十年真题（2010_2019）高考数学真题分类汇编专题09立体几何与空间向量选择填空题（含解析）.docx

专题09立体几何与空间向量选择填空题历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2019表面积与体积2019年新课标1理科12单选题2018几何体的结构特征2018年新课标1理科07单选题2018表面积与体积2018年新课标1理科12单选题2017三视图与直观图2017年新课标1理科07单选题2016三视图与直观图2016年新课标1理科06单选题2016空间向量在立体几何中的应用2016年新课标1理科11单选题2015表面积与体积2015年新课标1理科06单选题2015三视图与直观图2015年新课标1理科11单选题2014三视图与直观图2014年新课标1理科12单选题2013表面积与体积2013年新课标1理科06单选题2013三视图与直观图2013年新课标1理科08单选题2012三视图与直观图2012年新课标1理科07单选题2012表面积与体积2012年新课标1理科11单选题2011三视图与直观图2011年新课标1理科06单选题2010表面积与体积2010年新课标1理科10填空题2017表面积与体积2017年新课标1理科16填空题2011表面积与体积2011年新课标1理科15填空题2010三视图与直观图2010年新课标1理科14历年高考真题汇编1【2019年新课标1理科12】已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90，则球O的体积为（）A8B4C2D【解答】解：如图，由PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥PABC为正三棱锥，则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，则ACBG，又POAC，POBGO，可得AC平面PBG，则PBAC，E，F分别是PA，AB的中点，EFPB，又CEF90，即EFCE，PBCE，得PB平面PAC，正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为D半径为，则球O的体积为故选：D2【2018年新课标1理科07】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A2B2C3D2【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：2故选：B3【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）ABCD【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，截此正方体所得截面最大值为：6故选：A4【2017年新课标1理科07】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A10B12C14D16【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形2（2+4）6，这些梯形的面积之和为6212，故选：B5【2016年新课标1理科06】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A17B18C20D28【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：，R2它的表面积是：42217故选：A6【2016年新课标1理科11】平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m、n所成角的正弦值为（）ABCD【解答】解：如图：平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABA1B1n，可知：nCD1，mB1D1，CB1D1是正三角形m、n所成角就是CD1B160则m、n所成角的正弦值为：故选：A7【2015年新课标1理科06】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A14斛B22斛C36斛D66斛【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r8，解得r，故米堆的体积为（）25，1斛米的体积约为1.62立方，1.6222，故选：B8【2015年新课标1理科11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为16+20，则r（）A1B2C4D8【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为：4r2r22r2r+2r2rr25r2+4r2，又该几何体的表面积为16+20，5r2+4r216+20，解得r2，故选：B9【2014年新课标1理科12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A6B6C4D4【解答】解：几何体的直观图如图：AB4，BD4，C到BD的中点的距离为：4，AC6，AD4，显然AC最长长为6故选：B10【2013年新课标1理科06】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）ABCD【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心如图设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2（R2）2+42，解出R5，根据球的体积公式，该球的体积V故选：A11【2013年新课标1理科08】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+16【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4长方体的体积42216，半个圆柱的体积2248所以这个几何体的体积是16+8；故选：A12【2012年新课标1理科07】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B9C12D18【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V6339故选：B13【2012年新课标1理科11】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的表面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC2，则此三棱锥的体积为（）ABCD【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD平面ABCCO1，OO1，高SD2OO1，ABC是边长为1的正三角形，SABC，V三棱锥SABC故选：C14【2011年新课标1理科06】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）ABCD【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D15【2010年新课标1理科10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）Aa2BCD5a2【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选：B16【2017年新课标1理科16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为OD、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得ODBC，OGBC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OGx，则BC2x，DG5x，三棱锥的高h，3，则V，令f（x）25x410x5，x（0，），f（x）100x350x4，令f（x）0，即x42x30，解得x2，则f（x）f（2）80，V4cm3，体积最大值为4cm3故答案为：4cm3解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG，FGSG5，SOh，三棱锥的体积V，令b（x）5x4，则，令b（x）0，则4x30，解得x4，（cm3）故答案为：4cm317【2011年新课标1理科15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为【解答】解：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：2，所以棱锥OABCD的体积为：8故答案为：818【2010年新课标1理科14】正视图为一个三角形的几何体可以是（写出三种）【解答】解：正视图为一个三角形的几何体可以是三棱锥、三棱柱（放倒的情形）、圆锥、四棱锥等等故答案为：三棱锥、圆锥、三棱柱考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质等为重点较佳.最新高考模拟试题1在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，是在平面内的射影，是的中点，则异面直线与所成角为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题可知是正方形的中心，取为的中点，所以，则是异面直线与所成的角.因为平面，所以平面，因为在四棱锥中，所有侧棱都为，底面是边长为的正方形，所以，所以，因此，又在中，所以，即，所以，则异面直线与所成的角为.故选C2已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】B【解析】A选项，若，则或与相交；故A错；B选项，若，则，又，是两个不重合的平面，则，故B正确；C选项，若，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故C错；D选项，若，则或或与相交，又，是两个不重合的平面，则或与相交；故D错；故选B3已知正方体的棱长为1，在对角线上取点，在上取点，使得线段平行于对角面，则的最小值为（ ）A1BCD【答案】D【解析】作，垂足为，作，垂足为，如下图所示：在正方体中，根据面面垂直的性质定理，可得,都垂直于平面，由线面垂直的性质，可知，易知：，由面面平行的性质定理可知：，设，在直角梯形中，当时，的最小值为，故本题选D.4如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）ABCD3【答案】A【解析】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：故：V故选：A5已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】解：正四棱锥PABCD的所有顶点都在球O的球面上，PAAB2，连结AC，BD，交于点O，连结PO，则PO面ABCD，OAOBOCOD，OP，O是球心，球O的半径r，球O的表面积为S4r28故选：C6已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为（）A4BCD【答案】B【解析】设长方体的三条棱的长分别为：，则，可得对角线的长为故选：B7如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，BCD90，平面ABD平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（）A30B45C60D90【答案】C【解析】由题意得BCCDa，BCD90，BD，BAD90，取BD中点O，连结AO，CO，ABBCCDDAa，AOBD，COBD，且AOBOODOC，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AOBD，AO平面BCD，延长CO至点E，使COOE，连结ED，EA，EB，则四边形BCDE为正方形，即有BCDE，ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，由题意得AEa，EDa，AED为正三角形，ADE60，异面直线AD与BC所成角的大小为60故选：C8鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作. 下图是经典的六柱鲁班锁及六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图，则此构件的体积为 ABCD【答案】C【解析】由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，该零件的体积：V100202040201032000（mm3）故选：C9在正方体中，动点在棱上，动点在线段上，为底面的中心，若，则四面体的体积( )A与都有关B与都无关C与有关，与无关D与有关，与无关【答案】B【解析】因为VOAEFVEOAF，所以，考察AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，因为BB1平面ACC1A1，所以，点E到平面AOE的距离为定值，又AOA1C1，所以，OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，即AOF的面积是定值，所以，四面体的体积与都无关，选B。10在三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，若，三棱锥的各个顶点均在球上，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】记外接圆圆心为，外接圆圆心为， 连结，则平面，平面；取中点，连结， 因为是边长为2的正三角形，所以过点，且；在中，设外接圆为，则，所以，故，所以有，因为为中点，所以，且；又平面平面，所以平面，平面；因此且.设三棱锥外接球半径为，则，因此，球的表面积为.故选D 11在棱长为2的正方体中，是内（不含边界）的一个动点，若，则线段的长的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由正方体的性质可知，是正四面体，且正四面体的棱长为，在内，的最大值为，的最小值是到平面的距离，设在平面的射影为,则为正三角形的中心，的最小值为，又因为不在三角形的边上，所以的范围是，故选C.12已知如图正方体中，为棱上异于其中点的动点，为棱的中点，设直线为平面与平面的交线，以下关系中正确的是（ ） ABC平面D平面【答案】C【解析】因为在正方体中，且平面，平面，所以平面，因为平面，且平面平面，所以有，而，则与不平行，故选项不正确；若，则，显然与不垂直，矛盾，故选项不正确； 若平面，则平面，显然与正方体的性质矛盾，故不正确；而因为平面，平面，所以有平面，所以选项C正确，.13一个圆锥的母线长为，圆锥的母线与底面的夹角为，则圆锥的内切球的表面积为( )ABCD【答案】B【解析】由题意，作出圆锥截面图，如图所示，因为母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为，所以圆锥底面半径与高均为，设内切球的半径为，则利用圆锥的轴截面，根据等面积法，可得，解得，所以该圆锥内切球的表面积为，故选B.14如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）A2BCD1【答案】A【解析】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为，高，故俯视图是一个腰长为2，顶角为的等腰三角形，易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为2，顶角的范围为，设顶角为，则截面的面积：，当时，面积取得最大值.故选：A.15已知平面平面直线，点、，点、，且、，点、分别是线段、的中点，则下列说法正确的是（ ）A当时，、不可能重合B、可能重合，但此时直线与不可能相交C当直线、相交，且时，可与相交D当直线、异面时，可能与平行【答案】B【解析】选项：当时，若四点共面且时，则两点能重合，可知错误；选项：若可能重合，则，故，此时直线与直线不可能相交，可知正确；选项：当与相交，直线时，直线与平行，可知错误；选项：当与是异面直线时，不可能与平行，可知错误.本题正确选项：16阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意，的长等于其外接球的直径，因为，又平面，所以，.17某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图可知三棱锥的直观图如图：由三视图可知底面三角形是边长为2，顶角的三角形，所以外接圆半径可由正弦定理得；，由侧面为两等腰直角三角形，可确定出外接圆圆心，利用球的几何性质可确定出球心，且球心到底面的距离，所以球半径，故选C.18已知正四面体的棱长为2，为的中点，分别是线段，（含端点）边上的动点，则的最小值为（）ABC2D【答案】B【解析】解：过作垂足为，过作，垂足为，故故选：B19设是正四面体底面的中心，过的动平面与交于与的延长线分别交于则( )A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值，且两者不相等D是一个与平面无关的常数【答案】D【解析】设正三棱锥中,各侧棱两两夹角为, 与面所成角为,则.另一方面,记到各面的距离为,则,即,故有: , 即常数，故选D.20已知正方体的体积为1，点在线段上（点异于、两点），点为线段的中点，若平面截正方体所得的截面为五边形，则线段的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】正方体的体积为1，所以正方体的棱长为1，点在线段上（点异于两点），当点为线段的中点时，共面，截面为四边形，如图，即，不合题意，排除选项;当时，截面为五边形，如图，符合题意，即平面截正方体所得的截面为五边形，线段的取值范围为故选B21给出下列四个命题：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面其中真命题的序号为_【答案】【解析】命题是线面平行的判定定理，正确；命题因为垂直同一平面的两条直线平行，所以空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；命题平面内无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；命题因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确.因此，答案为22 “圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何”用现在的数学语言表述是：“如图所示，一圆柱形埋在墙壁中，尺，为的中点，寸，则圆柱底面的直径长是_寸”（注：l尺=10寸）【答案】26【解析】解：， 寸， 寸，在中， ， 寸， 圆柱底面的直径长是寸故答案为：2623表面积为的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_【答案】【解析】如图所示，将正四面体补形成一个正方体，表面积为的正四面体，正四面体棱长为，解得，正方体的棱长是，又球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，球的体积为故答案为：24已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为_【答案】【解析】依