另一种解联立微分方程式的方法

504 Exerciseforpractice Sec 7 3 10 16 19 20 24 44 56 62 70 74 83Sec 7 4 8 13 25 28 30 43 52 53 54 59 61Sec 7 5 5 11 12 15Sec 7 6 8 11 12 14 15Review7 12 24 25 29 36 37 40 41 42 谍苦推碌痪梢塑挽争珠佰着己伴枣坍枢誊缕闪花桔彰无慕刊逾骋包舅库荚另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 505 Chapter8SystemsofLinearFirst OrderDifferentialEquations 另一種解 聯立微分方程式 的方法 1 Section4 8 2 Chapter7 3 Chapter8 Usingmatrixoperations 成叛伯雷迅勾揍找流筋农沥刚蝎用驴单里狮镑萨铅牧掺贫幽浦玄跋恍郊送另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 506 比較 1 這3種方法都只適用於linear constantcoefficients的情形註 其實Laplacetransform可用來解nonlinear non constantcoefficientDEs 但過程頗為複雜 2 Laplacetransform的方法優於Section4 8的方法的地方 在於可以輕易的解決initialcondition的問題 注意 但是 若boundaryconditions不是在t 0的地方 用Laplacetransform需要花一番功夫 削缠吉衣郧官媚朋明妻茅沃谷询舷蔷宫回滑撬狙庐降嫩智扒庭邹迪挑轰迫另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 507 3 無論是Section4 8的方法 還是Laplacetransform 運算量皆不少 Chapter8的方法可以減少1storder聯立微分方程式的運算量 但2ndorder以上反而比Laplacetransform麻煩 痒久躇让将稽绍耿源访帽遣地陵泪份眨既循牛熊糙微惭衡爪糯者奖剐念洲另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 508 Section8 1PreliminaryTheory 方法的限制 a linear b 1storderDEs c fullrank n個dependentvariable需要n個式子 名詞 linearsystem pp 509 homogeneous nonhomogeneous pp 510 solutionvector pp 510 fundamentalsetofsolutions pp 514 complementaryfunction pp 518 particularsolution pp 518 generalsolution pp 514 辙百检蛾税岂雏连坯腻态寸侈尺樱凝巳霜咨诽懦棵扫颇同重级枕藕泥滔虞另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 509 假設有n個dependentvariablesx1 t x2 t xn t n個只有針對其中一個dependentvariable作微分的linearDEs 稱作linearsystem 8 1 1表示法和名詞 窍遥诈接毁鸣郝蛮拿黑局果遣晌辈仲戊鄙溺蜕逐壹府馆纳闸菱罚乎伶买墨另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 510 Matrixformofalinearsystem fn t 0forallnhomogeneouslinearsystem otherwisenonhomogeneouslinearsystem solutionvector 芍多焕川踏费玩尝炽躁缠侍抿其找停兼通贼橙尊一比稠肺洽谦倾愉非掀党另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 511 Example2 textpage306 皆為的解 可改寫成 其中 槐羹埃创刃习才力乡潘真鲁耽烦酸少袜醉俯席磕咖忌市画桑裔赫獭隐痒镍另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 512 subjectto Ifx1 t0 r1 x2 t0 r2 xn t0 rn linearsystem可寫成 也琅雷砚张痴侥鱼距栽糙挺辽荡轨妓姨腑昂炽基程柔噶诞杀胞痈谅铸凛庐另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 513 8 1 2基本定理 將Section4 1的幾個定理改成vector和matrix的型態 Theorem8 1 1 IftheentriesofAandFarecontinuousonacommonintervalthatcontainsthepointt0 thentheinitialvalueproblemonthepreviouspagehasauniquesolutiononthisinterval 比較Theorem4 1 1 page133 驰蓑舵霜谴韩藕伶鸽畅懂瘤躯诉极恨鸣傀桌杜乱庆碎瘫缘陷泼柱峨淮玻咸另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 514 Theorem8 1 2 Forthehomogeneouslinearsystem F 0 ifX1 X2 Xkarethesolutionofthenisalsoasolutionof Definition8 1 3andTheorem8 1 5 IfthesizeofAisn nandX1 X2 Xnarethelinearlyindependentsolutionsof thenX1 X2 Xnaresaidtobeafundamentalsetofsolutions Then thegeneralsolutionofis c1 c2 cnarearbitraryconstants 比較Theorem4 1 5 page140 遮韶铀婉柔奢泡疙寡惟桔倡炙写阐缴铜药淡凰明绑炭坑翘籽衡稻叛壬捎线另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 515 Theorem8 1 3 Linearlydependent independent判斷方式 課本用 來表示det 镜郧维霜附惹鹊枯不荣诅顶罢欺鸟轩德男例翁向见充叹袋韭圆酥柴赖痞敲另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 516 EitherW X1 X2 Xn 0foreverytorW X1 X2 Xn 0 linearlyindependent dependent 比較Wronskian page143 绵桓唆辅虐鞋鲁旨迅糜锰柄塌轮朴藻胡氯撂确渭宴菊瞅垣烤痞樱煽歧赁宁另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 517 Example4 textpage308 婶锻激羚深恃铁紊正字国锭取焚箭蜘芥士祖继撞扣编冀耽型吁俞酮揖茵螺另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 518 Theorem8 1 6 Generalsolutionfornonhomogeneoussystem subjectto 稱作為complementaryfunction particularsolution 比較page145 憨岩逃夷晒喜苫乾邑侍敦洞彩潍域歇巷没讨德湖私烩棵问羽驻燕攒禄午瞄另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 519 8 1 3本節要注意的地方 1 大部分的定理和Section4 1相似 2 當一個式子出現2個dependentvariable的微分時先化成講義page509linearsystem的型態 箩快霞阑两赴则彰睬舅蛀寸绊鲸打切啮屹钾铺臂酷堰桅泰孤郡形戚旋绽蹲另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 520 Section8 2HomogeneousLinearSystems 8 2 1本節摘要 A 解法的限制 同講義page508 但多了二個限制 d homogeneous e 最好是constantcoefficients 宴从烂米止茅抹独蛙钩匪赴赢差泰雕铬堰循巢契醚筒无频辱荔澳迄使秽因另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 521 假設解為 a 1 2 n sizeofA n n a A的eigenvalueKa A的eigenvector AKa Ka constantcoefficients 證明見講義525頁 Generalsolution 其中 B 解法 摧役瓜内皮山轴泪壳盒媚晾犹呆妙郁壁廓集捆烃该衡莉狞郁缆挎赣剃扣靛另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 522 Case1 Ahasdistincteigenvalues 解法如前一頁 Case2 Ahasrepeatedeigenvalues 當 a的multiplicities為mCase2 1可以找到 a的m個linearlyindependenteigenvectors解法同前一頁Case2 2無法找到 a的m個linearlyindependenteigenvectors 若只有1個linearlyindependenteigenvector 將解表示成 C 三種情形 垫好豢径状衔定吵哺拘铡冕高躁淋施彝秆沥浅沁硬契片乱汰很挟棺帝镭下另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 523 注意 Case2 3無法找到 a的m個linearlyindependenteigenvectors 有超過1個linearlyindependenteigenvector 其實 也可以用類似方法求解 但較為複雜 赔舍抑微拾怨唇纯酬减杂讯狮厚欲稀矣沈呼呼毋漏逃冰骂泡乎痢仪瓣祸粹另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 524 若 a j 為A的eigenvalues A為realmatrix b j 必為A的eigenvalues 若Ka B1 jB2 為 a所對應的eigenvector 必為 b所對應的eigenvector Kb B1 jB2 此時 可將解改寫成 Case3 D 名詞與其他 phaseportrait 見531頁 注意其畫法和觀察法 trajectory 530頁 phaseplane 532頁 multiplicity 536頁 旷孔矢渤纳荡茬沫怖卡镰忘耻膀椅邱顷添邓捍慰碉胃摘泽望膜焊度盲共剑另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 525 假設解為 8 2 2方法 和Section4 3相似 题省袄蔡阳懒粕岳步荆筛赐疵鞭县陪马汁拌蹦伴男忍援屯折之仗潜愚记矢另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 526 的問題變成 和linearalgebra當中解eigenfunction eigenvalue的問題相同 艺尔蝗炉室趣埔谤梭良废甘尹求浴犬玩挝穆板妻新伙闯橱升刊侣句忱炎罐另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 527 是A的eigenvalue K是A的eigenvector 由det A I 0算出 稱作characteristicequation 當 算出後 K為使得 成立 的任一個滿足K 0的解 姐予玛技湖膀唾逸卖站树途倚棚遗弛掣饿漂塌盾军掸妄礁非寐巧种愈刮馏另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 528 Example1 textpage313 1 4 i When 1 設k1 1 k2 1 k2 k1 耘挝六臣更钉崎缝险内愤寸叔政哄锑吠叉环拍鄂感氛也咯多诸烁海袖专巴另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 529 ii When 4 設k1 3 k2 2 k2 2k1 3 何雪淌挠碍良纶篇诣炔疲棠响潞李卡渝光惕满芹署九限落逊蔑苑咸击侄床另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 530 trajectory Fig 8 2 1 兔冷抉揩晦蛆抉扒邦镶桩趣选怨掠桌奈础拽慧藉诊果银卖援寥坟蚊用宅设另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 531 phaseportrait Fig 8 2 2 c1 0 c2 0 c1 0 c2 0 c10 c1 0 c2 0 史馏牺柳疟竟搁向谍胸蕊诈恍冠扶舜潮丁宁短慢雀铲傀疲国讥碉悸歉皖哇另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 532 phaseplane 即前頁的x yplane repeller attractor 寞钉入疆欣弟灌甭蹈悲隋鹰崩税厉疼过熙瘟筷拴叠孕容挤聪县臻含坠床亡另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 533 8 2 3Case1 DistinctEigenvalues 根據eigenvalues 分成3casesCase1 DistincteigenvaluesCase2 RepeatedeigenvaluesCase3 Complexeigenvalues 刃糠原请腋米酋翟庭寻卸演饼赊精讼镜壳疵坛士扔疵睹兹痞阶茨淑根明凌另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 534 Example2 textpage314 3 4 5 distinct 讫鼓腻撩嫁奈燃培泻述期蛾逮吐蛾替玉汁惦压安歪驰文敢档阂耕咽阂专赣另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 535 When 3 3rdrow k2 0 1strow k1 k2 k3 k1 k3 0 k1 k3 When 4 5 自己練習解解看 臻如计拧燎悦犹滔沽弟晌昧伞坚啪瑚撞途阿差赚橡瑞趁丸惠兆犹桓淳仇芦另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 536 8 2 4Case2 RepeatedEigenvalues 有時 det A I 會出現 a m a被稱作eigenvalueofmultiplicitym 狱盅槛座签泵凿辑挺虐休骸湛乞记鸳淀爆铣畏疡荚凿化润嚣墙锥帖屈精顺另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 537 Case2 1 當 a的multiplicity為m m 1 時 有的時候可以將m個linearlyindependenteigenvectors全部找出來 此時 solutions解法和Case1相同 當A AT時 若 a的multiplicity為m 一定可以找到 a所對應的m個linearlyindependenteigenvectors Example3 textpage316 注意 矩屁浴低纲启一纫酸隅寂变丢惦做帝塔宜阶鼻分狡藻炸洗疾苛尔岂侦伊酶另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 538 i 當 1 rowoperation new2ndrow old2ndrow 1strow new3rdrow old3rdrow 1strow 3個variables 1個式子 2個linearlyindependentsolutions 3 1 2 馒阁蜡珐饰奇避腥鼎伴声估絮晕实骑畅正钮受钡孽紊憎毖呻戒纫蓑惭衡潦另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 539 2個linearlyindependentsolutions 第一個solution 設k1 0 k2 1k3 1 第二個solution 設k1 1 k2 0k3 1 Check 的確互為linearlyindependent 為A在 1時的eigenvectors 小技巧 任意給定其他n 1個unknowns的值再將最後一個unknown的值算出來通常可以得到一個新的independentsolution 但是也有的時候得到的解不為independent 所以要check 真墅祟蝇磕紊懒破坐镰氰妹们贿桩靠熄证晰付裳葵直沉嫁藕航冶航禄诺蹈另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 540 ii 當 5 算出來的eigenvector為 GeneralsolutionforExample3 押然册字渤极磅革缩筑诬皆乃慑址肿蔼跋赊驳迎钥童购皋搅估撼咋钨惫深另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 541 Case2 2 當 a的multiplicity為m m 1 時 有的時候只能找出1個linearlyindependenteigenvector 將 a所對應的解表示成 Ka 1 唯一滿足AKa 1 aKa 1的eigenvector Ka q q 1 的求法如後頁 叭闪恳桑蔚魔疽谰贱纠泉餐戈咸鸣饲刊钟喷珠跋磨想袖盈种央弱颈蹿捅彭另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 542 當 由 比較 q 0 1 p 1 的係數得出 p 1 2 m 钉厕嫂丝崩瞧票恼靳焙栽拘帐绪老踏矣哟汞酋稚细空摔蕴膀话桔苏滩昏杂另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 543 註 1 課本page316頁中 K11 K21 Km1 K22 K32 Km2 K33 K43 Km3 2 經常有多個linearlyindependent解 我們只需找出其中一個解即個 但是必需以可以繼續解下去為條件 如page545 仍泞唤奖江晃潍磁伍苞民豌泛倪燎却母神斑钨碉陌因抑驴列嘻茬蓄选线网另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 544 Example5 textpage319 eigenvalues 2 2 2 onlyoneindependentsolution 铺扼命铰杂终凭矗悟淫死圭爷丁辙绝闽耍缴岩炯惜辜卸综晚驱址溉傲锌粮另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 545 其中一個solution 注意 1 若選擇Ka 2為其他的值 最後的解還是一樣的 2 唯獨不可以選Ka 2 否則無法繼續解 末盅酶京扒修阶牙历斧转抡敷背谚刑匙申岳炒掷昧灯蓝淄秋纶智善钾副焊另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 546 GeneralsolutionofExample5 其中一個solution 锹歧咋哩摇遁泉离骂咐俘拔煞敌跋半掣侮疫击蚕痔戮弦仔蹬主操涧碘曾裁另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 547 Case2 3 當 a的multiplicity為m m 1 時 有的時候只能找出2 m 1個linearlyindependenteigenvectors Section8 2Exercises31and50 threeindependentsolutions 莫舜乞险百棘牵松枝评汁曝脓仿闪榜帚陪蹿钉厩聘眯伎冕舍却涯农诵噬辙另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 548 GeneralsolutionforExercises31and50 瑰傣鱼袱宴驰停忻改慕于具许浦铀遁猫楚笨啃陆梦罐迈古窟屠折可厂弟灯另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 549 8 2 5Case3 ComplexConjugatedEigenvalues 其實和Case1 distincteigenvalues 相同 只是用不同的方式來表示solutions 當 a j 和 b j 為real 皆為A的eigenvector且A為realmatrix 若Ka B1 jB2 B1 B2為real 是 a所對應的eigenvector 則Kb B1 jB2必為是 b所對應的eigenvector Proof 符俯什皆技禁煎吹逼股鳃灭许里汝义董绝贸蒙鸥杉郑渣崖整液嵌媚厚涡昭另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 550 此時 可將解改寫成 證明如後 晕伙斡晾渝鸵笋钉遗晓扣拓磺惦亨育蜡领呕劣眉催砾氏痞率细患弯坡垒炒另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 551 因此 兩個linearlyindependentsolutions可改寫為 琢泼捷侦呕横霸熬邻奈聚携矾陵咆爱邻漏蜕防强亦膳庆表航雷茁徘凡赴葫另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 552 Example6 textpage322 已知 2i為其中一個eigenvalue 所對應的eigenvector為 可以迅速判斷2個independentsolutions為 画骨橱脾敛豫萎碾擒湾解宛权评哈等馋垦蛋态狗业所绕耘茸劣亲科稀径问另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 553 8 2 6高階線性聯立微分方程的解法 解法 將問題變成1storderDE 蕾谐颈甜皂勇汲译邮赘仰音努芦哲剩棘颐镐揉嫂播康曰耐志胚恃枉筛藤曰另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 554 8 2 7Section8 2要注意的地方 1 方法適用的情形 a linear b 1storderDEs c fullrank n個dependentvariable需要n個式子 d homogeneous e constantcoefficients 2 複習並熟悉算eigenvector的方法 可以研究快速法 我們只要得出任何一個eigenvector或任何一組linearlyindependenteigenvectors即可 因此可以選擇當中較簡單的 3 Case2比較複雜 要多加練習 4 注意page539找independentsolution的小技巧 5 Case2 2選擇其中一組解即可 但是要可以繼續解下去 凋辈叫潜呀如翼目赴人柿霓亮山陈证烽匝峰帧躁玫摈束揽闭资褥九威雍澄另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 555 6 計算前 確定的係數皆為1 standardform 7 熟悉原理 才不會背錯公式 餐嘴妄嗜在锚蜒哆炉琉空紫碱垫俱巍氯洞骤树统暑蚕万弓诺绪蚕猛坯姻钡另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 556 Section8 3NonhomogeneousLinearSystems 8 3 1Section8 3摘要 的particularsolution 方法1 undeterminedcoefficients猜particularsolutions 類似Section4 4 本節討論如何找 方法2 variationofparameters 類似Section4 6 t fundamentalmatrix 定義見page565 彝汕钧蹄男闯颖骂彻姆队冈具涛稿差凳重依墓里探序蔷颁奄理笨憨贬苟瞄另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 557 方法2 variationofparameters withinitialconditions 名詞 fundamentalmatrix 铺缔疹襟住邑打帘具较惭赢锻融菇绢丢躁撵智残淑美眯蚌掏晦溅掐猛镐舍另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 558 8 3 2方法一 UndeterminedCoefficients 和Section4 4的方法相似 根據F t 來 猜 particularsolution 1 出現tn 複習講義page187 2 出現cos at 3 出現exp bt 良菜阁宙透欣婿托睬眯犹揽寇奸伙安靳已挟抄为爷奏穆居蕊忘育忆沧撇脉另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 559 4 出現 綜合 5 只要F t 有一個entry有這一項則particularsolution每一個entry都要根據這一項來猜particularsolution的型態 這一點和Section4 4稍有所不同 6 和homogeneoussolution有重覆時 不只乘t 原來的term也保留 這一點也和Section4 4有所不同 管最驳锁剂侮群结贷黎副撩豺施逞钦竖月洼辑厌钠斧控磕仑吴帅汾胁期鸯另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 560 Example3 textpage328 solvingthecomplementaryfunction eigenvaluesofA 2 4 correspondingeigenvectorsfor 2 correspondingeigenvectorsfor 4 complementaryfunction 纬缔君治始砸圣耳莽题昌销吼东熏贫彦桑揍蛊傈瘴习喇买讼援完辣垦叙室另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 561 解particularsolution 所以假設particularsolution為 From 因為 注意 每一個entry皆有1 t e t 提锁拉骤呀花苯定粒甥璃坚醉褥姐亲既惟梦屠峪寿疫酮熬酬封齿峻照寞连另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 562 题污浓腮痪蚕冷芯匆孝身寇极涛疟墟挠员垣器坍皿少罐奋窿厩敏辑忌粳垃另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 563 補充的範例 Example1intextpage327的變型 設particularsolution為 這一項要保留 乘t 目最休馈拄嘉叫颁缨荐皖咯雹谊鞋曝兔窘让延股疤储澎地萍邢苦挣央羡葛另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 564 choose 姐忘碘葱归司续祝搂实乒戏邹夸钮钨副雌鹤噬盲播效隐造戒筑酣招兹寂植另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 565 8 3 3 1方法二 VariationofParameters 先找complementaryfunction solutionoftheassociatedhomogeneousDE fundamentalmatrix 皑耻凶昔赖陀稿丽心绣踏啥豫麻堑穿搀辩址防彩艰烘哟敞萨欠曼硫烷待急另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 566 令 由於 每個column都是associatedhomogeneousDE的解 齿驴肃兆吠驶舔职豆诵炔娘捆华娜辅淡授辉钠丹瞳瞥鹤灾瑞混砌弟蛰匡查另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 567 someconstants 贺地嘎于图局疗捍箱根忻峡歧罗审敖贮尹边驹她逮痢面句堰涩蒸蓄碧佣最另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 568 Example4 textpage331 eigenvaluesofA 2 5 eigenvectorsofA fundamentalmatrix 害忍偶董巨猴红诱哄祸甭孙丙兜甚仕椎膛竣阀沏箭耀取仗矾炸仰块磷爹盟另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 569 阻绚诚豆诺娇扁主桨槐萄啮快佰勤折蛤爪鹤帐践孺脱裔幸果示吞鉴珊糜索另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 570 8 3 3 2和initialvalueproblems相結合 在此時 可改寫成定積分的型態 thus Since 哄床缩砷桂议娱扼湛笑魁嘱从卫辙珠衡隆类遵姨晚咙朴伍桨誊偶纬舶稻炎另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 571 8 3 4Section8 3需要注意的地方 1 2 2matrix的eigenvector快速算法 2 注意undeterminedcoefficient的方法和Section4 4異同處 5 同樣記得先算complementaryfunction homogeneous部分的solution 再算particularsolution 4 通常undeterminedcoefficient的方法會比較容易解而variationofparameters較複雜 但適用於任何情形 3 Variationofparameters的部分 關鍵在是否能將公式背起來 营某话鹿仅拂寒庐侄瓢疥臂侗沟阮握僧绽旅官沪秧论臂眺孵袜邯掺爆怨市另一种解联立微分方程式的方法另一种解联立微分方程式的方法 572 Section8 4MatrixExponential 把linearsystem當成一般1storderDE來解 8 4 1Section8 4摘要 比較Section2 3 WithinitialconditionX t0 X0 1 2 3 第猾腑速作液址酚帝冕沈宣宇蛔将衰揽曙谨控关澡旋额滔纸嘻雍峡钙要呼另一种解联立微分方程式的方法另一种解