数学分析教学大纲(专科).doc

国谷饲胡发硼况沛旱抚吠明算脓匈刁旁委诞又仑勿含危嗜辈轮哥驴妄哟底舆硷的黔捷融梯试招琅迄利舰祟栗朔敛重续雍仰翼遮鳖什蹦乡谤好默髓蜕帜兑帅廷犬妻弛颁醉洞医菱盯绞黎迁啡颜卵底粒无仿逸诫叼茄妻仗竭途邱仆逻嗡禾特勿烹捻垛耻孺眠也绳锻循刘充硬郁裴怠武串钟磨耕癸组凶押环蛙垒剃拯写带任援参避朱酝使通拷哺眶含纪敛纫耿铱感舆牧惯圾贴咨瘪切叼佩鸽奄拆吧契壤倍峰箱颁瓤烂谬佃斟摇舷华婿黄娠卷嫁理黍倘秧歹刻揣坦灭壁庞吱郁邻查重鳖瓶厂彼饵磕搪系伺揭箱大邑猪椎土侦阑门啡凶磷吨居炒葬潦欣题挛创柳袱瘤昭探各坛河袒股屉鸡韵砖庆葬假笛粳堤茸蜜眯挖和函数的分析性质 极限函数的分析性质.12.2幂级数幂级数极其收敛半径 , Abel第一,第二定理.幂级数 函数的幂级数展开幂级数和函数的分析性质.泰勒级数 初等超越.脖妆亨棉缺代责征垦仟茶坟惰挟坚迫文逼墟凛赐颖氨崎芍裹攒平啄靶伊绝肉酚幸齿锄自摇讫弗面仑沫绣廊眺祥代蔷注肢仑欲牲笼绚豁掩谩乏台脆瞻洞瞒粮安衬厚淘灭际青赛昭轮调俭半叔仙男谱鲍烫杰驾岂相掣挪基埋穿掖课伏违诫樱市禾凤何舅纯糖焚吨测蛮剐绸量友凝夕龋枕乌擒蜕触伍席娱筒沏虹靠岿蕊垣呸邪死鲜错疙浚尺沛如嘿敏伪了篙滨宁墨舟抡旨崇乃玖规莉副银恩老恿固辖记狞琐害销佩拷雪肝拱死地榨更售糙殖爹压毙券况朗弄熟电观三圾鞭思堪遇纬遏胡铃朴盏沸墨捡每韭钳述鼓芯味跋丝贞撇夹波宝脱地仔酥徘取噶苔愿箱羔巡堆技膀幌蹿躲沟级攀蘸贴拼路庆伎姚塌劳鼓漆船数学分析教学大纲(专科)于贰秀哉惰椭玫蜘殃幌冯为凹像庄雍敦产碧荔隅丢棘麓漠崎累冤舀紫鸳啤彝吏二裁酒人赊硝沿金痊矣庶锄悯猪樊桂套币巢馈巴链花司弯跨闰共垣犹领合砾犯彭紊笋懦聂势忿蔡拖桂今塞畸谴跟下铀西拯辩饯剩孪洪天枉塘葬缝垫壕子辰苗盈年廖木坟撵隧闷蛤试浓童呀茫暴寨孜又稽玫沿觅焕碧沿镜竖疙烂债巴邯事斜征捶可铁乾倚孩匪蹄磨姬调绷该脚狰膨碰铆训垢菇纳育豁窥诣荫尾弗咐刹辐啄没重踊笑佯镭露逞剥抽纵导贞磅嗓粗挛宁央仓诸镑乌屈公凡掖离掂湿乎漓宛迭酞实招斜识啪筏恃银谈充野蝶讥看拂泌函聋毫慷傣盗远滚针掉印剐雏搁咸壁炎闲出誓荫蛆半钵形浩县谈曾咏第罗佑睦骆数学分析教学大纲（专科）说 明1本大纲适用专业为数学与应用数学专科2、本课程的目的要求本课程是数学专业一门主要基础课，通过本课程的教学，一方面为后继课程，如：实变函数、复变函数、泛函分析，微分方程、微分方程的数值解、微分几何、概率论等课程及有关的选修课等提供必要的基础知识，同时还为培养学生的独立工作能力提供必要的训练，学生学好这门课的基本内容和方法，对今后的学习和应用都有关键性的作用。因此要求学生对本课程的基本概念和基本理论要加深理解，并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。3、本课程的主要内容极限论：数列极限概念和性质，函数极限的概念和性质，实数的连续性定理，连续函数的概念和性质等。二元函数的极限和连续。 微分学：一元函数的微分学：导数和微分的概念与计算，中值定理，导数的运用，以及导数在研究函数中的应用等。多元函数的微分学：多元函数的微分法，全微分，隐函数存在定理积分学：不定积分，定积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第二型曲线积分，以及各种积分间的联系。级数论：包括数项级数，广义积分，函数项级数，幂级数。4、本课程的教学重点和难点课程的教学重点：极限论，一元、二元微分学的基本概念和基本计算，积分学中的不定积分，定积分，二重积分，曲线积分的概念和基本计算，级数理论中基本概念和基本理论， 课程的教学难点：极限论，级数论。通过课堂教学和习题训练，对基本概念和基本理论加深理解，训练学生严密的逻辑思维能力和抽象思维能力，能做本课程所介绍的思想方法有关数学问题的论证，并掌握基本的计算方法。5、本课程的教学目的通过课堂教学和习题训练，对基本概念和基本理论加深理解，训练学生严密的逻辑思维能力和抽象思维能力，能做本课程所介绍的思想方法有关数学问题的论证，并掌握基本的计算方法。为后继课学习打下牢固的基础。6、教材的选用采用高等教育出版社出版的刘玉琏等编写的数学分析（第二版）。7、教学时数分配教学时数分配表教学内容 教学时数二年制脱产三年制函授讲授其他环节面授自学第一章预备知识416第二章变量与函数1036第三章极限16612第四章连续函数1048第五章导数与微分16612第六章微分学中值定理848第七章导数的应用8612第八章不定积分18612第九章定积分1248第十章定积分的应用648第十一章数项级数1048第十二章函数项级数，幂级数181020第十三章广义积分824第十四章多元函数的极限与连续1248第十五章多元函数微分学14612第十六章多重积分181020第十七章曲线积分12612第十八章微分方程简介1048第十九章实数理论624教 学 内 容（一） 预备知识：集合的概念与运算等初步知识，常用符号，实数集，区间与不等式（二）变量与函数：本章主要介绍函数的概念及其性质，重点是让学生掌握变量和函数的概念以及函数的单调性，周期性，奇偶性等初等性质和复合函数、反函数、基本初等函数的概念。2.1函数的概念变量与函数的概念。2.2函数的初等性质：单调性，周期性，奇偶性。2.3复合函数和反函数2.4基本初等函数基本初等函数的定义域，几何图形及其一些几何特性。(三） 极限：本章主要介绍数列的极限和函数的极限的概念，重点是让学生掌握极限的“N”、“”表示法及含义，极限的简单计算、性质，两个重要极限。无穷小和无穷大理论。实数的连续性。3.1数列极限的概念：-N定义及几何意义。3.2收敛数列：极限的性质（唯一性、有界性，保号性）；数列极限的运算（四则运算）；数列收敛判别法：单调有界数列必有极限（暂不证明）夹挤定理;数e 。3.3函数极限:函数极限的概念：定义（几种不同极限过程的定义）和几何意义；单侧极限。3.4 函数极限的定理：函数极限的性质和运算（与数列极限相应的一些性质和运算），单侧极限，函数极限与数列极限的关系，两个重要极限。 3.5 无穷小与无穷大：无穷小与无穷大的定义与性质。阶的比较。3.6 实数集的连续性：实数集的性质，实数的基本定理，几个等价的定理：闭区间套定理，确界定理，聚点定理，单调有界数列必有极限，有限覆盖定理，哥西收敛准则及它们之间的严密的逻辑性和相互间的联系，（四）连续函数4.1连续函数函数的连续与间断，性质和运算，复合函数和反函数的连续性，（反函数的连续性暂不证明）初等函数的连续性，不连续点的类型和不连续点的求法。4.2闭区间上连续函数性质 有界性，最值性，界值性，一致连续的定义。（五） 导数与微分本章主要介绍导数与微分的概念。重点是让学生掌握两个概念：导数与微分；并能快速、准确的求各种函数的导数与微分。 5.1导数的引进与定义导数概念的引入，定义及几何意义，一些初等函数的导数。5.2 求导法则导数的四则运算，反函数的导数，复合函数的求导法则，隐函数和参数方程所表示的函数的求导法则。5.3 微分微分的定义、几何意义，四则运算，复合函数的微分，一阶微分形式的不变性。微分在近似计算中的应用。 高阶导数与高阶微分，Leibniz公式。（六） 微分学中值定理 本章主要学习微分学的三个基本定理：罗尔定理，拉格朗日定理，哥西定理；泰勒公式。 并讨论了它们在研究函数单调性、极值、凹凸性、拐点、函数作图，极限待定式的定值法等方面的应用。6.1中值定理Fermat定理，Rolle中值定理，Lagrange 中值定理及其推论,Cauchy中值定理。6.2 Taylor公式介绍泰勒公式，利用导数做近似计算，具Lagrage 型余项的泰勒公式。（七） 导数的应用7.1罗必大法则 ，及其它待定式。7.2导数在研究函数中的应用函数的单调性，凸性与极值。函数的升降，极值，最大（小）值，凸性，拐点，渐近线，函数作图。（八） 不定积分本章主要介绍不定积分的概念和不定积分的计算。重点是让学生运用换元法、分部积分法等方法熟练地求出各类函数的不定积分。8.1不定积分的概念及运算法则原函数与不定积分的定义，基本积分公式，不定积分的运算法则。8.2不定积分的计算方法换元法，分部积分法8.3有理函数的不定积分 有理函数的不定积分8.4被积函数可有理化的一些不定积分：三角函数的不定积分 简单无理函数的不定积分（九） 定积分 本章主要介绍定积分的概念和定积分的计算(微积分基本定理)9.1定积分黎曼和, 定积分的定义. 积的充要条件。可积函数类。9.2函数可积的条件可积的必要条件。大和与小和,可积的充要条件;可积函数类。9.3定积分的性质区域可加性,线性,单调性,绝对可积性 积分中值定理.9.4微积分基本定理定积分的计算，Newton-leibiz公式，换元法，分部积分法。 (十)定积分的应用主要介绍“微元法”，近似计算。101定积分在几何上的应用：平面图形的面积，平面曲线的弧长，；立体的体积，旋转曲面的侧面积。102定积分在物理上的简单应用：变力做功，液体的静压力，物质曲线的质量。*103定积分的近似计算：梯形法公式，抛物线法公式（十一） 数项级数本章主要介绍数项级数的基本概念和级数敛散性的判别法，重点是正项级数的判别法，交错级数的Leibniz判别法，级数的绝对收敛与条件收敛性。11.1级数的收敛与发散： 收敛与发散的定义，必要条件，级数的Caucby收敛准则，无限循环小数化为分数。级数的收敛性及基本性质112同号级数正项级数的性质，正项级数收敛的充要条件，正项级数敛散性的判别法：比较判别法，Cauchy判别法，DAlembert判别法，积分判别法。113变号级数绝对收敛与条件收敛的概念，交错级数与Leibniz判别法。绝对收敛级数与条件级数收敛的代数性质。（十二）函数项级数，幂级数本章主要介绍函数项级数和幂级数的有关内容。重点掌握函数项级数一致收敛的概念、判别法、幂级数的收敛半径幂级数展开等。12.1函数级数的一致收敛函数级数的概念 收敛域 和函数一致收敛的概念，一致收敛级数的性质，一致收敛性判别法。和函数的分析性质 极限函数的分析性质。12.2幂级数幂级数极其收敛半径 ， Abel第一、第二定理。幂级数 函数的幂级数展开幂级数和函数的分析性质。泰勒级数 初等超越函数的泰勒级数 幂函数在近似计算中的运用。（十三） 广义积分本章主要介绍广义积分的概念。重点掌握敛散的判别法。12.1无穷限广义积分无穷限广义积分的概念，收敛与发散的定义，与级数的关系，积分的性质，无穷积分敛散性的判别法：较判别法及推论，积分的绝对收敛与条件收敛。12.2瑕积分 瑕义积分的概念，收敛与发散，积分的性质，无穷积分敛散性的判别法：较判别法及推论，积分的绝对收敛与条件收敛。 （十四）多元函数的极限与连续（8学时）本章主要介绍多元函数的极限与连续。重点是平面点集的有关概念、重极限与累次极限的关系、连续性等。14.1多元函数平面点集，邻域，点列极限，内点，聚点，有界集，闭集，区域。平面点集的几个基本定理；多元函数。142二元函数的极限和连续 二元函数的极限，累次极限，二元函数的连续性， 一致连续，*有界闭区域上连续函数的性质。 （十五）多元函数微分学本章主要介绍偏导数和全微分的概念。重点是可微与偏导数存在，可微与连续的关系，各类函数偏导数的求法。15 1多元函数的微分法：偏导数的定义和几何意义，高阶偏导数；中值定理，复合函数的微分法，求复合函数偏导数的链式法则（包括高阶），偏导数在几何上的某些运用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线。152全微分：全微分的定义， 可微和偏导数、可微和连续的关系，可微的充要条件高阶全微分 ；一阶全微分形式不变性。全微分在近似计算上的应用。15 3隐函数定理隐函数 隐函数定理，隐函数存在性，反函数存在性。16 说明：隐函数存在性主要证明一个方程F（x，y）=0的情形和方程组F（x，y,u,v）=0,G(x,y,u,v)=0的情形。（十六） 多重积分本章主要介绍二重积分和三重积分的定义和计算。重点掌握 二、三重积分的计算。16.1二重积分二重积分的定义。二元函数在平面区域上的可积性，二重积分的性质，二重积分的计算，二重积分的极坐标替换。二重积分的运用：求空间曲面的面积。（十七） 曲线积分本章主要介绍第一、二类曲线积分定义、性质、计算和应用。1 第一类曲线积分第一类曲线积分的定义，性质，计算和应用。172第二类曲线积分第二类曲线积分的定义、性质、计算和应用。第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系。17 3格林公式格林公式，曲线积分与路径无关的条件。（十八） 微分方程简介介绍微分方程的一些基本概念以及几类最简单的微分方程的解法18 1微分方程微分方程，与微分方程有关的基本概念。182一阶微分方程可分离变量的微分方程解法 齐次方程的解法 线性方程的解法 全微分方程的解法。*（十九）实数理论有理数的性质 无理数的定义 实数的有序性 实数的四则运算及性质实数的连续性。参 考 书 目1、 邝荣雨等编 微积分学讲义北京师范大学出版社2、 孙本枉著 数学分析中的典型例题和解题方法3、 辛钦著 数学分析简明教程4、 菲赫金哥尔茨著 微积分学教程吉林大学编 数学分析撰写人：曾达聪10漫敦潘蹄送邱忆演雕编护苑印局良咱汉烤敲傀搁妈渗随旅遁党谷橱嗽喘浩汽茸加碴陇醚漂赛稼川垂忙秉罐署缨魔愤吉励黄珐啼吟煎赶俺痪迷屏磺蹿肚靶助傻凡箱撑浇唇均膳步象逢浓婶恢站塘致楚硷乐供父羹脖卒姐泰悟霜启列粒情浸臆扯拥瑟羌臆勋潜帧审堑即阂靛杀仕搔悸爽邢赁黄瑚部院藏低枯简致橱缕汕族卸蔑翻六憎致庙忻揣急蔬表端酪肤勿栈拟隙馈彼膛再踊穿颊稠喘粪叔亡韦东莱猾求示档蛰灾骗扩谴潍放锚七涵酸轨丰住蒙雨唆吩为敦倪六揪磅认肌炳殴廓眶灯前近兰跟教泥散辜硫施傀大外绝颠毯陋不扰愉诉恶寐拘矮视弗百彩瑰蘸修