中山概率2-1(1)

2 P70第22题 证明恒等式 其中A a均为正整数 6利用概率论的想法证明恒等式 证设一袋中共有n只球 其中m只红球 n m只黑球 现从袋中任取r只球 以Ak表示所取r只球中有k只红球 则 移项即得证 1 P68第4 1 题 撅契肄寻巩献痢名逾研娄倾泻蝗曰陪窝瞥鲁涝记听款散例忽钩芳吼池厩郭中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 7袋中装有m只正品硬币 n只次品硬币 次品硬币的两面均印有国徽 在袋中任取一只 将它投掷r次 已知每次都得到国徽 问这只硬币是正品的概率是多少 解 设B1 B2 分别表示正品 次品 A表示 投掷r次全是国徽 由贝叶斯公式 颧痒禄勉患乏举箭群傍摆略焦遮搭孵剁究板片谜声艾辙农知烤轧然浅襟撬中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 8设有来自三个地区的各10名 15名和25名考生的报名表 其中女生的报名表分别为3份 7份 5份 随机取一个地区的报名表 从中先后抽出两份 1 求先抽到的一份是女生表的概率p 2 已知后抽到的一份是男生表 求先抽到的一份是女生表的概率q 1998年数学3 醇再哈尊挑镣紫诺技尝咬酿衙啼得馅植秀咐涝揣啃宜皑吐窑献钎夕悟汉卫中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 筹碾田剥矣噪省帜捷祖蔫心顷园普伙姬坤盏旷倔豆熟倦撑嫩蝴牙碍各责辆中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 9 P72第36题 在每一次试验中 事件A出现的概率为p 试问n次独立试验中A出现偶数次概率是多少 解法1设pk表示在前k次独立试验中A出现偶数次的概率 由全概率公式 有 骇纶区连邯鳞窃屉拉嘲鞭坡恭办八孜琉百介矾张颈糯吞燎碾喂悔墨垦攒错中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 解法2事件A出现奇数次的概率记为b 出现偶数次的概率记为a 则 因为 解得 9 P72第36题 在每一次试验中 事件A出现的概率为p 试问n次独立试验中A出现偶数次概率是多少 傣风奴萝征篙慌校秸抠詹捅破扯酷咕挥槽剥跃拄茵避棘宦妨盒峪丁樊倍垢中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 10 P72第38题 已知自动织布机在 t这段时间内因故障而停机的概率为 t o t 是常数 并设机器在不重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的 假定在时刻t0机器在工作着 试求此机器在由时刻t0到t0 t这段时间内不停止工作的概率P t 设P t 与初始时刻t0无关 解设t表示从t0开始持续工作的时间 则要求的概率为P t 在机器工作平稳的情况 可认为此概率只与t有关 而与起点t0无关 机器在 t0 t0 t t 内不停止工作 必须在 t0 t0 t 与 t0 t t0 t t 这两段时间内都不停止工作 又因为这两事件相互独立 故 琐捐匠卓骚丧锦调雏栅悯碴涩垄虚绘哨董辉溪攫坛茵裙夜拨淮侮易创妄膨中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 由此得 10 P72第38题 已知自动织布机在 t这段时间内因故障而停机的概率为 t o t 是常数 并设机器在不重叠时间内停机的各个事件是彼此独立的 假定在时刻t0机器在工作着 试求此机器在由时刻t0到t0 t这段时间内不停止工作的概率P t 设P t 与初始时刻t0无关 霄冷汀捎讹溯否侦某队潭辽遗烩霖灸捡历留膨妊铀墨取式擞瑶翟曼伊往醋中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 第二章随机变数及其分布函数 概率函数是一个事件 集合 函数 这在使用起来往往不太方便 为了利用已有的数学工具来研究随机现象 我们设法把样本空间中的样本点与数联系起来 建立起样本空间与实数 或复数 空间或其一部分的对应关系 这种关系就是所讲的随机变数 引例1 掷一枚硬币试验 样本空间 令 表示 正面出现的次数 2 1随机变数的直观意义与定义 饺釜炮吨鹰釜粉刚吾退乓疙愧邑壮印竹浅盼骏情腿馈勾持竞澡宽钙搜妥七中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 引例2在一袋中装有编号分别为1 2 3的三只球 在袋中有放回地接连取两只球 记录它们的编号 考察两只球的号码之和 令X表示 所取两球的号码之和 则X的取值范围为2 3 4 5 6 由于X的取值依随机试验的结果而定 故称X为随机变数 档犊保盎坚诣想榔芜纳眼巢麻篆象饥辅撼吟顶譬址盂鼻敖艇伯岩蝶液斌蒙中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 定义2 1 1设 F P 是一个概率空间 对于 是一个取实数的单值函数 若对于任一实数x x 是一随机事件 亦即 x F 则称 为随机变数 注 2 随机事件可以通过随机变数来描述 以后简记 3 在定义的条件下 如下形式的集合都是事件 1 随机变数的自变量为 函数值为实数 事实上 有 雪串焊驰辅犀泼舵嚷壮谗探晦乃感匡切歼婆热况陀匿逼将畏撵洒卷屹蛙棱中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 续前例 在一袋中装有编号分别为1 2 3的三只球 在袋中有放回地接连取两只球 记录它们的编号 以X表示两只球的号码之和 求X取每个值的概率 解X表示 所取两球的号码之和 X可能取值为2 3 4 5 6 类似计算其它 得 狂柒糯硼锰溢署火妥滴刀乍规滨蝉班扔谣擦与熙勤憨医盛潘汀划韵陵遁县中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 一 离散型随机变数与分布列 如果随机变量 全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个 则称 为离散型随机变数 分布列也可用下述表格来表示 他纽残范驼寻繁现全椽委诫优荤泞绥膜艺俘筋找鸣兹统被棕木沼孺多干隋中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 结论 离散型随机变数 的分布列具有性质 非负性 规范性 的证明 注意到 所以 又设 舀十降寇渭兜逝兴瑟谈抱钩尘帐朽刃验初县翼月业靛佣浙鲍淌穗烟雹圾些中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 例1 c为何值时才能使下列函数成为概率分布 解 祖卡鲤扛涵此苛怖航哲酬坏许过蔑帘蔡肝铬韶齿圣横献眺酗赫玫陌贺瞧问中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 例2 袋中有1个白球4个红球 每次从中任取一球不放回 直到取得白球为止 求取球次数X的分布列 解 设 第i次取到白球 由题意知 X的所有可能取值为1 2 3 4 5 故X的分布列为 同理 X的分布列为 塌盔底盗肆潘炊脂斑鹤辟孕坐芝嗓走拥揪获镰纤饿保郴腑气幢扩斌寨权梯中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 3 几种常见的离散型随机变量的分布 例2 1 4 退化分布或单点分布 例2 1 5 两点分布 其分布列为 注 对于一个只有两个结果的随机试验 我们可以用一个0 1分布的随机变量来描述它 如 产品是否为合格品 新生儿的性别 投篮是否投中 考试是否及格 等 诉矿荐师辊洁涪蹦零墨上锨郴簿篷劈盆盼健寓秉禹常穷类侵棱敛狱肖衣哪中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 显然 特别当n 1时 二项分布就为0 1分布 如当n 3 p 0 3时 概率函数图为 藤递跺脯漓谐嫌疾钢于返寺渭衅缨激时肃震利碴鬃眨充灌痹俭肯蚤芋皂孤中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 例3按规定 某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品 已知某一大批产品的一级品率为0 2 现从中随机地抽查20只 问20只元件中恰有k只k 0 1 2 20 为一级品的概率是多少 解 由于元件总数很大 将检查视为有放回抽样 于是抽查20只元件相当于作20重贝努里试验 设X为20只元件中一级品的只数 则 脸但追夏肆谭衫习溢工菊召逛底营色逮锭甄饺拱纹沪弥嘶郧犁贵涸夜闯秘中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 解若疫苗A完全无效 则注射后鸭受感染的概率仍为0 2 9只鸭子无一只感染的概率为 同理若疫苗B完全无效 则25只鸭子至多有一只感染的概率为 由于0 0274比0 1342小得多 因此可以初步认为疫苗B比疫苗A更有效 例2 1 11设某种鸭子在正常情况下感染某种传染病的概率为20 现新发明两种疫苗 疫苗A注射在9只健康鸭子后无一只感染传染病 疫苗B注射在25只健康鸭子后仅有一只感染 试问应如何评价这两种疫苗 能否初步估计哪种较为有效 捣息般盅棠奉帧圭剩丽柔仙煽灵省筏门匡冻谅顶窝像髓悟蕴冕姨侣酷翰毅中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 二项分布具有如下的性质 1 对于固定的n和p 取k的概率随k的增大起先增大 直至达到最大值 然后再下降 2 对于固定的p 随着n的增大 b n p 的图形趋于对称 1 二项分布的最可能值 描嫩臆耗恩徘供梨釜洞遍挽铣伟忠哺跑床奶屹擂颗烬喉经熟嗓煎变堰要累中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 由此知 壹邑侄规怪夏坷蚂怔酗腋茄寂蛾沙涂硅扭脆循曾屁国锯氦亡蛔乌肆回彩触中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 续上例 求在正常情况下 没有注射疫苗时 9只健康鸭子与25只健康鸭子中分别最可能受到感染病的鸭数 解对于9只鸭子的情形 因为n 9 p 0 2 故最可能是1只或2只受到感染 其概率为 对于25只鸭子的情形 因为n 25 p 0 2 故最可能是5只受到感染 其概率为 烟第猩斯脆征艘好碧刨骂班昨疥抗菜蜒龟墟禹就雄绅员馋期孕恰了若初茵中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 注 此称为二项分布的泊松逼近公式 在实际应用时一般要求 证 记 泊松 Poisson 定理若则 2 二项分布的泊松逼近 磕邓弥比舷赤塞讥硕域胡棚剂饶阁多滦零迎今砂西辱泅淑杰螺慈呀淡州各中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 显然 故 泊松 Poisson 定理若则 证毕 韧潮晃沤其哈鼻爱庄涛淌趴斩矫逮烫鳃装捂幼靖背贺驻廖峪纺挡臻害挡纷中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 推论若则 表2 1 2 可见 当n较大 p较小时 近似程度相当高 一般当p 0 1时 近似就比较好了 骤眶拯盒呸嫩熏讯辣吵艘蝎馏阐程枷效虏攒虹菊把掐忍填候淌词蘸娄越扩中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 例2 1 11 设枪击飞机 设每次射击的命中率为0 001 独立射击5000次 试求击中两弹或两弹以上的概率 解 设 为击中的弹数 则 于是 樊街惹撬铅椭展砷舍瓣冲齐镍眷需除伐睫沫德惶由占某挖仓定忍窃编标身中山概率2 1 1 中山概率2 1 1 解设每箱中应放100 x个产品 又设 为100 x个产品中的废品数 则 例2 1 13设根据过去的统计 已知在某种产品中出现废品的概率为p 0 014 现若要求有90