微分与积分中值定理及其应用

黄石理工学院数理学院 毕业设计（论文）第二讲 微分与积分中值定理及其应用1 微积分中值定理51.1 微分中值定理51.2 积分中值定理62 微积分中值定理的应用174.1 证明方程根（零点）的存在性174.2 进行估值运算194.3 证明函数的单调性204.4 求极限214.5 证明不等式22引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理。微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。1 微积分中值定理微分中值定理罗尔(Rolle)定理: 若函数满足如下条件()在闭区间a,b上连续；()在开区间（a,b）内可导；(),则在（a,b）内至少存在一点，使得 朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数满足如下条件：()在闭区间a,b上连续；()在开区间（a,b）上可导；则在（a,b）内至少存在一点，使得 柯西中值定理: 设函数和满足()在a,b上都连续；()在（a,b）内都可导；()和不同时为零；()，则存在，使得 微分中值定理的推广罗尔定理的推广定理1: 设函数在（a,b）内可导，且有，则存在点，使得证明：首先对A为有限值进行论证：令则易知函数在a,b上连续，在（a,b）内可导且由Rolle定理可知，在(a,b)内至少存在一点，使得，而在(a,b)内有，所以其次对A=（）进行论证：由引理1，在（a,b）内能取得最小值（最大值）不妨设：函数在处取得最小值（最大值）此时函数在处也就取得极小值（极大值）又因为在处可导，由Fermat引理，可得综上所述，从而定理得证定理2: 设函数在(a,),内可导，且，证明：在（a,)中存在一点，使得定理3: 设函数在（，b),内可导，且，证明：在（,b)中存在一点，使得定理4: 设函数在（，),内可导，且，证明：在（,)中存在一点，使得朗格朗日中值定理的推广定理5: 如果函数满足条件：在开区间（a,b）上可导且存在，则在（a,b）内至少存在一点，使得柯西中值定理的推广定理6: 如果函数f(x)和F(x)满足条件：都在有限区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少有一点，使得 证明：作辅助函数A(x),B(x),并且令则A(x),B(x)在闭区间a,b上连续，开区间(a,b)内可导,且对由Cauchy中值定理可知，至少有一点使得 又当时, 即：1.2积分中值定理积分中值定理: 若在区间a,b上连续,则在a,b上至少存在一点使得 .积分中值定理的推广推广的积分第一中值定理: 若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得 第一型曲线积分中值定理: 若函数在光滑有界闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使。其中表示曲线的长。第二型曲线积分中值定理: 若函数在有向光滑闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使 其中为有向光滑曲线在轴上的投影，符号是由曲线的方向确定。第一型曲面积分中值定理: 若为平面上的有界闭区域，是光滑曲面，函数在上连续，则曲面上至少存在一点，使得 其中是曲面的面积。第二型曲面积分中值定理: 若有光滑曲面：，其中是有界闭区域，函数在上连续，则在曲面上至少存在一点，使得 其中是的投影的面积。3 微积分中值定理的应用3.1 证明方程根（零点）的存在性例1：设函数和在闭区间a,b上连续，在（a,b）上可导，则在（a,b）内存在一点，使得证明：令，则，又有，易知在闭区间a,b上连续，在（a,b）上可导，故运用Lagrange中值定理可得，存在一点，使得，即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证例2: 设函数和在闭区间a,b上连续，在（a,b）上可导，且在闭区间a,b上，有意义，则在（a,b）内存在一点，使得 证明：令，易知和在区间a,b上满足Cauchy中值定理条件，故有，,即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证例1：设为三个实数，证明：方程的根不超过三个.证明：令，则，.用反证法，设原方程的根超过程3个，那么F(x)至少有4个零点，不妨设为 ，那么有罗尔定理，存在,使，再用罗尔定理，存在,使,再用罗尔定理，存在,使,因为, 所以,矛盾，所以命题得证.例2：设函数在上连续，且。 证明：一个，使。证明：令，显然在上连续。 可知在上满足零值定理。故一个，使。即例3：设实数满足关系式：。 证明：在内至少有一个实根。证明：令 显然在上连续，在内可导，又， ，故罗尔定理成立。 于是，使，即：。故命题得证。例4：设在上连续。， 。证明：一个，使证明：在上连续，有最值定理有：， 分别为在上最小最大值，于是： ， ， ，由介值定理，一个，使例5：若在上连续，在内可导，证明在内方程至少存在一根。证明:令，显然在上连续,在内可导，而.根据Rolle定理, 至少存在一点，使.例6：设在，在，证明：在内存在一点，使成立。证明: ，则在，在，由Lagrange定理，存在一点，使，即，即 例7：设在，在，证明:在内存在一点，使成立。证明：令，对，在上运用Cauchy定理，得，即，即. 例8：证明方程 在（0，1）内至少有一个根 。（p46,209） 例9:设抛物线 与 x 轴有两个交点x=a,x=b(a0，证明存在一点，使得证：根据定理7，令，那么，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得例6：证明：若是柱准面上的部分，是上的连续函数，则 证明：设是在平面的上半部分，为在平面的下半部分，则。由积分区间的可加性，有： 由于函数在：上的部分上连续，所以函数在上连续，根据