为剪应变 沿x y z 直角的变化分 和 表示 方向三个正交线元 别用 符号规定 正应变以伸长为正 缩短为负 剪应变以直角的减小为正 反之为负 这种规定与应力的正负规定是一致的 几何方程 几何方程是物体变形过程的位移 应变关系 设弹性体内任一点 的位移分别为u x y z v x y z w x y z 为简化起见 通过投影的变形分析来建立应变 位移关系 物体变形的位移及在坐标面上投影 以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变 位移关系 以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变 位移关系 P点的邻近点A和B的坐标分别为 x dx y z 和 x y dy z 将 点的位移按Taylor级数在 点处展开 点 点 在小变形条件下 在小变形条件下 同例分析平面yoz和平面zox可得 方程组称为几何方程 又称为柯西 Cauchy 方程 2 5广义Hooke定律 1 简单应力状态 简单拉压 纯剪切 2 复杂应力状态 3 体积应变 称为体积应变 4 用应变表示应力 同理 令 则 于是 式中 中称为拉梅常数 注意 是应变张量分量而不是 剪应变分量 上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律 上式还可进一步写成 2 6弹性力学问题的一般提法 我们通过对平衡 几何和物理三个方面的分析建立了弹性力学的全部基本方程 即平衡 运动 微分方程 几何方程和应力 应变关系 又称纳维叶 Navier 方程 1 平衡微分方程 运动微分方程 2 几何方程 方程组称为几何方程 又称为柯西 Cauchy 方程 3 应力 应变关系 本构关系 应力 应变关系 本构关系 用应变表示的应力 应变关系 三大控制方程含盖所有弹性力学问题 方程组具有15个未知量15个方程 可以求解 具体弹性力学问题 必须与相应的弹性力学问题 为此需知具体问题的边界条件 4 边界条件 应力边界条件 位移边界条件 混合边界条件 2 7指标表示法 力的分量 应力分量 应变分量和位移分量引用的记号法 是一种公认的表示方法 但有由于控制方程的表示过于冗长 为减少篇幅 在力学等大多数文献中 在理论推导采用指标表示 1 指标符号 具有相同性质的一组量 可以用一个带下标的字母表示 位移分量 u v w可以写成 缩写后为 坐标 x y z可以写成 缩写后为 单位基矢量 可以写成 缩写后为 应力分量 可以写成 缩写后为 应变分量 可用 表示 由此 向量可表示为 在三维笛卡尔空间中 下标用小写英文母表示 并取 在二维笛卡尔空间中 下标用小写希腊字母表示 并取 三阶线性代数方程组 可表示为 引用求和记号以后 还可以进一步简写为 2 求和约定 于是上式可表示为 在表达式的某项中 某指标重复出现一次 则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和 这就是爱因斯坦 Einstein 求和约定 重复指标称为哑指标 或简称哑标 式中的i 不是求和指标 非求和指标称为自由指标 注意 而 3 求导数的简记方法 例如 4 克罗内克 Kroneker 符号 定义 于是 1 具有如下性质 2 3 4 5 置换符号 置换符号用表示 定义 a 循环序列 i j k取不同的值 b 逆循环序列 i j k取不同的值 c 非循环序列 i j k中有两个以上的指标取相同值 利用置换符号可以简化公式 1 行列式 可表示为 2 向量叉积 可表示为 当采用指标记法时 弹性力学问题的控制方程 在V内 1 平衡 运动 微分方程 2 几何方程 在V内 3 应力 应变关系 在V内 在V内 在V内 4 边界条件 力的边界条件 在内 位移边界条件 在内 2 8迭加原理 考虑同一物体两组载荷情况 在上 在上 位移 第二组 体力 在V内 面力 在上 第一组 体力 在V内 位移 面力 在上 对第一组载荷应有 在V内 在上 在上 对第二组载荷应有 在V内 在上 在上 在V内 在上 在上 将上面两组关系中的对应方程相加得 若 则 在上 上式表示在体力及面力作用下 约束位移为弹性力学问题的解为 应力 应变 位移 对于大变形情况 几何方程将出现二次非线性项 平衡微分方程将受到变形的影响 因而叠加原理不再适用 对于非线性弹性或弹塑性材料 应力 应变关是非线性的 叠加原理不成立 2 9弹性力学问题解的唯一性原理 唯一性定理 在给定载荷作用下 处于平衡状态的弹性体 其内部各点的应力 应变解是唯一的 如果物体的整体刚体位移受到约束 则位移解也是唯一的 证明 设对应于同一组载荷 和约束条件 存在两组不同的解 分别记为 则 在V内 在上 在上 及 在V内 在上 在上 将以上两组关系中的对应方程相减 得 在V内 在上 在上 上式表明 两解之差 和 对应了一个无体力 无面力的自然状态 根据无初应力假设 在自然状态下 有 可见 应力 应变解是唯一的 对应无变形状态 为刚体位移 应力边值问题 或 与之相应的位移 零位移 位移边值问题或混合边值问题 当限制刚体位移 则 2 10圣维南原理 圣维南原理 若作用在物体局部表面上的外力 用一个静力等效的力系 具有相同的主矢和主矩 代替 则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计 若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系 则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响 只在该力系作用的区域