弹性力学作业答案-第二章

弹性力学作业第二章 平面问题的基本理论2-5在下图的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件Mc=0，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？解：将对形心的力矩平衡条件Mc=0，改为对角点的力矩平衡条件MD=0，列出力矩的平衡方程MD=0： xdy1dy2+yxdx1dy+y+yydydxdx2= xydydx+ydxdx2+x+xxdxdydy2 。 x2dy2+yxdxdy+y2dx2+y2ydydx2= xydxdy+y2dx2+x2dy2+x2xdxdy2 。将上式除以dxdy，合并相同的项，得到 yx+y2ydx=xy+x2xdy 。省略去微小量不记（即y2ydx，x2xdy为0），得出 yx=xy可以看出此关系式和对形心的力矩平衡条件Mc=0解出的结果一样。2-6在下图的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的平衡微分方程。解：每个面上的应力分量不是均匀分布的，假设应力分量沿线性分布，如上图所示，为了计算方便，单元体在Z方向的长度取一个单位。各点的正应力为：xA=xxB=x+xydyxD=x+xxdxxC=x+xxdx+xydyyA=yyB=y+yydyyD=y+yxdxyC=y+yxdx+yydy各点的切应力为：xyA=xy，xyB=xy+xyydy，xyD=xy+xyxdx，xyC=xy+xyxdx+xyydy，yxA=yx，yxB=yx+yxydy，yxD=yx+yxxdx，yxC=yx+yxxdx+yxydy，由微分单元体的平衡条件Fx=0，Fx=0得-12xA+xBdy+12xD+xCdy-12yxA+yxDdx+12yxB+yxcdx+fxdxdy=0，-12yA+yDdy+12yB+yCdy-12xyA+xyBdx+12xyD+xycdx+fydxdy=0。将各个点的应力分量带入上式，化简，并约去dxdy，就得到平面问题中的平衡微分方程xx+yxy+fx=0，yy+xyx+fy=0。2-8试列出图2-13，图2-14所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 图2-13 图2-14解：对于图2-13中，在主要边界x=0，x=b上，应满足下列的边界条件： xx=0=-gy， xyx=0=0; xx=b=-gy， xyx=b=0。在次要边界y=0上，能满足下列边界条件： yy=0=-gh1， yxy=0=0。 在次要边界y=h2上，有位移边界条件：uy=h2=0，vy=h2=0。这两个边界位移条件用圣维南原理的三个积分的应力边界条件代替，设板厚为1个单位， 0byy=h2dx=-gh1+h2b， 0byy=h2xdx=0， 0byxy=h2dx=0。 对于图2-15中，在主要边界y=h/2上，应满足下列边界条件： yy=h/2=0， yxy=h/2=-q1; yy=-h/2=-q， yxy=-h/2=0。在次要边界上x=0，列出三个积分的应力边界条件： -h/2h/2xx=0dy=- FN ， -h/2h/2xx=0ydy=- M ， -h/2h/2xyx=0dy=- FS 。 在次要边界x=l上，有位移边界条件：ux=l=0，vx=l=0。这两个位移边界条件可以改用三个积分边界条件来代替。2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答： 图2-16 图2-17解：按应力求解时，在单元体中应力分量必须满足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（本题不计体力）。（a） 图2-16，x=y2b2q，y=xy=0。相容条件：将应力分量代入相容方程得： 2x2+2y2x+y=2qb20，不满足相容方程。平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程 xx+yxy+fx=0，yy+xyx+fy=0。满足上式。应力边界条件：在x=边界上， x=y2b2q， xy=0 。 在y=b边界上， y=0， yx=0 。满足边界条件。（b）图2-17，由材料力学公式，y=MIy，xy=FsSbI（取梁的厚度b=1），得出所示问题的解答： x=-2qx3ylh3， xy=-3q4x2lh3h2-4y2。又根据平衡微分方程和边界条件得出： y=3q4xylh-2qx3ylh3-q2xl 。试试推导上述公式，并检验解答的正确性。推导公式：在分布力的作用下，梁发生弯曲变形，其对Z轴的惯性矩为Iz=h312，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程分别为Mx=-q6lx3，Fsx=-qx22l。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为 x=MxyIz=-2qx3ylh3， xy=3Fsx2bh1-4y2h2=-3q4x2lh3h2-4y2。根据平衡微分方程得第二式yy+xyx+fy=0得到 y=3q4xylh-2qx3ylh3+A。根据边界条件yy=h/2=0，得 A=-q2xl ，所以 y=3q4xylh-2qx3ylh3-q2xl 。相容条件：将应力分量代入相容方程 2x2+2y2x+y=-24qxylh30，不满足相容方程。平衡条件：将应力分量代入平衡条件满足。应力边界条件：在主要边界y=h/2上，应满足下列边界条件： yy=-h/2=-qxl， yxy=-h/2=0; yy=h/2=0， yxy=h/2=0。显然满足。在次要边界上x=0，外力的主矢量、主矩为0，列出三个积分的应力边界条件： -h/2h/2xx=0dy=0 ， -h/2h/2xx=0ydy=0 ， -h/2h/2xyx=0dy=0 。 在次要边界x=l上，有位移边界条件：ux=l=0，vx=l=0。这两个位移边界条件可以改用三个积分边界条件来代替。 -h/2h/2xx=ldy=-h/2h/2-2qx3ylh3dy=0 ， -h/2h/2xx=lydy=-h/2h/2-2qx3ylh3ydy=-ql26 ， -h/2h/2xyx=ldy=-h/2h/2-3q4x2lh3h2-4y2dy=-ql2 。 所以，满足应力边界条件。上面两题的应力分量虽然满足应力边界、条件平衡条件，但都不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。2-18试试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 fx=-Vx， fy=-Vy，其中V是势函数，则应力分量可表示为 x=2y2+V，y=2x2+V，xy=-2xy。试导出相应的相容方程。解：（1）将fx，fy代入平衡微分方得 xx-V+yxy=0，yy-V+xyx=0。 （a）为了满足式（a），可以取 x-V=2y2，y-V=2x2 ， xy=-2xy。即 x=2y2+V，y=2x2+V，xy=-2xy。 （2）对体力、应力分量fx，fy，x，y求偏导数，得fxx=-2Vx2，fxx=-2Vy2 ，2xx2=4x2y2+2Vx2， （b）2xy2=4y4+2Vy2， 2yx2=4x4+2Vx2， 2yy2=4x2y2+2Vy2。 将式（b）代入2x2+2y2x