实变函数与泛函分析基础4-1

第一节可测函数及性质 第四章可测函数 1几个常用概念 1 定义1 几乎处处成立 2 定义2 f x 是可测集E上的广义实函数 若 Ei可测且两两不交 f x 在每个Ei上取常值ci 则称f x 是E上的简单函数 简单函数 3 定义3 注1 如 Dirichlet函数是简单函数 注2 新的积分 Lebesgue积分 从分割值域入手 问题 怎样的函数可使Ei都有 长度 测度 2可测函数定义 例1 1 零集上的任何函数都是可测函数 分 称外测度为0的集合为零测度集 零测度集的子集仍为零测度集 定义3 设f x 是可测集E上的实函数 可取 若可测 则称f x 是E上的可测函数 注 用与函数相关的集合表示函数f x 的性质 又如 p50 11题 2 可测集上的常值函数是可测函数 3 简单函数是可测函数 若 Ei可测且两两不交 f x 在每个Ei上取常值ci 则称f x 是E上的简单函数 4 可测集E上的连续函数f x 必为可测函数 对比 设f x 为 a b 上有限实函数 f x 在处连续 对闭区间端点则用左或右连续 设f x 为E上有限实函数 称f x 在处连续 可测集E上的连续函数f x 定为可测函数 证明 任取x E f a 则f x a 由连续性假设知 5 R中的可测子集E上的单调函数f x 必为可测函数 由f单调增知下面的集合为可测集 证明 不妨设f单调增 对任意a R 可测函数的等价描述 定理1 设f x 是可测集E上的广义实函数 则f x 在E上可测 证明 例1 设f x 为可测集E上的函数 D是R中一个稠密集 若对任意的r D 点集 x f x r 都可测 则任意的a R 点集 x f x a 都可测 可测函数的性质 1 可测函数关于子集 并集的性质 反之 若 f x 限制在En上是可测函数 则f x 在E上也是可测函数 即 若f x 是E上的可测函数 可测 则f x 限制在E1上也是可测函数 分 分 例2 在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性 证明 令E1 E f g E2 E f g 则mE1 0从而g x 在E1上可测 即 设f x g x a e 于E f x 在E上可测 则g x 在E上也可测 注 用到了可测函数关于子集 并集的性质 另外f x 在E2上可测 从而g x 在E2上也可测 进一步g x 在E E1 E2上也可测 可测函数类关于四则运算封闭 即 若f x g x 是E上的可测函数 则f x g x f x g x f x g x f x g x 仍为E上的可测函数 类似于证明 设f x g x 是E上可测函数 则为可测集 证明中利用了Q是可数集 再证 若f x g x 是E上的可测函数 则f x g x 仍为E上的可测函数 注 若f x g x 是E上的可测函数 则f x g x f x g x 为E上的可测函数参见教材p81 82 再利用f x g x f x g x 2 f x g x 2 4即可 其次 f2 x 在E上可测 因为对任意a R 证明 首先 对任意非0数c cf x 为可测函数 可测函数类关于确界运算和极限运算封闭 若fn x 是E上的可测函数 则下列函数仍为E上的可测函数 推论 可测函数列的极限函数仍为可测函数 连续函数列的极限函数不一定为连续函数 例3 R1上的可微函数f x 的导函数f x 是可测函数 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数 从而f x 是一列连续函数 当然是可测函数 的极限 故f x 是可测函数 证明 由于 例4设 fn 是可测函数列 则它的收敛点全体和发散点全体是可测集 证明 发散点全体为收敛点全体为 再 若f x 是E上的可测函数 则f x 总可表示成一列简单函数的极限 而且还可办到 可测函数与简单函数的关系 若f x 在E上非负可测 则f x 总可表示成一列简单函数的极限 而且还可办到 定理2 非负可测函数与简单函数的关系 思路 构造一个递增的简单函数列逼近f x 即 如何用简单函数来 近似 表示出f x 使得 近似 的效果越来越好 定义域细分的方法 证明 令 下面讨论一般可测函数与非负可测函数的关系 定义4 设f x 是集合E上的广义实函数 定理3 一般可测函数与简单函数的关系 若f x 是E上的可测函数 则f x 总可表示成一列简单函数的极限 而且还可办到 证明 推论 f x 是可测函数当且仅当f x 可以表示为一个简单函数列的极限 例5 设f x 是R上连续函数 g x 是E上可测函数 则f g x 是可测函数 分 思路1 利用可测函数的定义直接证明 要证f g x 是可测函数 只要证对任意a E fg a x f g x a 可测即可 x f g x a fg 1 a g 1 f 1 a f 1 a f x 是R上连续函数 由p49习题8知 开集的原像是开集 思路2 利用可测函数的相关结论 等价条件 其运算规则等 间接证明 要证h x f g x 是可测函数当且仅当h x 可以表示为一个简单函数列的极限 注 f x 是R上可测函数 g x 是R上连续函数 f g x 不一定是可测函数 参见 实变函数 周民强 p141例3 证法1 要证f g x 是可测函数 只要证对任意a E fg a x f g x a 可测即可 由于f在R上连续 故f 1 a 为R中的开集 再由g可测 可知 E fg a x f g x a fg 1 a g 1 f 1 a f 1 a