多元函数的基本概念19821ppt课件

第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 一 区域 1 邻域 设P0 x0 y0 是xOy面上一点 是某一正数 与P0 x0 y0 距离小于 的点P x y 的全体 称为P0的 邻域 记为U P0 即 U P0 P P0P 或 注 去心邻域U P0 P 0 P0P 下页 上页 首页 2 区域 1 内点 U P E 则称点P为点集E的内点 注 若点集E的点都是内点 则称E为开集 例如 点集E1 x y x2 y2 1 是开集 点集E2 x y x2 y2 1 不是开集 设E为一平面点集 P为E的一点 如果存在点P的某个邻域U P 使这个邻域整个包含在E内 下页 上页 首页 2 边界点 设E为一平面点集 P1为一点 不论P1点是否属于E 如果P1的任何邻域内 既有属于E的点 也有不属于E的点 则称点P1为点集E的边界点 注 点集E的全体边界点所成的点集 称为点集E的边界 例如 点集E x y 1 x2 y2 4 的边界点是圆x2 y2 1和x2 y2 4 下页 上页 首页 3 区域 设E为一平面点集 如果E的每一个点都是E的内点 并且对E内任何两个点 都可以用一包含在E内的折线连结起来 则称E为一个开区域 或区域 注 点集E内任何两点 可用E内的一折线连起来 又称E是连通的 E1 x y x2 y2 0 是区域 E2 x y 1 x2 y2 4 也是区域 例如 下页 上页 首页 E3 x y x2 y2 1 x y x 2 2 y 2 2 1 不是区域 注1 开区域连同其边界点称为闭区域 x y o 1 2 2 1 P1 P2 下页 上页 首页 4 有界区域 对于区域E 如果存在M 0 使得E内任何点到原点的距离都小于M 即 x y E x2 y2 M2 则称E为有界区域 否则 称为无界区域 下页 上页 首页 3 n维空间 n个有次序的实数 x1 x2 xn 的全体所成的集合称为n维空间 记成Rn 将 x1 x2 xn 称为n维空间Rn中的点 数xi称为该点的第i个坐标 注1 一维空间R1就是直线 二维空间R2就是平面 三维空间R3就是现实空间 下页 上页 首页 注2 对于Rn中的两个点P x1 x2 xn Q y1 y2 yn 称为两点P Q的距离 记作 下页 上页 首页 二 多元函数概念 1 二元函数 1 定义 设D是平面上的一个点集 如果对于每个点P x y D 变量z按照一定法则总有确定的值和它对应 则称z是变量x y的二元函数 或点P的函数 记为 z f x y 或 z f P 点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 数集 z z f x y x y D 称为该函数的值域 下页 上页 首页 类似地 可以定义三元函数 即三维空间中的点函数u f M f x y z n元函数是n维空间中的点函数y f M f x1 x2 xn 注1 讨论算式表达的函数u f x y 时 规定其定义域就是使这个算式有确定值u的全体自变量的集合 下页 上页 首页 例如 函数z ln x y 的定义域为 x y x y 0 例如 函数的定义域为 x y x y2 0 即y2 x 下页 上页 首页 注2 二元函数也引入了多值函数 单值函数的概念 例如 由方程x2 y2 z2 a2 确定的函数 是多值函数 它有两个单值支 下页 上页 首页 2 二元函数的图形 设函数z f x y 的定义域为D 将空间点集 x y z z f x y x y D 称为二元函数z f x y 的图形 下页 上页 首页 三 二元函数的极限 1 定义 设二元函数y f x y 在点P0 x0 y0 附近有定义 若对于任意给定的 0 总存在 0 当 都有 成立 则称常数A为二元函数f x y 当P P0 或x x0 y y0 时的极限 记作 下页 上页 首页 注1 二元函数的极限称为二重极限 二重极限存在是指点P x y 以任何方式趋于P0 x0 y0 时 z f x y 都无限接近于A 注2 二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数 下页 上页 首页 证 0 取 则当 总有 故 下页 上页 首页 注3 若P x y 以某一特殊方式趋于P0 x0 y0 时 f x y 能无限接近于某一定值 还不能判定函数的极限是否存在 反之 若当P x y 以不同方式趋于P0 x0 y0 时 函数趋于不同的值 则可判定函数的极限不存在 下页 上页 首页 证明 证明 令P x y 沿直线y kx趋于O 0 0 则 当k 1时 极限为 当k 0时 极限为0 故极限不存在 下页 上页 首页 注4 二元函数极限有与一元函数极限类似的四则运算法则 夹逼定理 例3 求 解 下页 上页 首页 例4 解 下页 上页 首页 四 二元函数的连续性 1 定义 设z f x y 在P0 x0 y0 的邻域内有定义 若 或 则称z f x y 在点P0连续 若f x y 在点P0不连续 则点P0称为f x y 的间断点 若f x y 在区域D内每一点连续 则称f x y 在D内连续 下页 上页 首页 例如 注 二元函数的连续概念可相应地推广到n元函数上去 下页 上页 首页 2 有界闭区域上多元连续函数性质 性质1 最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值 即 P1 P2 D 对于 P D 都有 f P2 f P f P1 下页 上页 首页 性质2 介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数 如果在D上取得两个不同的函数值 则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次 特别地 设m M分别是f P 在D上的最大值 最小值 m M 则 Q D 使f Q 下页 上页 首页 3 多元初等函数 1 二元基本初等函数 考虑一个变量x或y的基本初等数 将它们当成二元函数 如 C x y sinx siny 称为二元基本初等函数 下页 上页 首页 2 二元初等函数 将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合所组成的函数 称为二元初等函数 例如 sin x2y 都是二元初等函数 结论 多元初等函数在其定义区域内连续 定义区域指包含在定义域内的区域或闭区域 注 类似地定义多元初等函数 下页 上页 首页 例5 求 解 定义域D x y x 0或y 0 因D不连通 故D不是区域 但 D1 x y x 0 y 0 是区域 且D1 D 故D1是f x y 的一个定义区域 且P0 1 2 D1 故 下页 上页 首页 例6 求 解 下页 上页 首页 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 注意趋近方式的任意性 五 小结 多元函数的定义