经模06：方程模型PPT课件

经济模型与Matlab应用 方程模型 方程模型 代数方程一元方程方程组微分方程n阶初值问题 一 代数方程 1 线性方程组 恰定方程n m欠定方程n m超定方程n m 基本解法 特解 恰定 欠定 超定x A b l01 m 注 A x b 例 恰定 基本解法 特解 x A b l01 m 注 A x b 另 例 超定 欠定 恰定A x b Ab 初等行变换 行最简形 特解及基础解系操作 det A B Ab 例 其他解法 通解 通解 符号解 l03 m solve f solve f x solve f g x y fsolve f x0 fzero f x0 数值解 符号字符串 字符串 2 一般方程 例 二 微分方程 符号解 通解注 导数特解初始条件例 注 化简 DyD2yDny y dsolve f y dsolve f x y1 y2 dsolve f g x 字符串 y dsolve y x0 y0 l04 m 缺省 三 微分方程模型 室温 20C物体 100C 20min 60C问 min 30C 关键 温度变化规律 冷却定律 物体的冷却速度与物体和环境的温差成正比 1 简单物理模型 物体温度变化 模型 物体温度 冷却速度 冷却定律 初值 求解 于是 l05 m 2 人口模型 问题提出 人口预测例如 1998年末 12 5亿 自然增长率 9 53 预测2000年末 12 5 1 0 00953 2 12 73942000年11月1日全国总人口为126583万人预测2004年末 12 5 1 0 00953 6 13 23202005年1月6日 中国人口总数达到13亿2008年底 中国人口总数13 2802亿设基年人口数为x0 k年后为xk 年增长率为r则人口增长模型为xk x0 1 r k 模型一 指数增长模型 基本假设 人口的自然增长率是一个常数 或说单位时间内人口增长量与当时人口数成正比 设t时刻人口数为x t t 0时人口增长率为r 则取 t 0 有初值问题 Malthus 1766 1834 人口模型 于是 指数增长模型 求解符号演算Matlab模型解离散化er 1 r r 1 则有x t x0 1 r t l06 m 模型二 阻滞增长模型 模型假设 增长率 是人口x t 的线性函数r x r sx s r 0 设最大人口容量 自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量 为xmr xm 0有模型为 Logistic模型 于是 阻滞增长模型 求解 Logistic模型 l06 m 图示 阻滞 指数 阻滞 指数 求解 l06 m 参数估计 统计方法 最小二乘法 参数r或r xm例 美国人口数据 单位 百万 专家估计 模型检验 用模型计算2000年美国人口 与实际数据比较 实际为281 4 百万 模型应用 预报 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 作业 一 建模并求解设有一笔资金M 10万 未来5年内可以投资4个项目 其中项目1每年初投资 要到投资后第二年末才可回收资金 本利为115 项目2只能在第三年初投资 到第五年末回收本利125 但不超过3万 项目3在第二年初投资 第五年末回收本利140 但不超过4万 项目4每年初投资 当年年末回收本利106 试确定5年内如何安排投资 线性规划 一 建模并求解设有一笔资金M 10万 未来5年内可以投资4个项目 其中项目1每年初投资 要到投资后第二年末才可回收资金 本利为115 项目2只能在第三年初投资 到第五年末回收本利125 但不超过3万 项目3在第二年初投资 第五年末回收本利140 但不超过4万 项目4每年初投资 当年年末回收本利106