8.1数项级数(1-74)

8 1数项级数 1 无穷级数的基本概念 无穷级数 第八章无穷级数 无穷级数 1 的部分和数列 定义 无穷级数的收敛与发散 说明 2 注意收敛数列与级数收敛的区别 级数收敛 级数的和是其部分和数列的极限 解 所以原级数收敛 且有 解 当时 此时级数收敛且有和 当时 级数发散 当时 级数发散 当时 不存在 级数发散 为此我们先讨论无穷级数的一些基本性质 从上面例子可知 设收敛于S 分别记的部分和数列为 的部分和数列为 则 证明 余式 余式收敛 反之设余式 2 收敛 则 收敛 说明 证明 2 级数收敛的必要条件 设 则有 证明 级数发散 解 由于其n项部分和Sn满足 解 发散 说明 注意 性质5 证明 其部分和数列为 由 说明 2 对收敛级数不能去括号 反例 收敛级数 去括号后 发散级数 3 对发散级数加括号会改变其敛散性 见上反例 解 则有 并且当n 1时 有 项 据收敛级数的必要条件知发散 再根据性质5知原级数发散 2 正项级数 正项级数 设级数是正项级数 则由 知Sn单调上升 单调上升数列 Sn 有极限 Sn 有上界 说明 解 级数称为p 级数 当p 1时 原级数即为调和级数 所以发散 当p 1时 则有 由于 级数发散 故有 当p 1时 设p 1 0 由于对任意 所以有上界 级数收敛 综上所述有以下结论 收敛 当p 1时 发散 当p 1时 定理 正项级数的比较判别法 设是正项级数 证明 只需考虑余和的敛散性 1 由n N时 bn an 0 得 因为收敛 余和收敛 收敛 收敛 2 反证法 设收敛 收敛 由 1 知收敛 收敛 矛盾 解 如果0 a 1 则由 发散 如果a 1 则由 及收敛 据比较判别法知收敛 解 因为当x 0时 x sinx 而级数收敛 收敛 据比较判别法知原级数收敛 定理 比较判别法的极限形式 设是正项级数 如果极限 3 当0 K 时 具有相同的敛散性 证明 1 由 对于 1 存在N 0 当n N时 有 现收敛 收敛 收敛 2 由 存在N 0 当n N时 有 现发散 发散 发散 说明 对bn的要求是 通常可取 由于的敛散情况已知 据定理推得原级数 的敛散情况 解 1 2 而发散 据比较判别法知原级数发散 解 因为 所以 现收敛 原级数收敛 证明 1 取定 由 存在N 0 当n N时有 现收敛 收敛 2 如果 1 则根据极限的性质 存在N 0 使当n N时 有 从而有 级数发散 3 对于p 级数 而当p 1时 级数收敛 当p 1时级数发散 解 当a 0时 级数收敛 当a 0时 由 据达朗贝尔判别法知 原级数收敛 解 由于 据达朗贝尔判别法知 原级数收敛 据达朗贝尔判别法知 原级数收敛 解 证明 1 由 对于 据比较判别法知 收敛 解 据柯西判别法知 原级数收敛 证明 记由f t 连续单调减 又f x 单调减 若收敛 的部分和有上界 收敛 若发散 由于 及 的部分和无界 发散 综上所述 与具有相同的敛散性 解 取 则且对任意 的p R 当x充分大时 f x 是非负且单调减的 当p 1时 收敛 收敛 当p 1时 发散 发散 解 由于 据比较判别法知原级数收敛 解 又 有界 存在A 0使 又收敛 据比较判别法知原级数收敛 解 1 因为 由收敛 收敛 由比较判别法知收敛 2 不一定 考察级数 则 收敛 而原级数是发散的 3 若an单调下降 则 由收敛 30任意项级数 绝对收敛 证明 由收敛 收敛 收敛 收敛 本段讨论任意项级数的审敛问题 说明 此定理提供了任意项级数审敛的一种方法 考察它是否绝对收敛 这是一任意项级数 因为 解 而收敛 级数绝对收敛 从而原级数收敛 注意 定理 达朗贝尔 证明 2 由 对于 发散 定理 Canchy 解 由 所以级数发散 关于绝对收敛级数有以下重要性质 定理 证明 据比较判别法知 可知绝对收敛 因为 现收敛 都收敛 由于 若记 则 推论 进一步可知绝对收敛级数可任意交换项的次序 定理 级数的柯西乘法 对角线法 设 其中 例如几何级数 则 即 条件收敛级数 但关于交错级数有下面的莱布尼兹判别法 交错级数 定理 莱布尼兹判别法 证明 设的部分和数列为 Sn 考虑子列 S2k 由于 S2k 是随k单调增的 又 S2k 单调增且有上界 S2k 收敛 设 再考虑奇数项的子数列 S2k 1 因为 据极限性质知 交错级数收敛 从证明过程可知 2 解 这是一交错级数 发散 原级数非绝对收敛 由于 又单调减且 解 当a 0时 原级数收敛 当a 0时 考虑级数 由于 于是 当时 原级数绝对收敛 当时 原级数发散 当时 由知 原级数绝对收敛 解 因为收敛 而 现收敛 所以原级数绝对收敛 解 由当n充分大时