2026年全国新高考2卷数学试卷（含答案及解析）

数学试卷第1页(共4页)绝密★启用前2026年普通高等学校招生全国统一考试（新高考Ⅱ卷）数学注意事项： 2026.6.71.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.1A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i2.已知集合A=013A.{0,1} B.{3,6} C.{0,1,9} D.{0,3,9}3.已知向量a，b，满足∣A.12 B.13 C.-13 D.-124.已知双曲线C:x2a2-y2b2A.y=±32xB.y=±23xC.y=±36xD.y=±26x5.已知棱台的上下底面均为有一个角为60°的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为3，则该棱台的体积为A.1912B.196C.1946.现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在一起，丙、丁不能在一起，则不同的分配方案有A.10种 B.12种 C.16种 D.24种数学试卷第2页(共4页)7.已知α为第二象限角,且3sinαcosα=8sinαcos2α,则1+A.34B.35C.128.已知函数f(x)为偶函数,且满足f(x)+f(x-2)=0,且当x∈323时，fxA.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知圆O:x2+A.A点坐标为A(-3,-4)B.当k=9时,圆A与x轴相切C.当k=11时,圆A与圆O相切D.当圆A与圆O相交时，两交点所在的直线方程为6x+8y-k-2=010.已知等比数列{an}的公比q≠1,且(a1＞0,2a3=a1A.q=-12B.Sn＞23aC.2Sn+2=Sn+1=SnD.Sk＞2n3a11.已知抛物线E:y2=8x,有一斜率为k(k＞0)的直线l过点(-1,0),点A在抛物线E上，B、A.抛物线E的准线方程为x=-2B.当直线l与抛物线E无交点时，kC.若直线l与抛物线E相交于唯一一点B，则抛物线E的焦点在直线AB上D.当k=2时,△ABC面积的最小值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a₁=-1,a₄=5,则S13.若函数fx=2x+14.已知球O的体积为VO=43π,点A、B、C、D均在球表面上,若△ABC为正三角形，且.DA四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(本小题满分13分)某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间(天)，然后绘制出如下有关于“首次故障时间”和“对应频率”的频率分布直方图.(1)求第一四分位数和中位数；(2)设p为首次故障时间小于365天的概率估计值.(i)求p;(ii)已知该工厂向某用户出售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数的分布列,若X~B(100,p),求E(X)和P(X).16.(本小题满分15分)如图,在三棱锥A-BCD中,点E在BD上,AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD.(1)求证:CD⊥AB;(2)若DE=2,BE=1,AE=数学试卷第3页(共4页)17.(本小题满分15分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C.已知cosB=cos(1)求证:△ABC是钝角三角形;(2)已知△ABC的面积为7418.(本小题满分17分)已知椭圆E:x2a2+y2=1（a＞1）的右焦点为F₁(1)求椭圆E的离心率；(2)设O点为坐标原点，给定Gt00t0≠0,Ax0y0y0≠0在椭圆E上，过A(i)求轨迹M的方程；(ii)当t₀取何值时，轨迹M有对称中心?当轨迹M有对称中心时，将轨迹M平移到轨迹M'使O(0，0)为其对称中心点，试说明轨迹M'是什么形状?19.(本小题满分17分)已知函数f(1)求a、b;(2)若x＞0时,f(x+m)-f(x)＞m恒成立,求m的取值范围;(3)若x＞0时,f(x+k)-f(k-x)＞2f(k)恒成立,求k的最小值.数学试卷第4页(共4页)2026年普通高等学校招生全国统一考试（新Ⅱ卷）数学答案及解析注意事项： 2026.6.71.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.1A.-8+6i B.-8-6i C.8+6i D.8-6i【答案】B【答案解析】1-32.已知集合A=013A.{0,1} B.{3,6} C.{0,1,9} D.{0,3,9}【答案】A【答案解析】由x=x得x≥0,平方得x2=x,所以x=0或x=1,即.B=01.因此A∩B3.已知向量a，b，满足∣A.12 B.13 C.-13【答案】D【答案解析】∣a+b∣2-∣a-b∣2=4ab4.已知双曲线C:x2a2-y2b2A.y=±32xB.y=±23xC.y=±36xD.y=±【答案】B【答案解析】过(1,0)得a2=1.代入72-3,得75.已知棱台的上下底面均为有一个角为60°的菱形，且上下底面的边长分别为2和3，若该棱台的高为3，则该棱台的体积为A.1912B.196C.194【答案】D【答案解析】两个底面积S1=22sin6.甲、乙、丙、丁等8人分为2组，每组4人，甲、乙必须在一组，丙、丁不能在一组，排法有几种A.10 B.12 C.16 D.24【答案】C【答案解析】设两组有区分.甲、乙所在组有2种；再从丙、丁中选1人，从其余4人中选1人，与甲、乙同组，有2×4种.所以共有2×2×4=16种,选C.7.已知α为第二象限角,且3sinαcosα=8sinαcos2α,则1+A.34B.35C.12【答案】C【答案解析】sinα≠0.由已知得6sinαcos2α=8sinαcos2α-8.已知函数f(x)为偶函数,且满足f(x)+f(x-2)=0,且当x∈323时，fxA.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3【答案】D【答案解析】方法一:由条件得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x).又f(x)为偶函数,故f(4-x)=f(x).当x∈3252时，x都在323内，于是4-x2+a4-x+b=x2+ax+b,化简得(a+4)(2-x)=0恒成立,所以a=-4.又令x=1,由f(1)+f(-1)=0及偶性,得f(1)=0,所以f(3)=0,即9+3方法二:由x=1代入原式,得f(1)+f(-1)=0,偶性给出f(1)=f(-1),故f(1)=0;再由f(3)+f(1)=0,得f(3)=0,即9+3a+b=0,只剩A、D.再由f32+f-12=0,f52+f12=0,方法三:由f(x)+f(x-2)=0,得f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),即f(x)是以4为周期的函数.又f(x)为偶函数,f(2+t)=f(2-t),因此在x∈3252上，qx=x2+ax+b满足q于是q4-x=4-x2+a4-x+b=x2+-又由x=3得f(3)+f(1)=0;由x=1得f(1)+f(-1)=0,而f(-1)=f(1),所以f(1)=0,从而f(3)=0.故q(3)=9+3a+b=0,代入a=-4,得b=3,选D.方法四：偶函数加2反周期，一眼看出x=2是对称轴，所以二次式qx=x2+ax+b的对称轴就是x=2，即-a2=2同时x=1时,f(1)+f(-1)=0,偶性给f(-1)=f(1),所以f(1)=0;再由f(3)+f(1)=0,得f(3)=0.于是9+3a+b=0,b=3,选D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆O:x2+A.A点坐标为A(-3,-4)B.当k=9时,圆A与x轴相切C.当k=11时,圆A与圆O相切D.当圆A与圆O相交时，两交点所在的直线方程为6x+8y-k-2=0【答案】BC【答案解析】⊙A的方程可化为x-32+y-42=25-k,k=9时，半径r=4，圆心到x轴的距离为4，所以与x轴相切，B正确；k=-11时,r=6,OA=5,又r-1=5,所以两圆内切,C正确;若两圆相交,两圆方程相减得6x+8y-k-1=0,D错;故选BC.10.已知等比数列{an}的公比q≠1,且a1＞0,2a3=a1A.q=-12B.Sn＞23aC.2Sn+2=Sn+1=SnD.Sk＞2n3a【答案】ACD【答案解析】由a3=a1q2,a2=a1q,得2a1q2=a1+a1q,因a1当n=2时,S2=因Sn+2Sn+又记Tn=k=1n而k=1nqk=-111.已知抛物线E:y2=8x,有一斜率为k(k＞0)的直线l过点(-1,0),点A在抛物线E上，B、A.抛物线E的准线方程为x=-2B.当直线l与抛物线E无交点时，kC.若直线l与抛物线E相交于唯一一点B，则抛物线E的焦点在直线AB上D.当k=2时,△ABC面积的最小值为3【答案】ABD【答案解析】方法一：由y2=4px得p=2,,准线为x=-直线l为y=k(x+1).联立y2=8x得k2x2+若唯一交点为B，则k=2,切点B122,,焦点F(2,0).此时BF的斜率为-22l的斜率为2,两直线夹角θ满足tanθ=2≠3=tan60∘.而B，C当k=2时,l:y=2x+2.设At28t,d=∣t24-t+2∣5Smin=故选ABD.方法二：抛物线y2=8x即y2=4px,故p=2用参数P2u24u,切线为uy=x+2u2..过(-1,0)时有(0=-1+2u2,由k＞0取u=12,临界斜率k=1u=2.斜率更大时与抛物线无交点，B正确.临界切点仍为B122..若焦点F(2,0)在AB上,则AB就是BF.因为BC与l重合，必有∠FBC=60∘故选ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.等差数列a1=-1【答案】24【答案解析】设公差为d，由a4=a1+3d,得5=-1+3d,所以d=2.又13.函数fx=2x+【答案】4【答案解析】令t=2x,则t＞0,且22-x=4t.原方程等价于t+4t=m.因为t=2x与x——对应，两个零点等价于上式有两个正根.当t＞014.球O体积为43π,A,B,C,D四点均在球面上,△ABC为等边.DA=DB=DC=2,则【答案】5【答案解析】方法一：设△ABC的边长为a，H为其中心，则AH=a3.由DA=DB=DC与OA=OB=OC,,知D,O,H共线,且DH记DH=h,OH=t.由DA2=2,OA又OD=3.若O，D在H同侧，则t-h=3,从(t-h)(t+h)=1得t+h=13,与t+h＞于是a23=2方法二：由球体积得R=3,OD=3.A，B，C同在球O与以D为球心、2为半径的球的公共圆上，此圆即设公共圆半径为r，平面到D的距离为x.截圆公式给出x=OD2等边三角形面积只由外接圆半径决定，S△ABC=33四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间(天)，然后绘制出如下有关于“首次故障时间”和“对应频率”的频率分布直方图.(1)求第一四分位数和中位数；(2)设p为首次故障时间小于365天的概率估计值.(i)求p;(ii)已知该工厂向某用户出售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数的分布列,若X~B(100,p),求E(X)和P(X).【答案解析】(1)由频率分布直方图可得各组频率依次为0.005×10=0.05,0.010×10=0.10,0.020×10=0.20,0.025×10=0.250.015×10=0.15,0.015×10=0.15,0.010×10=0.10累积频率依次为0.05,0.15,0.35,0.60,0.75,0.90,1.Q所以第一四分位数为370，中位数为381.(2)(i)首次故障时间小于365天对应前两组，p(ii)由X~B(100,0.15),得E(X)=100×0.15=15,D(X)=100×0.15×0.85=12.75.16.(本小题满分15分)如图,在三棱锥A-BCD中,点E在BD上,AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD.(1)求证:CD⊥AB;(2)若DE=2,BE=1,AE=【答案解析】(1)因为BC,CE都在平面BCD内,且BC∩CE=C,又AE⊥BC,AE⊥CE,所以AE⊥平面BCD,从而AE⊥CD.又CD⊥AD,AE,AD都在平面ADE内,且AE∩AD=A,所以CD⊥平面ADE.因为E∈BD,所以B在平面ADE内,故AB⊂平面ADE,于是CD⊥AB.(2)由(1)知AE⊥平面BCD,所以AE⊥DE,AE⊥CE.AD=又CE2=DE2以E为原点，ED所在直线为x轴，过D且平行于CD的直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系.则E(0,0,0),D(2,0,0),B(-1,0,0),A(0,0,2),C(2,23,0).所以AD设平面ABC的一个法向量为n=xyz,由设AD与平面ABC所成角为φ，又AD⋅AD的长度为6,n的长度为36故AD与平面ABC所成角的正弦值为617.(本小题满分15分)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、C.已知cosB=cos(1)求证:△ABC是钝角三角形;(2)已知△ABC的面积为74【答案解析】(1)由A+B+C=π,得A+C=π-B,所以cos2A+C=又sin2B=1由正弦定理，asinA=bsinB由余弦定理，b将b2=ac代入，得a2所以(2a-c)(a-2c)=0,解得a=2c或c=2A.若a=2c,则b2=ac=2若c=2a,同理C为钝角.所以，△ABC为钝角三角形.方法二：因为A+C=π-B,所以cos由cos2A+C+又cos所以cosAcosC＜0,而cosB＞0,故A,C中有一个为钝角,△ABC为钝角三角形.(2)因为S△ABC=12acsinB,sin由(1)知b2=ac=2又a=2c或c=2a,且ac=2,所以a+c=3.因此△ABC的周长为a+b+c=方法二：设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S.sinB=1-916由(1)知sinAsinC=716ac=所以R2=8由余弦定理b2=aa+c2=a2+c2故△ABC的周长为a+b+c=18.(本小题满分17分)已知椭圆E:x2a2+y2=1（a＞1）的右焦点为F₁(1)求椭圆E的离心率；(2)设O点为坐标原点，给定Gt00t0≠0,Ax0y0y0≠0在椭圆E上，过A(i)求轨迹M的方程；(ii)当t₀取何值时，轨迹M有对称中心?当轨迹M有对称中心时，将轨迹M平移到轨迹M'使O(0，0)为其对称中心点，试说明轨迹M'是什么形状?【答案解析】方法一：(1)设椭圆半焦距为c，则c过右焦点且垂直于x轴的直线为x=c，代入E得c所以y截得的弦长为2a,于是2a=2,(2)(i)由(1)知E:x22+y2=1.设P(x,y),因为B0y又P在GB上，于是x=1由λx0=1-λt反解得x0=t0xt故M的方程为t02x22(ii)展开得