苏州2017届高三数学试卷(江苏)

菁英学堂 2018 届内部资料 第 1页 共 19页 2016 2017 学年江苏省苏州市高三 上 数学试卷学年江苏省苏州市高三 上 数学试卷 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 70 分 分 1 若集合 A x x 1 B x x 3 则 A B 2 复数 z 其中 i 是虚数单位 则复数 z 的虚部是 3 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 1 的离心率为 4 用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 45 的样本 其中高一年级抽 20 人 高三年级抽 10 人 已知该校高二年级共有学生 300 人 则该校学生总数是人 5 一架飞机向目标投弹 击毁目标的概率为 0 2 目标未受损的概率为 0 4 则目标受损但未完全击 毁的概率为 6 阅读程序框图 如果输出的函数值在区间内 则输入的实数 x 的取值范围是 7 已知实数 x y 满足 则 z 2x y 的最大值是 8 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 a2 7 S7 7 则 a7的值为 9 在平面直角坐标系 xOy 中 已知过点 M 1 1 的直线 l 与圆 x 1 2 y 2 2 5 相切 且与 直线 ax y 1 0 垂直 则实数 a 10 在一个长方体的三条棱长分别为 3 8 9 若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有 变化 则圆孔的半径为 11 已知正数 x y 满足 x y 1 则的最小值为 12 若 2tan 3tan 则 tan 13 已知函数 f x 若关于 x 的方程 f x ax 5 0 恰有三个不同的实数解 则满 菁英学堂 2018 届内部资料 第 2页 共 19页 足条件的所有实数 a 的取值集合为 14 已知 A B C 是半径为 l 的圆 O 上的三点 AB 为圆 O 的直径 P 为圆 O 内一点 含圆周 则 的取值范围为 二 解答题 共二 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 90 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 已知函数 f x sin2x cos2x 1 求 f x 的最小值 并写出取得最小值时的自变量 x 的集合 2 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 c f C 0 若 sinB 2sinA 求 a b 的值 16 已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 F 为棱 BB1的中点 M 为线段 AC1的中点 求证 直线 MF 平面 ABCD 平面 AFC1 平面 ACC1A1 菁英学堂 2018 届内部资料 第 3页 共 19页 17 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 并且过点 P 2 1 1 求椭圆 C 的方程 2 设点 Q 在椭圆 C 上 且 PQ 与 x 轴平行 过 p 点作两条直线分别交椭圆 C 于两点 A x1 y1 B x2 y2 若直线 PQ 平分 APB 求证 直线 AB 的斜率是定值 并求出这个定值 菁英学堂 2018 届内部资料 第 4页 共 19页 18 某湿地公园内有一条河 现打算建一座桥 如图 1 将河两岸的路连接起来 剖面设计图纸 图 2 如下 其中 点 A E 为 x 轴上关于原点对称的两点 曲线段 BCD 是桥的主体 C 为桥顶 并且曲线段 BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为 y x 2 2 曲线段 AB DE 均为开口向上的抛物线 段 且 A E 分别为两抛物线的顶点 设计时要求 保持两曲线在各衔接处 B D 的切线的斜率相 等 1 曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式 并写出定义域 2 车辆从 A 经 B 到 C 爬坡 定义车辆上桥过程中某点 P 所需要的爬坡能力为 M 该点 P 与桥顶 间的水平距离 设计图纸上该点 P 处的切线的斜率 其中 MP的单位 米 若该景区可提供三种 类型的观光车 游客踏乘 蓄电池动力 内燃机动力 它们的爬坡能力分别为 0 8 米 1 5 米 2 0 米 用已知图纸上一个单位长度表示实际长度 1 米 试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥 菁英学堂 2018 届内部资料 第 5页 共 19页 19 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn 2an 2 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 1 n 1 求数列 bn 的通项公式 3 在 2 的条件下 设 cn 2n bn 问是否存在实数 使得数列 cn n N 是单调递增数列 若 存在 求出 的取值范围 若不存在 请说明你的理由 20 已知函数 f x lnx k 1 x k R 1 当 x 1 时 求 f x 的单调区间和极值 2 若对于任意 x e e2 都有 f x 4lnx 成立 求 k 的取值范围 3 若 x1 x2 且 f x1 f x2 证明 x1x2 e2k 菁英学堂 2018 届内部资料 第 6页 共 19页 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 共一 填空题 共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 70 分 分 1 若集合 A x x 1 B x x 3 则 A B x 1 x 3 分析 由集合 A x x 1 B x x 3 结合集合交集的定义 可得答案 解答 集合 A x x 1 B x x 3 A B x 1 x 3 故答案为 x 1 x 3 2 复数 z 其中 i 是虚数单位 则复数 z 的虚部是 考点 复数代数形式的乘除运算 分析 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 解答 z 复数 z 的虚部是 故答案为 3 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 1 的离心率为 分析 直接利用双曲线方程求解双曲线的离心率即可 解答 双曲线 1 可知 a c 3 则双曲线的离心率为 故答案为 4 用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 45 的样本 其中高一年级抽 20 人 高三年级抽 10 人 已知该校高二年级共有学生 300 人 则该校学生总数是900人 考点 分层抽样方法 分析 用分层抽样的方法抽取一个容量为 45 的样本 根据其中高一年级抽 20 人 高三年级抽 10 人 得到高二年级要抽取的人数 根据该校高二年级共有学生 300 人 算出全校共有的人数 解答 用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 45 的样本 其中高一年级抽 20 人 高三 年级抽 10 人 高二年级要抽取 45 20 10 15 该校高二年级共有学生 300 人 每个个体被抽到的概率是 该校学生总数是 900 故答案为 900 5 一架飞机向目标投弹 击毁目标的概率为 0 2 目标未受损的概率为 0 4 则目标受损但未完全击 毁的概率为0 4 菁英学堂 2018 届内部资料 第 7页 共 19页 考点 互斥事件的概率加法公式 相互独立事件的概率乘法公式 分析 由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解 解答 一架飞机向目标投弹 击毁目标的概率为 0 2 目标未受损的概率为 0 4 P 目标未受损 0 4 P 目标受损 1 0 4 0 6 目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形 它们是对立事件 P 目标受损 P 目标受损但未完全击毁 P 目标受损但击毁 即 0 6 P 目标受损但未完全击毁 0 2 P 目标受损但未完全击毁 0 6 0 2 0 4 故答案为 0 4 6 阅读程序框图 如果输出的函数值在区间内 则输入的实数 x 的取值范围是 2 1 考点 选择结构 分析 由程序框图可得分段函数 根据函数的值域 即可确定实数 x 的取值范围 解答 由程序框图可得分段函数 令 则 x 2 1 满足题意 故答案为 2 1 7 已知实数 x y 满足 则 z 2x y 的最大值是5 考点 简单线性规划 分析 由约束条件作出可行域 化目标函数为直线方程的斜截式 数形结合得到最优解 联立方程 组求得最优解的坐标 代入目标函数得答案 菁英学堂 2018 届内部资料 第 8页 共 19页 解答 解 由约束条件作出可行域如图 联立 解得 A 3 1 化目标函数 z 2x y 为 y 2x z 由图可知 当直线 y 2x z 过 A 时 直线在 y 轴上的截距最小 z 有最大值为 5 故答案为 5 8 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 a2 7 S7 7 则 a7的值为 13 考点 等差数列的通项公式 等差数列的性质 分析 由等差数列的通项公式和求和公式可得 a1和 d 的方程组 解方程组由通项公式可得 解答 设等差数列 an 的公差为 d a2 7 S7 7 解方程组可得 a7 a1 6d 11 6 4 13 9 在平面直角坐标系 xOy 中 已知过点 M 1 1 的直线 l 与圆 x 1 2 y 2 2 5 相切 且与 直线 ax y 1 0 垂直 则实数 a 分析 由题意 直线 ax y 1 0 的斜率 a 即可得出结论 解答 由题意 直线 ax y 1 0 的斜率 a a 故答案为 10 在一个长方体的三条棱长分别为 3 8 9 若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有 变化 则圆孔的半径为3 考点 棱柱的结构特征 分析 设半径为 r 由题意得减少的 2 个圆的面积 圆柱的侧面积 由此列出方程能求出圆孔的半径 解答 设半径为 r 在一个长方体的三条棱长分别为 3 8 9 在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化 减少的 2 个圆的面积 圆柱的侧面积 2 r2 2 r 3 解得 r 3 圆孔的半径为 3 故答案为 3 菁英学堂 2018 届内部资料 第 9页 共 19页 11 已知正数 x y 满足 x y 1 则的最小值为 考点 基本不等式在最值问题中的应用 分析 由条件可得 x 2 y 1 4 则 x 2 y 1 展开后 运用基本不等式即可得到所求最小值 注意等号成立的条件 解答 正数 x y 满足 x y 1 即有 x 2 y 1 4 则 x 2 y 1 5 5 2 5 4 当且仅当 x 2y 时 取得最小值 故答案为 12 若 2tan 3tan 则 tan 分析 利用特殊角的三角函数值及二倍角的正切函数公式可求 tan的值 利用已知及两角差的正 切函数公式化简所求 即可计算得解 解答 tan 1 整理可得 tan2 2tan 1 0 解得 tan 或 1 舍去 2tan 3tan 可得 tan tan tan 故答案为 13 已知函数 f x 若关于 x 的方程 f x ax 5 0 恰有三个不同的实数解 则满 足条件的所有实数 a 的取值集合为 e 2 考点 根的存在性及根的个数判断 分析 作出 y f x 的函数图象 根据直线 y ax 5 与 y f x 有 3 个交点得出两函数图象的 关系 从而得出 a 的值 解答 令 f x 0 得 x 2 或 x ln5 f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 菁英学堂 2018 届内部资料 第 10页 共 19页 f x 作出 y f x 的函数图象如图所示 关于 x 的方程 f x ax 5 0 恰有三个不同的实数解 直线 y ax 5 与 y f x 有 3 个交点 y ax 5 过点 2 0 或过点 ln5 0 或 y ax 5 与 y f x 的图象相切 1 若 y ax 5 过点 2 0 则 a 2 若 y ax 5 过点 ln5 0 则 a 3 若 y ax 5 与 y f x 在 2 0 上的图象相切 设切点为 x0 y0 则 解得 a 2 4 若 y ax 5 与 y f x 在 0 ln5 上的图象相切 设切点为 x1 y1 则 解得 a e a 的取值集合为 e 2 故答案为 e 2 菁英学堂 2018 届内部资料 第 11页 共 19页 14 已知 A B C 是半径为 l 的圆 O 上的三点 AB 为圆 O 的直径 P 为圆 O 内一点 含圆周 则 的取值范围为 4 分析 根据题意 把化为 3 2 1 利用参数表示点 C cos sin P rcos rsin 且 0 r 1 根据三角函数的有界性求出 3 2 1 的最值即可 解答 根据题意 且 1 3 2 3 2 1 以点 O 为坐标原点 建立直角坐标系 设点 C cos sin 点 P rcos rsin 且 0 r 1 则 3 2 1 3r2 2rcos 1 3 2 1 3r2 2r 1 4 且 3 2 1 3r2 2r 1 的取值范围是 4 故答案为 4 二 解答题 共二 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 90 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 已知函数 f x sin2x cos2x 1 求 f x 的最小值 并写出取得最小值时的自变量 x 的集合 2 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 c f C 0 若 sinB 2sinA 求 a b 的值 考点 余弦定理 三角函数的化简求值 分析 1 利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得 f x sin 2x 1 利用正 弦函数的图象和性质即可求解 2 由已知可求 sin 2C 1 0 结合范围 0 C 可求 C 由已知及正弦定理可得 b 2a 菁英学堂 2018 届内部资料 第 12页 共 19页 进而由余弦定理可得 a2 b2 ab 3 联立即可解得 a b 的值 解答 1 f x sin2x cos2x sin2x sin 2x 1 4 分 当 2x 2k 即 x k k Z 时 f x 的最小值为 2 6 分 此时自变量 x 的集合为 x x k k Z 7 分 2 f C 0 sin 2C 1 0 又 0 C 2C 可得 C 9 分 sinB 2sinA 由正弦定理可得 b 2a 又 c 由余弦定理可得 2 a2 b2 2abcos 可得 a2 b2 ab 3 13 分 联立 解得 a 1 b 2 14 分 16 已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 F 为棱 BB1的中点 M 为线段 AC1的中点 求证 直线 MF 平面 ABCD 平面 AFC1 平面 ACC1A1 考点 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 分析 1 延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N 由三角形的中位线的性质可得 MF AN 从而证明 MF 平面 ABCD 2 由 A1A BD AC BD 可得 BD 平面 ACC1A1 由 DANB 为平行四边形 故 NA BD 故 NA 平面 ACC1A1 从而证得平面 AFC1 ACC1A1 解答 证明 延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N 连接 AN 因为 F 是 BB1的中点 所以 F 为 C1N 的中点 B 为 CN 的中点 又 M 是线段 AC1的中点 菁英学堂 2018 届内部资料 第 13页 共 19页 故 MF AN 又 MF 不在平面 ABCD 内 AN 平面 ABCD MF 平面 ABCD 连 BD 由直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 可知 A1A 平面 ABCD 又 BD 平面 ABCD A1A BD 四边形 ABCD 为菱形 AC BD 又 AC A1A A AC A1A 平面 ACC1A1 BD 平面 ACC1A1 在四边形 DANB 中 DA BN 且 DA BN 所以四边形 DANB 为平行四边形 故 NA BD NA 平面 ACC1A1 又因为 NA 平面 AFC1 平面 AFC1 ACC1A1 17 已知椭圆 C 1 a b 0 的离心率为 并且过点 P 2 1 1 求椭圆 C 的方程 2 设点 Q 在椭圆 C 上 且 PQ 与 x 轴平行 过 p 点作两条直线分别交椭圆 C 于两点 A x1 y1 B x2 y2 若直线 PQ 平分 APB 求证 直线 AB 的斜率是定值 并求出这个定值 考点 直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 分析 1 由题意的离心率可得 a b 的关系 化椭圆方程为 x2 4y2 4b2 结合 C 过点 P 2 1 可得 b2的值 进一步求得 a2的值 则椭圆方程可求 菁英学堂 2018 届内部资料 第 14页 共 19页 2 设直线 PA 的方程为 y 1 k x 2 联立直线方程和椭圆方程 求得 A 的横坐标 同理求得 B 的横坐标 进一步求得 A B 的纵坐标的差 代入向量公式得答案 解答 1 由 得 即 a2 4b2 椭圆 C 的方程可化为 x2 4y2 4b2 又椭圆 C 过点 P 2 1 4 4 4b2 得 b2 2 则 a2 8 椭圆 C 的方程为 2 证明 由题意 设直线 PA 的方程为 y 1 k x 2 联立 得 1 4k2 x2 8 2k2 k x 16k2 16k 4 0 即 直线 PQ 平分 APB 即直线 PA 与直线 PB 的斜率互为相反数 设直线 PB 的方程为 y 1 k x 2 同理求得 又 y1 y2 k x1 x2 4k 即 直线 AB 的斜率为 18 某湿地公园内有一条河 现打算建一座桥 如图 1 将河两岸的路连接起来 剖面设计图纸 图 2 如下 菁英学堂 2018 届内部资料 第 15页 共 19页 其中 点 A E 为 x 轴上关于原点对称的两点 曲线段 BCD 是桥的主体 C 为桥顶 并且曲线段 BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为 y x 2 2 曲线段 AB DE 均为开口向上的抛物线 段 且 A E 分别为两抛物线的顶点 设计时要求 保持两曲线在各衔接处 B D 的切线的斜率相 等 1 曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式 并写出定义域 2 车辆从 A 经 B 到 C 爬坡 定义车辆上桥过程中某点 P 所需要的爬坡能力为 M 该点 P 与桥顶 间的水平距离 设计图纸上该点 P 处的切线的斜率 其中 MP的单位 米 若该景区可提供三种 类型的观光车 游客踏乘 蓄电池动力 内燃机动力 它们的爬坡能力分别为 0 8 米 1 5 米 2 0 米 用已知图纸上一个单位长度表示实际长度 1 米 试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥 考点 函数模型的选择与应用 分析 1 设出方程 利用 B 为衔接点 即可求出曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式 并写出 定义域 2 分类讨论 求最值 即可得出结论 解答 1 由题意 A 为抛物线的顶点 设 A a 0 a 2 则可设方程为 y x a 2 a x 2 0 y 2 x a 曲线段 BCD 在图纸上的图形对应函数的解析式为 y x 2 2 y 且 B 2 1 则曲线在 B 处的切线斜率为 a 6 曲线段 AB 在图纸上对应函数的解析式为 y 6 x 2 2 设 P 为曲线段 AC 上任意一点 P 在曲线段 AB 上 则通过该点所需要的爬坡能力 MP 1 在 6 3 上为增函数 3 2 上是减函数 最大为 米 P 在曲线段 BC 上 则通过该点所需要的爬坡能力 MP 2 x 2 0 设 t x2 t 0 4 MP 2 y 菁英学堂 2018 届内部资料 第 16页 共 19页 t 0 y 0 0 t 4 y 1 t 4 取等号 此时最大为 1 米 由上可得 最大爬坡能力为 米 0 8 1 5 2 游客踏乘不能顺利通过该桥 蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥 19 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn 2an 2 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 1 n 1 求数列 bn 的通项公式 3 在 2 的条件下 设 cn 2n bn 问是否存在实数 使得数列 cn n N 是单调递增数列 若 存在 求出 的取值范围 若不存在 请说明你的理由 考点 数列递推式 数列的求和 数列与函数的综合 分析 1 由 Sn 2an 2 n N 可得 a1 2a1 2 解得 a1 2 n 2 时 an Sn Sn 1 化为 an 2an 1 即可得出 2 1 n 1 n 2 时 相减可得 bn 1 n 当 n 1 时 解得 b1 3 cn 2n bn n 3 时 cn 2n cn cn 1 2n 1 0 即 1 n 当 n 为大于或等于 4 的偶数时 当 n 为大于或等于 3 的奇数时 当 n 2 时 c2 c1 0 即 8 即可得出 解答 1 由 Sn 2an 2 n N 可得 a1 2a1 2 解得 a1 2 n 2 时 an Sn Sn 1 2an 2 2an 1 2 化为 an 2an 1 数列 an 是等比数列 公比为 2 首项为 2 an 2n 菁英学堂 2018 届内部资料 第 17页 共 19页 2 1 n 1 1 n 1 bn 1 n 当 n 1 时 解得 b1 bn 3 cn 2n bn n 3 时 cn 2n cn 1 2n 1 1 n 1 cn cn 1 2n 1 0 即 1 n 当 n 为大于或等于 4 的偶数时 即 当且仅当 n 4 时 当 n 为大于或等于 3 的奇数时 当且仅当 n 3 时 当 n 2 时 c2 c1 0 即 8 综上可得 的取值范围是 20 已知函数 f x lnx k 1 x k R 1 当 x 1 时 求 f x 的单调区间和极值 2 若对于任意 x e e2 都有 f x 4lnx 成立 求 k 的取值范围 3 若 x1 x2 且 f x1 f x2 证明 x1x2 e2k 考点 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 导数在最大值 最小值问题中的应 用 分析 1 由题意 x 0 lnx k 由此根据 k 0 k 0 利用导数性质分类 讨论 能求出函数 f x 的单调区间和极值 菁英学堂 2018 届内部资料 第 18页 共 19页 2 问题转