函数模型及其应用ppt课件

第10课时函数模型及其应用 基础梳理1 几类函数模型 2 三种增长型函数之间增长速度的比较 1 指数函数y ax a 1 与幂函数y xn n 0 在区间 0 上 无论n比a大多少 尽管在x的一定范围内ax会小于xn 但由于ax的增长 xn的增长 因而总存在一个x0 当x x0时有 快于 ax xn 2 对数函数y logax a 1 与幂函数y xn n 0 对数函数y logax a 1 的增长速度 不论a与n值的大小如何总会 y xn的增长速度 因而在定义域内总存在一个实数x0 使x x0时有 慢于 logax xn 由 1 2 可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数 但它们的增长速度不同 且不在同一个档次上 因此在 0 上 总会存在一个x0 使x x0时有 ax xn logax a 1 n 0 课前热身答案 A 2 2004年12月30日到银行存入a元 若年利率为x 且不扣除利息税 则到2012年12月30日可取回 A a 1 x 8元B a 1 x 9元C a 1 x8 元D a 1 x 8元答案 A 3 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整 调整后初期利润增长迅速 后来增长越来越慢 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系 可选用 A 一次函数B 二次函数C 指数型函数D 对数型函数答案 D 4 拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f x 1 06 0 50 m 1 给出 其中m 0 m 是大于或等于m的最小整数 若通话费为10 6元 则通话时间m 解析 10 6 1 06 0 50 m 1 0 5 m 9 m 18 m 17 18 答案 17 18 5 温家宝总理代表中国政府在哥本哈根气候变化会议上做出庄严承诺 2005年至2020年 中国二氧化碳排放强度下降40 则2005年至2020年二氧化碳排放强度平均每年降低的百分数为 解析 设从2005年至2020年平均每年降低的百分数为x 则2020年的排放量为 1 x 15 即 1 x 15 0 4 解得x 0 059 答案 5 9 二次函数模型为生活中最常见的一种数学模型 因二次函数可求其最大值 或最小值 故最优 最省等问题常常是二次函数的模型 1 求年产量为多少吨时 生产每吨产品的平均成本最低 并求最低成本 2 若每吨产品平均出厂价为40万元 那么当年产量为多少吨时 可以获得最大利润 最大利润是多少 思路分析 1 平均成本为总成本与年产量的商 2 利润为总销售额减去总成本 名师点评 用二次函数解决实际问题时 一般要借助函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决 但一定要注意实际问题中函数的定义域 否则极易出错 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润L 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年利润L最大 并求出L的最大值Q a 思路分析 1 据利润L 每件的利润 x 3 a 销售量 12 x 2列式 2 借助导数求Q a 指数函数 对数函数的应用是高考的一个重点内容 常与增长率相结合进行考查 在实际问题中 有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长问题可以用指 数函数模型表示 通常可以表示为y N 1 p x 其中N为原来的基础数 p为增长率 x为时间 的形式 另外 指数方程常利用对数进行计算 指数 对数在很多问题中可转化应用 2011年10月1日 某城市现有人口总数100万 如果年自然增长率为1 2 试解答下列问题 1 写出该城市人口总数y 万人 与年数x 年 的函数关系式 2 计算10年后该城市人口总数 精确到0 1万人 1 01210 1 127 思路分析 先写出1年后 2年后 3年后的人口总数 写出y与x的函数关系 计算求解 作答 解 1 1年后该城市人口总数为y 100 100 1 2 100 1 1 2 2年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 100 1 1 2 1 2 100 1 1 2 2 3年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 2 100 1 1 2 2 1 2 100 1 1 2 3 x年后该城市人口总数为y 100 1 1 2 x 所以该城市人口总数y 万人 与年数x 年 的函数关系式是y 100 1 1 2 x 2 10年后人口总数为100 1 1 2 10 112 7 万 所以10年后该城市人口总数为112 7万 互动探究本例的条件不变 试计算 1 计算大约多少年后该城市人口将达到120万人 精确到1年 2 如果20年后该城市人口总数不超过120万人 则年自然增长率应控制在多少 2 设年自然增长率为x 依题意有100 1 x 20 120 由此得 1 x 20 1 20 由计算器计算得1 x 1 009 x 0 9 所以年自然增长率应控制在小于或等于0 9 有一个受到污染的湖泊 其湖水的体积为V立方米 每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量 都为r立方米 现假设下雨和蒸发正好平衡 且污染物质与湖水能很好地混合 用 思路分析 1 湖水污染质量分数为常数 即g t 为常数函数 2 污染程度越来越严重 即证明g t 为增函数 3 转化为方程即可解决 名师点评 高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题 其创意新颖 设问角度独特 解题方法灵活 一般文字叙述长 数量关系分散且难以把握 解决此类问题关键要认真审题 确切理解题意 进行科学 的抽象概括 将实际问题归纳为相应的数学问题 然后利用函数 方程 不等式等有关知识解答 方法技巧求解函数应用题的一般方法 数学建模 是解决数学应用题的重要方法 解应用题的一般程序是 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 2 建模 将文字语言转化成数学语言 用数学知识建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得到数学结论 4 还原 将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义 失误防范1 函数模型应用不当 是常见的解题错误 所以 正确理解题意 选择适当的函数模型 2 要特别关注实际问题的自变量的取值范围 合理确定函数的定义域 3 注意问题反馈 在解决函数模型后 必须验证这个数学解对实际问题的合理性 命题预测从近几年的高考试题来看 建立函数模型解决实际问题是高考的热点 题型主要以解答题为主 难度中等偏高 常与导数 最值交汇 主要考查建模能力 同时考查分析问题 解决问题 的能力 2011年福建 湖北 陕西等地都考查了函数的应用 预测2013年福建高考仍将以函数建模为主要考点 同时考查利用导数求最值问题 典例透析 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 即当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 13分 名师点评 本题是常见函数