第八章 平面图形的全等与相似(青岛版初二下)

第8章平面图形的全等与相似 共6节 青岛版 8 1全等形与相似形 1 2 3 4 观察下列四组图片 每组图片的形状和大小有什么关系 能够完全重合的平面图形 叫做全等形 它们的形状相同 大小相等 全等形 交流与发现 观察下列六组图片 你发现每组图片中的两个图形的形状相同吗 大小相等吗 交流与发现 形状相同的平面图形叫做相似形 相似形 议一议 全等形与相似形有什么关系 秦兵马俑坑发现于1974年 它被国际上誉为 世界第八大奇迹 1 图中的兵马俑照片 哪几个形状相同 哪几个形状相同 且大小相等 练一练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 找出下列图形中的全等形 练一练 达标检测 达标检测 2 解 全等形有 2 与 9 3 与 5 10 与 11 相似形有 1 与 8 2 6 7 9 3 与 5 10 与 11 通过这节课的学习 你对全等形与相似形有哪些认识 1 能够完全重合的平面图形称为全等形 全等形的形状和大小都相同 2 形状相同的平面图形叫做相似形 作业 青岛版 ThankYou 8 2全等三角形 下列各组图形的形状与大小有什么特点 下列各组图形的形状与大小有什么特点 下列各组图形的形状与大小有什么特点 1 4 3 2 5 思考 他们能完全重合吗 把一块三角板按在纸上 画下图形 照图形剪下纸板 剪下的纸板与三角板大小 形状完全相同吗 他们能够完全重合吗 形状 大小相同的图形放在一起能够完全重合 能够完全重合的两个图形叫做全等形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形你能够找出生活中的一些全等形吗 想一想 ABC DEF 思考 两个三角形全等表示的含义是什么 两个全等三角形能够完全重合 其中重合的顶点叫 其中重合的边叫 其中重合的角叫 对应顶点 对应角 对应边 点A 点F的对应顶点分别是 AB DF的对应边分别是 A F的对应角分别是 D C DE AC D C 读作 全等于 全等三角形的表示 如图 ABC DEF则有 书写两个三角形全等时 把表示对应顶点的字母写在对应的位置上 思考 如果两个三角形满足三条边对应相等 三个角也对应相等 那么这两个三角形全等吗 如何验证呢 AB DEAC DFBC EF A D B E C F 1 全等三角形的对应边相等 2 全等三角形的对应角相等 3 全等三角形的对应边上的高 中线 角平分线相等 4 全等三角形的面积 周长相等 全等三角形的性质 一个三角形平移后 形状 大小改变了吗 两个三角形全等吗 如果全等 指出它们的对应边 对应角 F E D 平移 解 对应边是 对应角是 AC与DF AB与DE BC与EF A与 D B与 E C与 F 平移三角形的基本图形 A B C D E 对应边是 对应角是 ABC DEC AC与DC AB与DE BC与EC A与 D B与 E ACB与 DCE 旋转 A C O D B 如图 AOC BOD 1 对应边是 2 AOC的对应角是 A的对应角是 OA与OB OC与OD AC与BD BOD B 旋转 旋转三角形的基本图形 A B C D A A B B D C 如图 ABD ABC AD的对应边是 AB的对应边是 DAB的对应角是 AC AB CAB 翻折 A B B C D A AC的对应边是AB的对应边是 ABC的对应角是 BD BA BAD 翻折 翻折三角形的基本图形 有哪些办法可以验证两个三角形全等 2 叫做全等三角形 1 能够完全重合的两个图形叫做 全等形 4 全等三角形的和相等 对应边 对应角 对应顶点 内容小结 能够完全重合的两个三角形 3 全等 用符号 来表示 读作 对应边 对应角 全等于 其中 互相重合的顶点叫做 互相重合的边叫做 互相重合的角叫做 今天主要学习全等三角形的概念及性质 以后再学习全等三角形的判定方法 1 与图1所示图形全等的图形是 2 将图2所示绕A点顺时针转90 所得到的图形是 图1 A A B C B A C D B C D 图2 D B 3 ABC FED 写出图中相等的线段 相等的角 图中线段除相等外 还有什么关系吗 请与同伴交流并写出来 4 如图 矩形ABCD沿AM折叠 使D点落在BC上的N点处 如果AD 4cm DM 3cm DAM 39 则AN cm NM cm NAB 4cm 3cm 39 4 3 39 提高1 请指出下列全等三角形的对应边和对应角 如上图 ABD CDB 则AB AD BD ABD ADB A CD CB DB CDB DBC C 思维园地 提高2 如图已知 AOC BOD求证 AC BD 思维园地 提高3 如图 ABD EBC AB 3cm BC 5cm 1 求DE的长 2 写出对应边 角 思维园地 中考链接 5 中考链接 下面图形中隐藏着一些全等三角形 请你把它找出来 找一找 快速抢答 A B C D E F G P Q R 议一议 我校要修一座等边三角形花池 形状如下 有这么几种方案 1 把它分成两个全等的三角形2 把它分成三个全等的三角形3 把它分成四个全等的三角形并在分成的全等三角形中种上不同颜色的花 你赞成哪种方案 请绘出你的平面效果图 大家评一评 看谁的方案最漂亮 回顾与思考 本节课你学到了什么新知识 说说你的表现如何 好 一般 有待提高 青岛版 ThankYou 8 3怎样判定三角形全等 如图 小明不慎将一块三角形模具打碎为两块 他是否可以只带其中的一块碎片到商店去 就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以 带哪块去合适 你能说明其中理由吗 议一议 怎么办 可以帮帮我吗 如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等 这两个三角形一定全等吗 这时应该有两种不同的情况 1 两个角及两角的夹边 2 两个角及其中一角的对边 问题导入 如图 已知两个角和一条线段 以这两个角为内角 以这条线段为两个角的夹边 画一个三角形 做一做 把你画的三角形与其他同学画的进行比较 所有的三角形都全等吗 全等三角形的判定方法2 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全等 在 ABC和 A B C 中 A A AB A B B B ASA 例题 如图 ABC DCB ACB DBC 试说明 ABC DCB 解 ABC DCB ACB DBC 已知 又 BC为公共边且对应相等 ABD ACD A S A 思考 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等 那么这两个三角形是否全等 全等三角形的判定方法3 如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等 那么这两个三角形全等 在 ABC和 A B C 中 A A BC B C B B AAS 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 ASA 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 AAS ASA 练习1 根据题目条件 判别下面的两个三角形是否全等 并说明理由 不全等 因为BC虽然是公共边 但不是对应边 2 要使下列各对三角形全等 需要增加什么条件 1 2 3 如图 已知AB与CD相交于O A D CO BO 说明 AOC与 DOB全等的理由 利用A A S定理说明 4 已知 如图 ABC A B C AD A D 分别是 ABC和 A B C 的高 试说明AD A D 并用一句话说出你的发现 思考题 全等三角形对应边上的高也相等 5 ABC是等腰三角形 AD BE分别是 A B的角平分线 ABD和 BAE全等吗 试说明理由 ABC是等腰三角形 AC BC A B 又 AD BE分别是 A B的角平分线 解 BAD A ABE B BAD ABE ABD BAE A S A 思考题 1 如图 AB AC B C 那么 ABE和 ACD全等吗 为什么 试一试 ASA ABE ACD 已知 AB AC B C A A 公共角 在 ABE与 ACD中 说明 答 ABE ACD 已知 2 如图 AD AE B C 那么BE和CD相等么 为什么 全等三角形对应边相等 BE CD AAS ABE ACD 已知 AE AD B C A A 公共角 在 ABE与 ACD中 说明 答 BE CD 已知 小结 本节课我们主要学习了有关全等三角形的 两角一边 识别方法 有两种情况 1 两个角及两角的夹边 2 两个角及其中一角的对边 都能够用来识别三角形全等 如果一个三角形的两个角及其夹边分别与另一个三角形的两个角及其夹边对应相等 那么这两个三角形全等 简写成 角边角 或 ASA 判定方法1 做一做 按要求画三角形 并与同伴交流 已知 A 600 B 450 BC 3cm B C A 750 450 3cm 剪下来 与同伴进行比较 它们能否互相重合 600 结论 如果一个三角形的两个角及其中一角的对边分别与另一个三角形的两个角及其中一角的对边对应相等 那么这两个三角形全等 这个判定方法可以简单地用 角角边 或 AAS 来表示 小结 1 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 ASA 2 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 AAS 知识要点 3 探索三角形全等是证明线段相等 对应边相等 角相等 对应角相等 等问题的基本途径 数学思想 要学会用分类的思想 转化的思想解决问题 角边角 以及 角角边 都是通过两个三角形的三对元素对应相等来判定三角形全等的 除此之外 在两个三角形中 三对元素对应相等的情况还有哪几种 还有三种情况 两边一角 三条边 三个角分别对应相等 我们前面学过的三角形全等的判定有几种 那么两个三角形有两条边和一个角分别对应相等又有几种情况呢 这两种情况都能判定两个三角形全等吗 6厘米 6厘米 4厘米 4厘米 300 300 2 剪下你画出的这些三角形 与其它同学的进行比较 这些三角形能重合吗 1 1 已知线段a 4厘米 b 6厘米 30 在草纸上画出 ABC 使BC a AC b C 2 已知线段a 4厘米 b 6厘米 45 在草纸上画出 ABC 使BC a AC b C 3 已知线段a 6厘米 b 8厘米 30 在草纸上画出 ABC 使BC a AC b C 请同学们分成三组来完成这三个问题 3 通过上面的实验 你能得到什么结论 与同学交流 三边对应相等的两个三角形全等 可以简写为 边边边 或 SSS 在 ABC和 DEF中 ABC DEF SSS 用符号语言表达为 三角形全等判定方法1 三步走 准备条件 摆齐条件 得结论 注重书写格式 除了SSS外 还有其他情况吗 继续探索三角形全等的条件 思考 2 三条边 1 三个角 3 两边一角 4 两角一边 当两个三角形满足六个条件中的三个时 有四种情况 SSS 不能 继续探讨三角形全等的条件 两边一角 思考 已知一个三角形的两条边和一个角 那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢 图一 图二 在图一中 A 是AB和AC的夹角 符合图一的条件 它可称为 两边夹角 符合图二的条件 通常说成 两边和其中一边的对角 已知 ABC 画一个 A B C 使AB A B AC A C A A 结论 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 思考 A B C 与 ABC全等吗 如何验正 画法 1 画 DA E A 2 在射线AD上截取A B AB 在射线A E上截取A C AC 3 连接B C A C B A E D C B 思考 这两个三角形全等是满足哪三个条件 探索边角边 三角形全等判定方法2 用符号语言表达为 在 ABC与 DEF中 ABC DEF SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可以简写成 边角边 或 SAS F E D C B A 1 在下列图中找出全等三角形 练习一 探索边边角 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗 已知 AC 10cm BC 8cm A 45 ABC的形状与大小是唯一确定的吗 探索边边角 SSA不存在 显然 ABC与 AB C不全等 A B D A B C SSA不能判定全等 两边及一角对应相等的两个三角形全等吗 两边及夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等 现在你知道哪些三角形全等的判定方法 SSS SAS 例 如图 AC BD CAB DBA 你能判断BC AD吗 说明理由 证明 在 ABC与 BAD中 AC BD CAB DBAAB BA ABC BAD SAS 已知 已知 公共边 BC AD 全等三角形的对应边相等 因为全等三角形的对应角相等 对应边相等 所以 证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题 常常通过证明两个三角形全等来解决 归纳 C 在下列推理中填写需要补充的条件 使结论成立 1 如图 在 AOB和 DOC中 AO DO 已知 BO CO 已知 AOB DOC AOB DOC 对顶角相等 SAS 练习一 2 如图 在 AEC和 ADB中 已知AE AD AC AB 请说明 AEC ADB的理由 已知 A A 公共角 已知 AEC ADB AE AD AC AB SAS 解 在 AEC和 ADB中 1 若AB AC 则添加什么条件可得 ABD ACD ABD ACD AB AC BAD CAD S A S 练习二 AD AD BD CD S 2 如图 要证 ACB ADB 至少选用哪些条件可 A B C D ACB ADB S A S 证得 ACB ADB AB AB CAB DAB AC AD S BC BD 3 如图 己知AD BC AE CF AD BC E 都在直线 上 试说明 练习三 例 如图 已知AB DE AC DF 要说明 ABC DEF 还需增加一个什么条件 同步练习 三边对应相等的两个三角形全等 可以简写为 边边边 或 SSS 在 ABC和 DEF中 ABC DEF SSS 用符号语言表达为 三角形全等判定方法1 三角形全等判定方法2 用符号语言表达为 在 ABC与 DEF中 ABC DEF SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 可以简写成 边角边 或 SAS F E D C B A A B D A B C SSA不能判定全等 用符号语言表达为 在 ABC与 A B C 中 ABC A B C SAS 判定方法2如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角对应相等 那么这两个三角形全等 这个判定方法可以简单地用 边角边 或 SAS 来表示 归纳 如图 下列三角形中 哪两个三角形是全等三角形 解 这个方案是对的 例2如图 为测量池塘边上A B两点之间的距离 小亮设计了这样一个方案 在平地上取一个能直接到达A和B的点C 然后在射线AC上取一点D 使CD CA 在射线BC上取一点E 使CE CB 连接DE 那么线段DE的长就等于A B两点之间的距离 你认为他的方案对吗 为什么 2 剪下画出的三角形 与其他同学剪得的三角形比较 这些三角形是否一定能重合 1 如下图 已知线段a b 在草纸上画出 ABC 使AB b AC a B a b 图8 11 3 如果一个三角形的两边及其中一边的对角与另一个三角形的两边及其中一边的对角分别对应相等 能判定这两个三角形全等吗 如图8 11 AC A C AB A B B B ABC与 A B C 不能重合 显然它们不全等 因此 在这种那个情况下 不能判定这两个三角形全等 以下三角形全等吗 1 AB 3BC 4 B 60 DE 3EF 4 F 30 2 AB 3BC 4 E 60 AB 3BC 4 F 60 3 AB 3BC 4 C 30 DE 3EF 4 F 30 想一想 练习1 如图 已知BC BD ABC ABD ABC和 ABD全等吗 为什么 2 如图 已知AB AD AC AE ABE和 ADC全等吗 为什么 第1题 第2题 判定方法2如果一个三角形的两条边及其夹角分别与另一个三角形的两条边及其夹角对应相等 那么这两个三角形全等 这个判定方法可以简单地用 边角边 或 SAS 来表示 通过这节课的学习你有什么收获 5 如图 如果 ABC DBC AC DB 那么 ABC与 DCB是否全等 为什么 6 如图 AC DF AC DF BE CF 1 BC与EF相等吗 2 ABC与 DEF是否全等 选做题课本35页4题 判定三角形全等的方法 角边角 角角边 及 边角边 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应相等 那么这两个三角形是否全等 a b c 用符号语言表达为 在 ABC与 A B C 中 AB A B AC A C BC B C ABC A B C SSS 三个角分别对应相等的两个三角形是否全等 判定两个三角形全等 至少要有一条边对应相等 通过这节课的学习你有什么收获 青岛版 ThankYou 8 4相似三角形 结论 通过这节课的学习你有什么收获 相似三角形的概念 对应角 对应顶点 对应角的概念 青岛版 ThankYou 8 5怎样判定三角形相似 如果一个三个角的三个角与另一个三角形的三个角分别对应相等 并且它们的各边对应成比例 那么这两个三角形叫做相似三角形 由此 你能得出什么结论 ABC与 DEF相似 记作 ABC DEF 通过这节课的学习你有什么收获 如果一个三个角的三个角与另一个三角形的三个角分别对应相等 并且它们的各边对应成比例 那么这两个三角形叫做相似三角形 由此 你能得出什么结论 ABC与 DEF相似 记作 ABC DEF 通过这节课的学习你有什么收获 所以 青岛版 ThankYou 8 6相似多边形 回顾交流 情境引入 画板演示 A B C D E F A B C D E F A B C D E F AB BC CD DE EF FG A B B C C D D E E F F A mmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmm 6 5 5 5 6 5 7 5 4 5 13 11 12 10 15 9 A B C D E F A B C D E F A B C D E F AB BC CD DE EF FG A B B C C D D E E F F A mmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmm 6 5 5 5 6 5 7 5 4 5 13 11 12 10 15 9 从以上数据你能得到什么结论 A A B B C C D D E E F F 对应角 对应边 结论 六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的图形 它们的六个角都分别相等 称为对应角 六条边的比都相等 称为对应边 阅读课本P120 121页前两段内容 然后回答下列问题 时间3分钟 多边形相似需满足几个条件 相似多边形的记法有什么要求 什么叫相似比 求相似比要注意什么 你能尝试着给相似多边形下一个定义吗 相似多边形对应边的比叫做相似比 你注意到没有 相似比与叙述的顺序的关系 如 六边形ABCDEF 六边形A1B1C1D1E1F1 六边形A1B1C1D1E1F1与六边形ABCDEF的相似比为K2 2 六边形ABCDEF与六边