2014创新设计(苏教版)第八章 第6讲 立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直

考点梳理 1 直线的方向向量与平面的法向量 第6讲立体几何中的向量方法 证明平行与垂直 非零向量 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 或l1与l2重合 2 设直线l的方向向量为v 与平面 共面的两个不共线向量v1和v2 则l 或l 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 3 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 或l 4 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 2 用向量证明空间中的平行关系 v1 v2 v u u1 u2 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 v1 v2 2 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 3 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 3 用向量证明空间中的垂直关系 v1 v2 0 v u u1 u2 u1 u2 0 一个命题规律空间向量与立体几何知识的结合为每年的必考内容 通常有一道综合题 难度不是很大 运用向量法解决可以降低思维难度 一般可采用传统方法与向量法求解 主要考查运算能力和空间想象能力 助学 微博 1 已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1 1 0 1 v2 2 0 2 则l1与l2的位置关系是 解析 v2 2v1 v1 v2 答案平行2 已知平面 内有一个点M 1 1 2 平面 的一个法向量是n 6 3 6 给出下列四个P点 则点P在平面 内的是 P 2 3 3 P 2 0 1 P 4 4 0 P 3 3 4 考点自测 答案 答案充分不必要 4 已知a 2 3 1 b 2 0 4 c 4 6 2 则下列给出的四个结论 a c b c a b a c a c a b 以上都不对 其中正确结论的序号是 解析 c 4 6 2 2 2 3 1 2a a c 又a b 2 2 3 0 1 4 0 a b 答案 例1 如图所示 已知直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 且AB AA1 D E F分别为B1A C1C BC的中点 求证 1 DE 平面ABC 2 B1F 平面AEF 考向一利用空间向量证明平行问题 证明如图建立空间直角坐标系A xyz 令AB AA1 4 则A 0 0 0 E 0 4 2 F 2 2 0 B 4 0 0 B1 4 0 4 1 取AB中点为N 连接CN 则N 2 0 0 C 0 4 0 D 2 0 2 方法总结 证明直线与平面平行 只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零或证明直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量的计算问题 训练1 如图所示 平面PAD 平面ABCD ABCD为正方形 PAD是直角三角形 且PA AD 2 E F G分别是线段PA PD CD的中点 求证 PB 平面EFG 证明 平面PAD 平面ABCD且ABCD为正方形 AB AP AD两两垂直 以A为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz 则A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 0 1 F 0 1 1 G 1 2 0 例2 如图所示 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 AE CD 2 PD 平面ABE 考向二利用空间向量证明垂直问题 证明AB AD AP两两垂直 建立如图所示的空间直角坐标系 设PA AB BC 1 则P 0 0 1 1 ABC 60 ABC为正三角形 方法总结 证明直线与直线垂直 只需要证明两条直线的方向向量垂直 而直线与平面垂直 平面与平面垂直可转化为证明直线与直线垂直 解如图 以D为坐标原点 线段DA的长为单位长 射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz 考向三利用空间向量解决探索性问题 1 证明 PA 面ABCD PB与面ABCD所成的角为 PBA 45 AB 1 由 ABC BAD 90 由勾股定理逆定理得AC CD 又 PA CD PA AC A CD 面PAC CD 平面PCD 平面PAC 平面PCD 方法总结 对于探索性问题 一般先假设存在 设出空间点坐标 转化为代数方程是否有解问题 若有解且满足题意则存在 若有解但不满足题意或无解则不存在 1 用向量证明线面平行的方法 1 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 2 证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 3 证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 2 利用空间向量证明两条异面直线垂直 在两条异面直线上各取一个向量a b 只要证明a b 即a b 0即可 规范解答14非标准图形的建系问题 3 证明线面垂直 直线l 平面 要证l 只要在l上取一个非零向量p 在 内取两个不共线的向量a b 问题转化为证明 p a且p b 也就是a p 0且b p 0 4 证明面面平行 面面垂直 最终都要转化为证明线线平行 线线垂直 示例 2011 全国改编 如图 四棱锥S ABCD中 AB CD BC CD 侧面SAB为等边三角形 AB BC 2 CD SD 1 1 证明 SD 平面SAB 2 求AB与平面SBC所成的角的正弦值 审题路线图 本题可以通过计算边边关系证明SD 平面SAB 第2问也可作出AB与平面SBC所成的角 利用解三角形来计算 但这种方法必须加辅助线 且易找错角 故考虑用向量法 建立恰当的空间直角坐标系是解题关键 解答示范 以C为坐标原点 射线CD为x正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系C xyz 设D 1 0 0 则A 2 2 0 B 0 2 0 又设S x y z 则x 0 y 0 z 0 点评 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 线 面之间的位置关系 3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题 1 2012 辽宁卷 如图 直三棱柱ABC A B C BAC 90 AB AC AA 点M N分别为A B和B C 的中点 1 证明 MN 平面A ACC 2 若二面角A MN C为直二面角 求 的值 高考经典题组训练 解 1 法一连结AB AC 由已知 BAC 90 AB AC 三棱柱ABC A B C 为直三棱柱 所以M为AB 中点 又因为N为B C 的中点 所以MN AC 又MN 平面A ACC AC 平面A ACC 因此MN 平面A ACC 法二取A B 中点P 连结MP NP 而M N分别为AB 与B C 的中点 所以MP AA PN A C 所以MP 平面A ACC PN 平面A ACC 又MP NP P 因此平面MPN 平面A ACC 而MN 平面MPN 因此MN 平面A ACC 2 以A为坐标原点 分别以直线AB AC AA 为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系O xyz 如图所示 设AA 1 则AB AC 于是A 0 0 0 B 0 0 C 0 0 A 0 0 1 B 0 1 C 0 1 2 2012 广东卷 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD 点E在线段PC上 PC 平面BDE 1 证明 BD 平面PAC 2 若PA 1 AD 2 求二面角B PC A的正切值 1 证明 PA 平面ABCD BD 平面ABCD PA BD 同理由PC 平面BDE可证得PC BD 又PA PC P BD 平面PAC 2 解法一如图 1 设BD与AC交于点O 连接OE PC 平面BDE BE OE 平面BDE PC BE PC OE BEO即为二面角B PC A的平面角 由 1 知BD 平面PAC 又OE AC 平面PAC BD OE BD AC 故矩形ABCD为正方形 图 1 法二如图 2 分别以射线AB AD AP为x轴 y轴 z轴的正半轴建立空间直角坐标系 由 1 知BD 平面PAC 又AC 平面PAC BD AC 故矩形ABCD为正方形 AB BC CD AD 2 A 0 0 0 B 2 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 1 图 2 3 2011