《工程力学》教学第十三章弯曲变形与静不定梁

第一节弯曲变形的基本概念第二节梁的挠曲线近似微分方程第三节用叠加法计算梁的变形梁的刚度条件第四节静不定梁 第十三章弯曲变形与静不定梁 本章介绍了梁的弯曲变形的基本知识 主要包括挠曲线及梁的刚度条件 学习时要掌握梁的弯曲变形的基本概念 了解挠曲线近似微分方程的推导过程 掌握积分法和叠加法计算梁的变形 同时了解提高梁刚度的方法 了解变形比较法求静不定梁的计算过程 教学目的和要求 梁弯曲变形的基本概念 挠曲线的近似微分方程 积分法和叠加法计算梁的变形 梁的刚度条件 教学重点 挠曲线近似微分方程的推导过程 积分法和叠加法计算梁的变形 变形比较法求解静不定梁 教学难点 第一节弯曲变形的基本概念 齿轮传动轴的弯曲变形 轧钢机 或压延机 的弯曲变形 1 挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线 挠曲线方程为 式中 x为梁变形前轴线上任一点的横坐标 y为该点的挠度 挠曲线 转角 横截面对其初始位置的所转过的角度 称为该截面的转角 挠度 y 横截面形心C 即轴线上的点 在垂直于x轴方向的线位移 称为该截面的挠度 它们是度量梁变形后横截面位移的两个基本量 2 挠度和转角 挠度与转角的关系 小变形的条件下 为 挠度和转角符号的规定为 挠度 向上为正 向下为负 转角 自x转至切线方向 逆时针转为正 顺时针转为负 一 挠曲线近似微分方程 上式就是挠曲线近似微分方程 小变形 x M 0 x M 0 第二节梁的挠曲线近似微分方程 对于等截面直梁 挠曲线近似微分方程可写成如下形式 二 用积分法求梁的弯曲变形 微分方程的积分 式中C D为积分常数 可根据梁的边界条件和连续性条件确定 边界条件和连续性条件 边界条件 挠曲线上某些点的挠度和转角是已知的 例如 图示简支梁铰支座处截面的挠度为零 悬臂梁固定端处截面的挠度和转角都等于零 连续性条件 挠曲线上任意点有唯一确定的挠度和转角 若连续性条件不满足 则挠曲线就不连续 图a 和不光滑 图b A B A B 1 边界条件为 2 连续性条件为 图a 图b 对上述梁 例13 1悬臂梁受集中载荷P作用 其抗弯刚度为EI 试用积分法求转角方程和挠曲线方程 并确定最大转角和最大挠度 解 1 建立坐标系并写出弯矩方程 2 写出挠曲线近似微分方程并积分 3 确定积分常数 P L x 当 时 求得 4 写出挠曲线近似方程并画出挠曲线的大致形状 5 最大转角及最大挠度 绝对值最大 x 例13 2图示一抗弯刚度为EI的简支梁 在全梁上受集度为q的均布载荷作用 试求此梁的挠曲线方程和转角方程 并确定其最大挠度ymax和最大转角 max 解 由对称性可知 梁的两个支反力为 梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为 c d 边界条件为 将边界条件代入 c d 两式得 梁的转角方程和挠度方程分别为 在x 0和x l处转角的绝对值相等且都是最大值 为 在梁跨中点l 2处有最大挠度值 A B q 适用于小变形情况下 线弹性材料 细长构件的平面弯曲 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 积分常数由挠曲线变形的边界条件 连续性条件确定 挠曲线近似微分方程 优点 使用范围广 可求出挠度和转角的普遍方程 缺点 计算较繁 积分法 第三节用叠加法计算梁的变形梁的刚度条件 1 小变形 轴向位移可忽略 2 线弹性范围工作 3 梁的挠度和转角与载荷成线性关系 多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和 一 用叠加法求梁的弯曲变形 O B P A 例13 3用叠加法求如图所示梁的截面A的挠度和截面B的转角 EI 常量 解 1 P单独作用时 梁的左半段OA的变形如同悬臂梁在末端受集中力作用时的变形 右半段AB部分梁没有变形位移 但其有刚体位移 刚体位移可以看作是随A截面的平动与绕A截面的转动 所以B截面的转角等于A截面的转角 2 MB单独作用时 A B两截面变形位移可以直接从表中查出 3 P和MB共同作用时 应用叠加法可得知 A截面挠度为两种载荷的代数和 B截面的转角也为两者的代数和 例13 4用叠加法求图示梁的 EI 常量 A B A M 解运用叠加法 二 梁的刚度条件 常见梁结构的许用挠度和许用转角如下 普通传动轴 齿轮轴 吊车梁 楼盖梁 例13 5如图所示工字钢梁 l 8m Iz 2370cm4 Wz 237cm3 y l 500 E 200GPa 100MPa 试根据梁的刚度条件 确定梁的许可载荷 P 并校核强度 解由刚度条件可得 解得 所以得 由梁的最大弯曲应力为 O B P A 因此 满足强度条件 三 提高梁弯曲刚度的措施 梁的变形不仅与梁的受力和支承情况有关 而且还与梁的材料 截面形状与大小和梁的长度有关 提高梁刚度的措施为 1 增大梁的抗弯刚度EI 2 减小梁的跨度 3 改变加载方式 静不定梁 梁的未知反力的数目将多于静力学平衡方程的数目 仅由平衡方程不能求出全部的约束反力和内力 这种梁称为静不定梁或超静定梁 多余约束 从维持平衡角度而言 多余的约束 静不定次数 未知约束反力数目与静平稳方程条件数目之差称为静不定次数 相当系统 静不定梁的多余约束解除后 所得到的受力与原静不定梁相同的静定梁 称为原梁的相当系统 第四节静不定梁 一 静不定梁的基本概念 A B x B 相当系统 二 用变形比较法求解静不定梁 变形协调条件为 补充方程为 约束反力为 用变形比较法求解静不定梁的一般步骤 1 选择基本静定系 确定多余约束及反力 2 比较基本静定系与静不定梁在多余处的变形 确定变形协调条件 3 计算各自的变形 利用叠加法列出补充方程 4 由平衡方程和补充方程求出多余反力 其后内力 强度 刚度的计算与静定梁完全相同 例13 6如图所示静不定梁 等截面梁AC的抗弯刚度EI 拉杆BD的抗拉刚度EA 在F力作用下 试求BD杆的拉力和截面C的挠度 L A C D F B 解 1 选择基本静定梁 解除BD杆约束 以反力FB代替 2 列出变形协调条件 3 在基本静定梁上由叠加法求挠度 本章小结 1 在小变形条件下 建立了梁的挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的挠曲线方程和转角方程 对于积分常数需要应用边界条件和连续条件 2 在小变形条件和线弹性范围内 用叠加法求解梁的弯曲变形位移 当梁受到复杂载荷作用时 可先计算其在各基本载荷作用下的变形位移 然后进行叠加求和 可得到梁的总体变形位移 也可以用逐段刚化法求解 本章小结 3 根据梁