数学寒假讲义第八讲-整式的乘法

第八讲 整式的乘法(二) -乘法公式一、知识梳理1、平方差公式两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即理解公式的几何意义： 图1平方差公式：由图1可以清楚地看出，即表示边长分别为、的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积.注：1、仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子（单项式、多项式等），只要是符合公式结构特征的，都可以运用这一公式计算.2、弄清公式的各种变异形态 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 换式变化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz2、完全平方公式两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的两倍，即 或 图2 图3理解公式的几何意义：由图2可以清楚地看出，即表示大正方形的面积等于两个正方形的面积、之和，再加上两个小长方形的面积.由图3可以清楚地看出，即表示大正方形的面积等于两个正方形的面积、之和，减去两个小长方形的面积.两数和的平方推广 计算分析：式子中有三个数，可以看做是两个数的和，从而利用公式，或或答案： 拓展延伸：几个数的和的平方，变形成两个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的乘积的2倍，例如.二、典型例题及针对练习知识点1 平方差公式运用公式解决有关问题例1、计算：（3a5b）（3a5b）例 2. 计算例3. 计算分析：观察后一个括号内的两项发现，只要提出一个“”号即可运用平方差公式计算。例4. 计算注意：“整体思想”的运用，灵活解题练习 1、计算：（1）； （2）； （3）； （4）；2、（1）； （2）计算：（x3y2z）（x3y2z）知识点2 完全平方公式例5 计算：（2x5y）2例6 计算：（a2b5c）2分析：括号中有三项，可以取其中的任意的两项组合，然后运用完全平方公式.综合探究创新例7 计算.例8已知，求，的值.注： (1)由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积，同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积.练习3、计算.已知，求的值. 例9：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2的值。例10：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。例11：判断（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的个位数字是几？例12运用公式简便计算（1）1032 （2）1982例13解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（3）已知，求的值。 例14四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？例15计算 （1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2三、巩固练习一、填空题 1. .2. 已知，那么x2+xy+y2的值为 .3. .4. .5. 若，则 .6.方程组的解为 .二、选择题7. 若a的值使得 1成立，则的值为( )A.5B.4C.3D.28 若，则的值为( )A.13B.26C.28D.379 如图1518所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，