Exp1 Lagrange插值和Newton插值.doc

数值计算实验1Lagrange插值和Newton插值实验题：用Lagrange插值和Newton插值拟合0, 2*pi上的sin函数。提示：（1）分别编写通用的Lagrange插值和Newton插值的程序；（2）在插值区间上采点；（3）调用程序进行插值计算；（4）必要时请画图。解：1. Lagrange插值拟合：用MATLAB实现Lagrang1编程：function yt,L = LagInterp1(x,y,xt)% 拉格朗日插值% x,y:插值条件% xt:用拉格朗日插值函数要计算的自变量，可以是多个% yt:用拉格朗日插值函数计算出xt对应的函数值数组% L: 拉格朗日插值多项式表达式syms t;n=length(x);ny=length(y);if n=ny error(插值节点x与函数值y不一致);end L = 0.0;for k = 1:n lk =1; for j = 1:n if j=k lk = lk*(t-x(j)/(x(k)-x(j); end end; L = L + y(k)*lk; endsimplify(L); % 简化拉格朗日插值多项式表达式L=collect(L); % 将拉格朗日插值多项式展开yt = subs(L,t,xt); %计算插值点处的函数值输入：x=0:pi/10:2*pi;y=sin(x);xt=pi;yt,L = LagInterp1(x,y,xt);% 画图z=0:pi/20:2*pi;yz= subs(L,t,z); %计算插值点处的函数值figure;plot(z,sin(z),-r,z,yz,-b)hold onplot(x,y,marker,+)hold onplot(xt,yt,marker,o)legend(sin(x),Lagrange插值多项式,(x_k,y_k),x=pi)xlabel(x)ylabel(y)运行结果为：1. NewtInterp插值拟合：用MATLAB实现NewtInterp编程：function yt,N = NewtInterp(x,y,xt)% 已知数据点的牛顿插值% x,y:插值条件% xt:要计算的插值点，可以是多个% yt:用牛顿插值函数出xt对应的函数值数组% N: 牛顿插值多项式表达式syms t;n=length(x);ny=length(y);if n=ny error(插值节点x与函数值y维数不一致);end a=zeros(1,n);N = y(1);w = 1;for k=1:n-1 yy=zeros(1,n); % 记录差商 for j=k+1:n yy(j) = (y(j)-y(k)/(x(j)-x(k); end a(k) = yy(k+1); w = w*(t-x(k); N = N + a(k)*w; y = yy;endyt = subs(N,t,xt);simplify(N);N = collect(N); % 将插值多项式展开N = vpa(N, 6); % 系数转化为6位精度输入：x=0:pi/10:2*pi;y=sin(x);xt=pi;yt,N = NewtInterp(x,y,xt)% 画图z=0:pi/20:2*pi;yz= subs(N,t,z); %计算插值点处的函数值figure;plot(z,sin(z),-r,z,yz,-b)hold onplot(x,y,marker,+)hold onplot(xt,yt,marker,o)h=legend($sinx$,Newton,$(x_k,y_k)$,$x=pi$);set(h,Interpreter,latex)xlabel(x)ylabel(y)运行结果为：yt = -2.0661e-016N =.670918e-19*t20+.341935e-17*t19-.332412e-15*t18+.785002e-14*t17-.51643e-13*t16-.375057e-12*t15-.22573e-11*t14+.170875e-9*t13-.3735e-10*t12-.249431e-7*t11-.257e-9*t10+.275622e-5*t9