第16讲 高斯定理 安培环路定律

10 3磁通量磁场中的高斯定理 一磁感应线 用磁感应线描述磁场的方法是 在磁场中画一簇曲线 曲线上每一点的切线方向与该点的磁场方向一致 曲线疏密反映磁场的强弱 磁感应线 性质 磁感应线是无头无尾的闭合曲线 磁场中任意两条磁感应线不相交 磁感应线与电流线铰链 直线电流的磁感应线 磁感应线方向和电流方向满足右手螺旋法则 圆电流的磁感应线 通电螺线管的磁感应线 2磁通量 magneticflux 通过磁场中任一面积的磁感应线数称为通过该面的磁通量 用 m表示 情形1 均匀磁场 磁感应线垂直通过S 情形2 均匀磁场 S法线方向与磁场方向成 角 情形3 磁场不均匀 S为任意曲面 情形4 S为任意闭合曲面 规定 S的正方向是曲面上由内向外的法线方向 磁感应线穿入 为负 穿出 为正 则 3磁场中的高斯定理 穿过任意闭合曲面的磁通量为零 微分形式 这是无磁单极子的必然结果 高斯定理反映了稳恒磁场的基本性质之一 磁场是无源场 积分形式 一安培环路定理 静电场的环流为零 稳恒磁场的环流如何呢 说明静电场是保守场 对任何矢量场基本性质的研究 就是考察它的通量和环流 10 4安培环路定理 1 无限长直线电流 同心圆积分回路 根据电流的走向 按右手螺旋方向取一条同心圆积分环路 安培环路 Amperianloop 这时磁场具有轴对称性 环路上各点的磁场都在切线方向 且大小处处相同 若电流方向相反只要积分环路符合右手螺旋法则 都有 即 而当电流走向和环路方向与右手螺旋方向相背时 2 无限长直线电流 任意积分回路 得 如果环路内还有其它无限长直线电流 根据叠加原理 可知 3 回路不环绕电流 可见 电流若不在安培环路内 由它激发的磁场在这个环路上的环流就是零 a b 与环路成右手螺旋关系的电流取正 反之取负 在真空中的稳恒电流磁场中 磁感应强度沿任意闭合曲线的线积分 环流 等于穿过该闭合曲线的所有电流强度的代数和的 0倍 实际上 并不局限于无限长直线电流 严格的理论分析证明 对任意形式的稳恒电流模型 上述结果也都正确 5 安培环路定理 磁感应强度是环路上一点的磁感应强度 不是其它点的 环路上一点的磁感应强度是由环路内 外电流共同产生的 但磁感应强度的环流只与环路内的电流有关 与环路铰链的电流才对环流有贡献 安培环路定理揭示了磁场的基本性质之一 磁场是有旋场 是非保守场 不能引入势能的概念 6 说明 当电流呈体分布时 环路定理只适用于闭合电流或无限电流 有限电流不适用环路定理 只能用毕奥 萨伐尔定律 与2匝电流铰链 回路与电流铰链 磁场没有保守性 它是非保守场 或无势场 电场有保守性 它是保守场 或有势场 电场线起于正电荷止于负电荷静电场是有源场 磁感应线闭合无自由磁荷磁场是无源场 二安培环路定理的应用 当电流分布以至于磁场分布具有高度对称性时 可以应用安培环路定理计算磁感应强度的分布 利用安培环路定理求磁感应强度的关健 根据磁场分布的对称性 选取合适的闭合环路 1 条件 2 关键 1 环路要经过所研究的场点 2 环路的长度便于计算 3 要求环路上各点磁感应强度的大小相等 方向与环路方向一致 3 环路选取原则 或磁感应强度的方向与环路方向垂直 目的 将写成 长直密绕载流螺线管 单位长度上电流匝数为n 求螺线管内的磁感应强度分布 解 例题1 对称性分析 管内磁感应线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零 原因 无漏磁 螺线管内任取安培环路如图 cd段位于轴线上 由于环路内没有包围任何电流 按安培环路定理 管内任一点的B与轴线上的B相同 即均匀场 性质 匀强磁场 由于螺线管无限长 则Ba Bb Bc Bd 选择安培环路如图所示 沿闭合回路的环流为 根据安培环路定理 所以 长直载流螺线管内的磁场 场强大小 已知 I N R1 R2 求密绕载流螺绕环内的磁场分布 解 例题2 Amperianloop 由对称性 根据安培环路定理 取同心圆安培环路 则 已知I R 电流沿轴向在截面上均匀分布 求 无限长 载流圆柱导体内外磁场的分布 解 例题3 首先分析对称性 电流分布 轴对称 磁场分布 轴对称 电流及其产生的磁场呈轴对称分布 作积分回路如图r R 根据安培环路定理 得 则沿该闭合回路的环流为 如图示 当时 作积分回路如图 根据安培环路定理 得 则沿该闭合回路的环流为 长直载流圆柱面 已知I R 讨论 所以 环路定理求无限长直电流的磁场分布 课堂练习 同轴电缆的内导体圆柱半径为R1 外导体圆筒内外半径分别为R2 R3 电缆载有电流I 求磁场的分布 无限长导体板宽度2a载有稳恒电流 单位宽度上的电流强度为i 求 板中垂线外一点的磁感应强度 解 例题4 建坐标系 取元电流dI id