概率论第一章第三节PPT课件

1 3概率 概率论作为应用数学的一个重要分支 它研究的是随机现象量的规律性 因此 对于一个随机试验 仅仅知道试验中可能出现哪些事件是不够的 还必须对事件发生的可能性大小进行量的描述 即希望用一个数字来描述一个随机事件发生的可能性大小 这就是概率的粗略含义 描述事件发生可能性大小的数量指标称为事件发生的概率 记作P A 概率的统计定义 概率的客观存在性的描述性定义 古典定义 特定试验中概率的古典定义 在概率论发展史上人们最早研究的是概率的古典定义 描述概率的基本属性的公理化定义 1 3 1概率的古典定义 把具有以下两个特点的随机试验的数学模型称为古典概型 1 有限性试验的基本事件总数为有限个 2 等可能性每次试验中 各个基本事件出现的可能性相同 例1 3 1一个五位数字的号码锁 每位上都有0 1 9十个数码 若不知道该锁的号码 问开一次锁就能将改锁打开的概率有多大 若不知道锁的号码 要想一次就将锁打开的可能性是很小的 通常我们把这种概率很小的事件称为小概率事件 例1 3 212个球中有5个红球 4个白球 3个黑球 从中任取2个球 计算没有取到红球的概率 例1 3 3一箱产品有100个 其中有10个次品 90个正品 从中任取3个 计算 1 没有取到次品的概率 2 最多取到1个次品的概率 例1 3 4从5双不同尺码的手套中任取4只 求至少有2只配成一双的概率 解法二4只中恰好有2只配成1双的取法按下列步骤进行 先从5双中任取1双 再从余下的8只中任取2只 但须剔除其中配成1双的种数 于是 1 指定的n个箱子各放一球 2 每个箱子最多放入一球 3 某指定的箱子不空 4 某指定的箱子恰好放入k k n 个球 例1 3 5分球入箱问题 分房问题 生日问题 将n个球 可辨认 随意地放入N个箱子中 N n 其中每个球都等可能地放入任意一个箱子 求下列各事件的概率 解 练习 1o分房问题将张三 李四 王五3人等可能地分配到3间房中去 试求每个房间恰有1人的概率 我们利用软件包进行数值计算 1 3 2概率的统计定义 频率也可以反映事件发生的可能性大小 它是从多次试验的结果来考察随机事件发生的可能性大小 因而有随机性 它的数值依赖于试验 对于同一事件 不仅试验次数不同可以得出不同的频率 就是试验次数相同 得到的频率也可能不同 概率是由随机事件本身的结构决定的 它反映了随机事件所固有的客观属性 它是客观存在的 它的大小与是否试验及试验的次数无关 在大量重复试验的条件下 随机事件出现的频率将会随着试验次数n的增大而逐渐趋于稳定 我们称频率的稳定值为事件A发生的概率P 以抛掷一枚硬币的试验为例 设事件表示 正面向上 即徽花向上 表1 1列举了几位著名学者的试验结果 表1 1 当n充分大时 事件A发生的频率稳定于常数值0 5 称这一现象为频率的稳定性 事实上 上述试验属于古典概型 利用概率的古典定义很容易计算出事件A发生的概率为P A 0 5 定义1 3 2在相同的条件下 重复进行n次试验 当试验次数n充分大时 事件A发生的频率稳定地在某一数值p附近摆动 而且一般说来 随着试验次数的增加 这种摆动的幅度将减小 我们称这个客观存在的频率的稳定值p为事件A在上述条件下 一次试验中发生的概率 记为p A p 这个定义通常称为概率的统计定义 严格地讲 概率的统计定义只是一种描述性的定义 在大多数情况下 定义中提到的客观存在的数值p无法具体地确定 一般只是在大量重复试验的条件下 通过频率值或一系列频率的均值作为概率p A 的近似值 但是 频率的稳定性及频率与概率之间的联系为我们进一步研究概率奠定了基础 1 3 3概率的公理化定义 上面已经引入了概率的两种定义 古典定义与统计定义 前者要求只有有限个基本事件并且它们的出现具有等可能性 而实际问题大多不同时具备这两种条件 后者虽然无以上两个条件限制 但试验次数应大到什么程度 频率究竟在什么意义下趋近于概率都没有确切地说明 因此 两种定义都存在一定的局限性 1 3 3概率的公理化定义 上述三条公理称为概率论的公理化结构 这三条公理是随机事件的概率所应具备的三个基本属性 也是研究概率的基础与出发点 概率论的公理化结构的建立使概率论具有严密的逻辑基础 从而确立了它在严格数学中的地位 如在公理化定义的基础上 我们可以证明反映 频率稳定性 的大数定律 为在实际中用频率近似代替概率提供了理论依据 因此公理化定义的建立 在概率论的发展史中起着极其重要的作用 证明 由图可得 利用数学归纳法 可将性质1 3 4推广到任意有限个事件的情形 特别地 对于任意三个事件有 例1 3 7袋中有8只球 其中5只白球 3只黑球 从袋中取球两次 每次1只 第一次取1球观察其颜色后放回袋中 然后再取第2只 计算 1 取到的2只球中有黑球的概率 2 取到的2只球颜色不同的概率 例1 3 8例1 3 7中其他条件不变 仅改变摸球方法 从袋中取2只球 每次取1只 第一次取球后不放回 接着从余下的球中取第2只 求P A 和P B 例1 3 9例1 3 7中其它条件不变 将摸球方法改为一次摸取2只 求P A 和P B 注比较例1 3 8和例1 3 9 可以看出不放回抽样连续抽取两次和一次任意抽取2只结果是一样的 所以 在很多问题中 如果不是有放回地抽取 则统称为 任意取出 例1 3 10某人外出旅游两天 据天气预报 第一天下雨的概率为0 2 第二天下雨的概率为0 3 两天都下雨的概率为0 1 求 1 第一天下雨而第二天不下雨的概率 2 至少有一天下雨的概率 3 两天都不下雨的概率 例1 3 12 1 50个人中至少有一个人的生日是在9月10日的概率为多少 一年按365天计算 2 5个人中至少有两个人的生日在同一个月的概率为多少 假设每个月的天数相同 解 例在0 1 2 3 9中不重复地任取四个数 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率 设A为 能排成首位非零的四位偶数 四位偶数的末位为偶数 故有种可能 而前三位数有种取法 由于首位为零的四 位数有种取法 所以有利于A发生的取 法共有种 解 设A表示事件 n次取到的数字的乘积能被10整除 设A1表示事件 n次取到的数字中有偶数 A2表示事件 n次取到的数字中有5 A A1A2 例在1 2 3 9中重复地任取n 个数 求n个数字的乘积能被10整除的概率 1 4几何概型把有限个样本点推广到无限个样本点的场合 人们引入了几何概型 等可能随机试验模型 定义1 5当随机试验的样本空间是某个区域 并且任意一点落在度量 长度 面积 体积 相同的子区域是等可能的 则事件A的概率可定义为 几何概型举例 1 某人午觉醒来 发觉表停了 他打开收音机 想听电台报时 假定电台每小时报时一次 求他等待的时间短于10分钟的概率 解 因为电台每小时报时一次 我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间 例如 13 00 14 00 而且取各点的可能性一样 要遇到等待时间短于10分钟 只有当他打开收音机的时间正好处于13 50至14 00之间才有可能 相应的概率是10 60 1 6 例 会面问题 甲 乙两人相约7点到8点在某地会面 先到者等候另一人20分钟 过时就可离去 试求这两人能会面的概率 例10两船欲停同一码头 两船在一昼夜内独立随机地到达码头 若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时 试求在一昼夜内 任一船到达时 需要等待空出码头的概率 解设船1到达码头的瞬时为x 0 x 24船2到达码头的瞬时为y 0 y 24 设事件A表示任一船到达码头时需要等待空出码头 解以表示针的中点到最近一条平行线的距离 表示针与平行线的夹角 针与平行线的位置关系见图1 6 显然有 以表示边长为和的长方形 针与平行线相交的充要条件是满足该关系式的区域记为 见图1 7中阴影部分所示 图1 6 图1 7 1 4几何概型 根据题意知 这是一个几何概型问题 于是这是几何概型的一个著名问题 本例于1777年由法国数学家蒲丰提出 又称作蒲丰问题 由于问题的最后答案与有关 引发不少人想利用上式计算的值 如果和已知 以的值带入上式 即可求出的值 反之 如果已知 则可以利用上式去求的值 而关于的值 由 1 3中概率的统计定义 可以用频率去近似求出 如果投针次 其中针与平行线相交次 则频率为 于是 1 4几何概型 历史上有一些学者曾亲自做过这个试验 下表1 5记录了他们的试验结果 将折算为单位长度 表1 5 随机模拟试验 1 4几何概型 这是一个颇为奇妙的方法 只要设计一个随机试验 使一个事件的概率与某一未知数有关