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第九章多元函数微分法及其应用 第九章多元函数微分法及其应用 一元函数 映射 二元函数 映射 一元函数的邻域 一 平面点集 1 内点 外点 边界点 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U P E 若存在点P的某邻域U P E 若对点P的任一邻域U P 既含E中的内点也含E 则称P为E的内点 则称P为E的外点 则称P为E的边界点 的外点 显然 E的内点必属于E E的外点必不属于E E的 边界点可能属于E 也可能不属于E 若对任意给定的 点P的去心 邻域 内总有E中的点 则 称P是E的聚点 聚点可以属于E 也可以不属于E 因为聚点可以为 E的边界点 例如 若点集E的点都是内点 则称E为开集 若点集E E 则称E为闭集 若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连 开区域连同它的边界一起称为闭区域 则称D是连通的 连通的开集称为开区域 简称区域 E的边界点的全体称为E的边界 记作 E 例如 在平面上 开区域 闭区域 整个平面 点集 是开集 是最大的开域 也是最大的闭域 但非区域 对区域D 若存在正数K 使一切点P D与某定点 A的距离 AP K 则称D为有界域 界域 否则称为无 二 多元函数的概念 定义1 设非空点集 点集D称为函数的定义域 数集 称为函数的值域 特别地 当n 2时 有二元函数 当n 3时 有三元函数 映射 称为定义 在D上的n元函数 记作 例如 二元函数 定义域为 圆域 说明 二元函数z f x y x y D 图形为中心在原点的上半球面 的图形一般为空间曲面 三元函数 定义域为 图形为 空间中的超曲面 单位闭球 二 多元函数的极限 定义2 设二元函数 则称A为函数 若存在常数A 记作 都有 对任意正数 总存在正数 或 二元函数的极限也叫二重极限 例1 设 求证 证 故 总有 要证 若当点 趋于不同值或有的极限不存在 解 设P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 在点 0 0 的极限 则可以断定函数极限 则有 k值不同极限不同 在 0 0 点极限不存在 以不同方式趋于 不存在 例2 讨论函数 函数 例3求 解 定义3 三 多元函数的连续性 例4求 解 例5 解 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域D上的多元连续函数 如果在D上取得两个不同的函数值 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次 1 最大值和最小值定理 2 介值定理 作业 P645
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