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文档简介

4 2 1变上限定积分 4 2定积分基本定理 4 2 2微积分的基本公式 4 2 1变上限定积分 如果x是区间 a b 上任意一点 定积分 表示曲线y f x 在部分区间 a x 上曲边梯形AaxC的面积 如图中阴影部分所示的面积 当x在区间 a b 上变化时 阴影部分的曲边梯形面积也随之变化 所以变上限定积分 是上限变量x的函数 记作F x 即 F x 注意到教材中的积分式 积分上限中的积分变量 与被积函数中自变量用的是同一个字母符号 其实两者的含义是不同的 为避免混淆 这里改用为积分变量 由于定积分的值与积分变量的记号无关 把积分变量改用别的字母表示 不影响积分结果 通常称积分式 为变上限的积分 变上限的积分 有下列重要性质 定理4 1若函数f x 在区间 a b 上连续 则变上限定积分 在区间 a b 上可导 并且它的导数等于被积函数 即 定理4 1告诉我们 是函数f x 在区间 a b 上的一个原函数 这就肯定了连续函数的原函数是存在的 所以 定理4 1也称为原函数存在定理 变上限定积分 推论 原函数存在的充分条件 闭区间上的连续函数 在该区间上它的原函数一定存在 例1 1 求 x 解根据定理4 1 得 2 求 解 补充例 求 x 解 x 补充例 求F x 解根据定理1 得 补充例 解 例2 求 解当 时 原式为 型不定式 可用洛必达法则求 得 4 2 2微积分的基本公式 定理如果函数f x 在区间 a b 上连续 F x 是f x 在区间 a b 上任一原函数 那么 为了今后使用该公式方便起见 把上式右端的 这样上面公式就写成如下形式 Newton Leibniz公式 例3计算下列定积分 解 4 2 3定积分的性质 下面各性质中的函数都假设是可积的 性质1 1 两个函数和的定积分等于它们定积分的和 即 性质2被积函数的常数因子可以提到积分外面 即 性质1 1 可推广到有限多个函数代数和的情况 即 性质3 积分对区间可加性 如果积分区间 a b 被点c分成两个区间 a c 和 c b 那么 当点c不介于a与b之间 即c a b或a b c时 结论仍正确 补充例题计算下列定积分 解 解把被积函数化简 补例计算 解 例4求定积分 解 请在草稿纸上练习书上例题 例5设函
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