费马点在数学解题中的应用

费马点在数学解题中的应用 德化三中陈为烧 学习情境 法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题 在三角形所在平面上 求一点 使该点到三角形三个顶点距离之和最小 人们称这个点为 费马点 这是一个历史名题 近几年中考数学出现过不少这类问题 你听说过费马点吗 本节课我们将了解这个问题的产生 形成 推理和论证过程及应用 费马点 就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点 费马点定义 如图 P为 ABC所在平面上的一点 若P到 ABC三顶点的距离之和为PA PB PC 当点P哪点时 距离之和最小 如何找点P使它到 ABC三个顶点的距离之和PA PB PC最小 找费马点方法 若三角形3个内角均小于120 那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角 即该点所对三角形三边的张角相等 均为120 所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心 费马点证明 将 BPC绕点B旋转60 到 BP C 的位置 连接PP 则 BPP 为正三角形 PA PB PC PA PP P C AC 当A P P C 在同一直线上 即 APB 180 BPP 120 BPC BPC 120 时 PA PB PC AC 为最小值 证明 证明 2 若三角形有一个角大于120 则费马点为三角形钝角的顶点 1 若三角形3个内角均小于120 那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角 结论 三角形最大角小于1200 费马点如何画 距离之和的最小值如何求 等腰Rt ABC 边AB 4 P为 ABC内部一点 则AP BP CP的最小值是 例1 等腰直角三角形类型 知识运用 已知正方形ABCD内一动点E到A B C三点的距离之和的最小值为 求此正方形的边长 练习 已知三村庄A B C构成了如图所示的 ABC 其中 A B C均小于120 现选取一点P打水井 使从水井P到三村庄A B C所铺设的输水管总长度最小 求输水管总长度的最小值 例2 若点P为 ABC所在平面上一点 且 APB BPC CPA 120 则点P叫做 ABC的费马点 1 如图1 若P为锐角 ABC的费马点 且 ABC 60 PA 3 PC 4 则PB的值 2 如图2 在锐角 ABC的外侧作等边 ACB 连结BB 求证 BB 过 ABC的费马点P 且BB PA PB PC 例3 1 如图 四边形ABCD是正方形 ABE是等边三角形 M为对角线BD 不含B点 上任意一点 将BM绕点B逆时针旋转60 得到BN 连接EN AM CM 求证 AMB ENB 当M点在何处时 AM CM的值最小 当M点在何处时 AM BM CM的值最小 并说明理由 当AM BM CM的最小值为时 求正方形的边长 作业 2 小华遇到这样一个问题 如图1 ABC中 ACB 30 BC 6 AC 5 在 ABC内部有一点P 连接PA PB PC 求PA PB PC的最小值 小华是这样思考的 要解决这个问题 首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离 然后再将它们连接成一条折线 并让折线的两个端点为定点 这样依据 两点之间 线段最短 就可以求出这三条线段和的最小值了 他先后尝试了翻折 旋转 平移的方法 发现通过旋转可以解决这个问题 他的做法是 如图2 将 APC绕点C顺时针旋转60 得到 EDC 连接PD BE 则BE的长即为所求 1 请你写出图2中 PA PB PC的最小值为 2 参考小华的思考问题的方法 解决下列问题 如图3 菱形ABCD中 ABC 60 在菱形ABCD内部有一点P 请在图3中画出并