第五章 直杆的应力

第五章 直杆的应力 退出 了解各内力素在横截面上引起的应力的分布规律及其计算公式及一点处各截面的应力状态 能正确地利用公式计算横截面上的应力 并能正确地说出其中某一点所处的应力状态 单向 二向 三向 为以后杆的强度计算打下坚实的基础 目的 要求 直杆的应力 退出 直杆的应力 5 1关系变形固体的一些基本假设和一些基本概念 5 2材料力学的研究方法 5 3直杆的拉伸和压缩 5 4梁的弯曲正应力 5 5横力弯曲时梁内的剪应力 5 6弯曲中心概念 5 7梁的合理截面和等强度梁 5 8圆轴的扭转 5 9矩形截面杆扭转理论的主要结果 5 l0平面应力状态的应力分析 应力圆 5 11应力状态的一般概念 三向应力状态下的最大应力 5 12广义虎克定律 5 13弹性变形能 退出 5 1关系变形固体的一些基本假设和一些基本概念 从本章开始 我们将转入力的内效应 应分 变形等 的材料力学研究 故对物体必须如实地把它看作变形固体 1 关于变形固体的一些基本假设 为了简化对问题的分析和计算 根据今后所要研究的问题的性质 我们对变形固体采用如下的几个基本假设 1 连续性假没 2 均匀性假设 3 各向同性假设 直杆的应力 end 除了上述的基本假设外 在材料力学的研究中 对变形固体的变形一般还有如下两个限制 在材料力学中是把构件看作是均匀 连续和各向同性的变形固体 而且在大多数场合下 只限于研究小变形和弹性变形的情况 综上所述可知 1 小变形限制 2 弹性变形限制 直杆的应力 end 2 关于变形固体的一些基本概念 1 位移 变形 应变 ey ez可相似地定义 O点处在xy平而内的角应变gxy定义为 两直角边OA和OB所夹直角的改变 即图 b 中所示的角gxy 线位移 角位移线变形 角变形 直杆的应力 gyz gzx也可相似地定义 O点处在x方向的线应变ex定义为 end 2 应力 为了研究内力在截面上的分布情况 我们引进应力的概念 对于这个总应力 通常都将它分解为和物体变形及材料强度直接有关的两部分 垂直于截面的称正应力 用s来表示 平行于截面的称剪应力或切应力 用t来表示 图5 4 显然有 直杆的应力 所谓应力即内力分布的集度 end txy tyz tzx分别表示外向法线为x y z的三个截面上 1MPa 106Pa 106N m2 1N mm2 直杆的应力 通常一点处的应力状态可用三个互相垂直面上的应力来说明 如图 sx sy sz分别表示单元上沿x y z三方面的正应力 沿y z x方向的剪应力 应力的常用单位是兆帕MPa end 5 2材料力学的研究方法 如前所说 截面上的内力实际上是由应力形成的 方程式左边的各内力可按前章所述方法由平衡条件求得为已知 但在方程式右边各项积分中 由于各应力在截面上的分布规律不知 因此各未知应力的大小也就不能由上式求出 这种仅靠静力平衡方程不能求解的问题 通常称为静不定问题 所以 本章求解杆内应力问题就属于静不定问题 直杆的应力 end 材料力学的这些特点和我们以前所学的数学等纯理论推导的课程是有所不同的 求解静不定问题 通常需要考虑如下三个方面 1 内力和外力的平衡方面 2 杆件变形的几何方面 3 材料的应力和应变的物理方面 作为固体力学初步的材料力学来说 实验更有其重要意义 因为 因为材料力学理论推导所依据的一些假设来自实验观察 由此假设得到的理论是否正确也要靠实验来验证 材料的力学性质目前还要靠试验来测定 对受力复杂的结构或理论上求解困难的问题 也要靠实验的手段来求解 直杆的应力 end 5 3直杆的拉伸和压缩 1 横截面上的应力 由截面轴力表达式及平衡条件可知 但截面上的应力如何分布 由观察杆变形后才知 原为垂直于轴线的两相邻直线 变形后仍为垂直于轴线的直线 只是平移了一个距离 根据这一现象 提出了著名的平面假定 即原为平面的横截面 变形后仍为一平面 由此假设可知 两相邻截面上各点处的相对位移均相同 也即截面上各点处的应变均相同 此即变形的几何关系 直杆的应力 end 由假设材料是均匀的 因此可以认为横截面上各点处的正应力和应变之间的物理关系也是相同的 故可推知截面上各点处的正应力也必相等 即不随点的位置而变 为一常数 故可得 直杆的应力 当N为压力时 它同样可用 和轴力的符号规定一样 规定拉应力为正 压应力为负 end 注意 上述公式是根据平面假设推导而得到的 在外力作用处及截面突变处附近 平截面假设不符合实际情况 故该处的应力不能用上式算得 前者属接触应力问题 后者称应力集中问题 它们均需要用弹性力学或实验的方法才能求出 但由实验可见 只要距该处一定距离 通常不超过杆的横截面尺寸大小 应力又趋于平均 所以 除上述两处外 公式的正确性已为实验所证实 这种现象在其他基本变形时也存在 直杆的应力 end 2 斜截面上的应力 仿照前述证明横截面上正应力均匀分布的方法 可得出斜截面上应力均匀分布的结论 Pa P 直杆的应力 end 所以 铸铁一类试件在拉伸时常因其横截面上的最大拉应力而被拉断 而低碳钢一类试件在拉伸时则常因其45o斜面上有最大剪应力而在该方向出现滑移线 在和轴线平行的纵向截面上则既无正应力又无剪应力 直杆的应力 end 设有另一和轴线成b a 90o角的斜截面图 a 则由公式 5 3 可知该面上的应力为图 b 3 任一对相互垂直的两斜截面上的应力情况 比较此式和式 5 3 可见 此即以后常用到的剪应力互等定理 5 4 最后指出 杆在拉 压时一点处的应力状态可用图 b 所示的单元体的受力状态来表示 也可用图 c 所示的单元体上一个方向的正应力来表达 这种应力状态称单向应力状态 直杆的应力 end 4 杆在拉 压时的变形 5 5 1 纵向变形 实验表明 材料在一定的受力范围内 故有 式中E称为材料的拉压弹性模量 它的值由试验来测定 5 6 5 5 式也可改写为 实验表明 材料在一定的受力范围内 横向应变e Db b 2 横向变形 v 横向变形系数或泊桑 Poisson 比 其值也可由试验测定 e 和e的关系也可写成 5 7 和纵向应变e成正比 即有 直杆的应力 end 例7 l旋臂吊车如图5 10a所示 最大的吊重 包括电葫芦自重 P 20kN 拉杆由两根40 40 4的等边角钢组成 其两端铰链的连线与杆的轴线重合 试求拉杆内的最大拉应力 解 1 求约束反力 当x 3m时 NC为最大 故 2 求最大应力 查型钢表知 40 40 4的角钢面积A 3 086cm2 直杆的应力 end 例7 2设一圆筒形容器 当其壁厚远小于其平均直径D 如 D 20 时 称为薄壁容器 试求封闭的薄壁圆筒在内压作用下的轴向和周向应力 1 设想沿筒的横截面切开 取筒的左边部分由平衡可得 2 设取出长为l的半圆曲面 由平衡可得 直杆的应力 end 5 4梁的弯曲正应力 如果梁在这对力偶作用下 其轴线仍在此力偶作用的平面内 或在平行于此力偶的平面内 则此种弯曲称纯弯曲 如车轮轴的中段为纯弯曲 见图 它是梁平面弯曲的一种特殊情况 直杆的应力 end 直杆的应力 梁在纯弯曲时 横截面上只有弯矩而没有剪力 故截面上只产生正应力s而无切应力 由式 5 1 可知 由正应力组成的内力为 为了解正应力在截面上的分布 必须观察梁在纯弯曲时截面上各点处的变形情况 end 1 几何变形关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验 梁在纯弯曲时的平面假设 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面 并仍垂直于变形后的轴线 只是横截面绕某一轴旋转了一个角度 直杆的应力 end 再作单向受力假设 假设各纵向纤维之间互不挤压 中性层 中性轴 直杆的应力 中性层 中性轴 中性层 直杆的应力 应变 直杆的应力 2 物理关系 直杆的应力 3 静力学关系 直杆的应力 直杆的应力 中性层的曲率公式 正应力计算公式 中性轴过截面形心 横力弯曲时 也可以应用此公式计算弯曲正应力 直杆的应力 解 画弯矩图并求危面内力 例5 3T字形截面的铸铁梁受力如图 铸铁的 t 30MPa c 60MPa 其截面形心位于C点 y1 52mm y2 88mm Iz 763cm4 试校核此梁的强度 并说明T字梁怎样放置更合理 画危面应力分布图 找危险点 FRA FRB 直杆的应力 校核强度 反置结果 A B C D 不安全 安全 直杆的应力 直杆的应力 5 5横力弯曲时梁内的剪应力 弯曲问题中正应力是主要的 但在某种情况下 例如跨度短而截面高的梁 腹板较薄的铆焊梁及木梁等 常常也需要计算剪应力 1 矩形截面上的剪应力 Q x dQ x M x y M x dM x Q x dx 两点假设 切应力与剪力平行 距中性轴等距离处 切应力相等 end 研究方法 分离体平衡 在梁上取微段如图 在微段上取一块 nrpn1 如图 列出平衡方程 A pqtn1 直杆的应力 dx x Q x dQ x M x y M x dM x Q x dx 切应力互等 代入 有 即 x 直杆的应力 t方向 与横截面上剪力方向相同 t大小 沿截面宽度b均匀分布 沿高度h分布为抛物线 最大切应力为平均切应力的1 5倍 其他截面梁的切应力研究方法与矩形截面同 切应力的计算公式亦为 其中Fs为截面剪力 Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩 将 代入上式 有 直杆的应力 直杆的应力 2 工字形截面上的切应力 Af 腹板的面积 end 直杆的应力 3 其它截面上的切应力 圆形截面梁 直杆的应力 薄壁圆形形截面梁 z y ro d tmax tmax t end 直杆的应力 5 6弯曲中心概念 节主要强调对一些开口薄壁构件 只有当横向力作用在平行于形心主惯性面 且通过某一特定点 弯曲中心 时 才发生平面弯曲 否则 除了发王弯曲外还将引起我们不希望的约束扭转 截面弯曲中心的位置与外力的大小和材料的性质无关 而只和截面的几何尺寸有关 故它也是截面图形的一个几何性质 表5 2列出了几种常见的开口薄壁截面弯曲中心的位置 end 直杆的应力 5 7梁的合理截面和等强度梁 应该是截面面积A较小而抗弯截面系数W较大 即W A比值较大的截面更好 对脆性材料截面 1 梁的合理截面形状 对塑性材料的截面如图 end 直杆的应力 2 等强度梁概念 如果变截面梁设计得使梁的各截面上的最大正应力都达到材料的许用应力值 s 则这样的梁就称为等强度梁 故等强度梁的条件是 图 a 为一集中力P作用下的简支梁 截面为矩形且宽度b为常数 求梁高h x 随x如何变化 它才能成为等强度梁 当0 x l 2时 梁在支座处的最小梁高hmin可根据以下的剪切强度条件来确定 end 直杆的应力 5 8圆轴的扭转 1 模截面上的应力 Mn 截面上的扭矩 j 截面的扭转角 G 材料的剪切弹性模量 Ip 圆截面对其圆心的极惯性矩 r 截面上任一点至圆心的距离 end 直杆的应力 最大剪应力发生在截面上最外边圆周处 其值为 WP 抗扭截面系数 实心圆 空心圆 T T end 直杆的应力 2 斜截面上的应力 与拉伸时斜截面应力分析相似 纯剪切时斜载面的应力由平衡条件可得 5 25 铸铁一类材料常沿和轴线成方向开裂 这是由于垂直于该方向的最大拉应力所造成的 如图 圆轴扭转时 钢一类材料常沿其横截面方向破坏 木材一类材料常沿其纵向产生裂纹 这分别是由于横截面和纵剖面上产生的最大剪应力所造成的 end 直杆的应力 5 9矩形截面杆扭转理论的主要结果 非圆截面杆扭转时 截面将发生翘曲 平截面假设将不成立 其应力和变形的计算可由弹性力学或实验给出 这里只给出了一些结果 end 直杆的应力 5 l0平面应力状态的应力分析 应力圆 1 解析表达式 规定 截面外法线同向为正 ta绕研究对象顺时针转为正 a逆时针为正 a 设 斜截面面积为dA 由分离体平衡得 b end 考虑切应力互等和三角变换 得 同理 直杆的应力 end 直杆的应力 2 应力圆 对上述方程消去参数 2 得 此方程曲线为圆 应力圆 或莫尔圆 由德国工程师 OttoMohr引入 图2 此方程说明 任意角度a面上的应力sa和ta均在这个圆的圆周上 end 直杆的应力 C end 直杆的应力 由于A B两点处切应力为零 故该处的两个正应力又称为主应力 主应力所在的截面称主平面 其方位由下式决定 最大的剪应力常称主剪应力 end 直杆的应力 例5 6已知梁横截面上一点处的应力为s和t 试作应力圆求其主应力和主剪应力大小及其作用面的位置 end 直杆的应力 解 梁内任一点都处于平面应力状态下 根据应力圆点面间的对应关系 由图面上的应力可得到应力圆上对应的点是D和E两点 过两点作连线得圆心C 以CD为半径作圆 即得如图示的应力圆 由A B两点的坐标值可得 对应的纵坐标值即主剪应力值 为 其作用面的位置及其面上的应力示于图 c 中 end 直杆的应力 5 11应力状态的一般概念 三向应力状态下的最大应力 1 应力状态 共有9个分量 其中 因此 中有6个独立分量 end 直杆的应力 弹性力学证明 在最一般的应力状态中 也一定能找到三个主应力作用的单元体 因而该点的应力状态也可简单地用其三个主应力s1 s2 s3 按其代数值来排列 并用符号来表示 即规定 s1 s2 s3 end 直杆的应力 2 三向应力状态下的最大应力 设点三个主应力s1 s2 s3表示的单元体如图 a 弹性力学已证明 对于和三个主应力都不平行的任一倾斜面上的应力 它们在s t平面内所对应的点必位于上述三应力圆所限定的阴线区域内 这样 不论在何种应力状态下 单元体内的最大正应力按代数值来讲 总是s1 即 最大剪应力 应为应力大圆的半径 即 end 直杆的应力 5 12广义虎克定律 1 单向应力状态胡克定