线性微分方程组解的存在唯一性定理

5 1线性微分方程组解的存在唯一性定理 Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理 熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法 本节要求 Requirements 5 1 1记号与定义 SymbolandDefinition 一阶微分方程组 初值条件 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 一阶线性微分方程组 5 1 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 5 2 5 3 5 4 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 可定义矩阵与向量函数 在区间 连续 连续 在区间 可微 可微 在区间 可积 可积 在区间 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 上的连续维向量 方程组 上连续且满足 定义1 设 是区间 上的连续 矩阵 是区间 5 4 在某区间 的解就是向量 在区间 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 定义2 初值问题 CauchyProblem 5 5 的解就是方程组 5 4 在包含 使得 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 例1验证向量 是初值问题 在区间 上的解 解 因此是给定初值问题的解 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 5 1 2n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价 例1 令 解 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 满足 解 构造向量 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 解 满足 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 令 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 5 6 等价 5 7 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 例2 令 将初值问题 化为与之等价的一阶方程组的初值问题 解 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 例3 将下列方程组化为高阶方程 解 注意 不是所有方程组都可化为高阶方程 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 5 1 3存在唯一性定理 初值问题 CauchyProblem 5 5 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 定理1 f t 是n维列向量 上连续 则对于区间 上的任何数 及任一常数向量 方程组 5 5 存在唯一解 定义于整个区间 上 且满足初始条件 如果 矩阵 它们都在区间 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 现取 构造皮卡逐步逼近向量函数序列 向量函数 称为 5 4 的第k次近似解 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 例4 求方程组的初值问题 的二次近似解 解 令 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 5 1 4简单方程组的消元法 例5求解方程组 解 关键 保留一个未知函数 消掉另一个未知函数 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 方程组的解为 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 例6求解方程组 解 保留一个未知函数x 消掉另一个未知函数y 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 另外 由 方程组的解为 5 1Existence UniquenessTheoremsofLinearODEs 练习 2求方程组的初值问题 的二次近似解 1P 1842 b 5 1Existenc