高中数学导数及其应用1.7定积分的简单应用学案新人教A版.docx

1.7定积分的简单应用学习目标1.会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积.2.能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值知识点一定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可梳理(1)当xa，b时，若f(x)0，由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积Sf(x)dx.(2)当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb (ab)和曲线yf(x)，yg(x)所围成的平面图形的面积Sf(x)g(x)dx.(如图)知识点二变速直线运动的路程思考变速直线运动的路程和位移相同吗？答案不同路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念梳理(1)当v(t)0时，求某一时间段内的路程和位移均用dt求解(2)当v(t)0时，求某一时间段内的位移用dt求解，这一时段的路程是位移的相反数，即路程为dt.做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0)在时间区间a，b上的定积分，即sv(t)dt.知识点三变力做功问题思考恒力F沿与F相同的方向移动了s，力F做的功为WFs，那么变力做功问题怎样解决？答案与求曲边梯形的面积一样，物体在变力F(x)作用下运动，沿与F相同的方向从xa到xb(ab)，可以利用定积分得到WF(x)dx.梳理如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb(a0，则运动物体的路程为sv(t)dt；若v(t)0，则运动物体的路程为s|v(t)|dtv(t)dt；注意路程与位移的区别(2)求变力做功的方法步骤首先要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移；利用变力做功的公式WF(x)dx计算；注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳跟踪训练3一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比若20 N的力能使弹簧伸长3 cm，则把弹簧从平衡位置拉长13 cm(在弹性限度内)时所做的功W为()A. J B5 JC. J D6 J考点利用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案A解析设拉伸弹簧所用的力为F N，弹簧伸长的长度为x m，则Fkx.由题意知200.03k，得k，所以Fx.由变力做功公式，得Wxdx(J)，故把弹簧从平衡位置拉长13 cm时所做的功为 J.1由曲线yx2与直线y2x所围成的平面图形的面积为()A. B.C. D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案A解析如图，画出曲线yx2和直线y2x的图象，则所求面积S为图中阴影部分的面积解方程组得所以A(2,4)，O(0,0)所以S2xdxx2dxx24.2一物体在力F(x)3x22x5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x5 m运动到x10 m，则F(x)做的功为()A925 J B850 JC825 J D800 J考点利用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案C解析依题意F(x)做的功是WF(x)dx(3x22x5)dx(x3x25x)|825(J)3由曲线y与直线x1，x2，y1所围成的封闭图形的面积为_考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案1ln 2解析因为函数y在1,2上的积分为S2dxln x|ln 2，所以围成的封闭图形的面积S1等于四边形ABCD的面积减去S2的面积，即S11ln 2.4一辆汽车的速度时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为_ m.考点利用定积分求路程问题题点利用定积分求路程问题答案900解析由速度时间曲线得v(t)所以汽车在1分钟内行驶的路程为3tdt150750900 m.5求由抛物线yx21，直线x2，y0所围成的图形的面积考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解解作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积由x210，得抛物线与x轴的交点坐标是(1,0)和(1,0)，因此所求图形的面积为S|x21|dx(x21)dx(1x2)dx(x21)dx.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标；(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的一、选择题1.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()Af(x)dxB|f(x)dx|Cf(x)dxf(x)dxDf(x)dxf(x)dx考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案D解析xa，b时，f(x)0，阴影部分的面积Sf(x)dxf(x)dx.2一物体以速度v(3t22t)m/s做直线运动，则它在t0 s到t3 s时间段内的位移是()A31 m B36 mC38 m D40 m考点利用定积分求路程问题题点利用定积分求路程问题答案B解析S(3t22t)dt(t3t2)|333236(m)，故选B.3一物体在力F(x)4x1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x1运动到x3处(单位：m)，则力F(x)所做的功为()A8 J B10 J C12 J D14 J考点利用定积分求变力做功问题题点定积分在弹力做功中的应用答案D解析由变力做功公式有W(4x1)dx(2x2x)|14(J)，故选D.4由直线x0，x，y0与曲线y2sin x所围成的图形的面积等于()A3 B. C1 D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案A解析直线x0，x，y0与曲线y2sin x所围成的图形如图所示，其面积为S2cos x2cos (2cos 0)123，故选A.5由yx2，yx2及x1围成的图形的面积S等于()A. B.C. D1考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案C解析yx2，yx2，x1所围成的图形如图所示，Sx2dxx2dxx2dx.6由直线yx，曲线yx3围成的封闭图形的面积为()A. B.C. D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案C解析由直线yx，曲线yx3围成的封闭图形如图，所以由直线yx，曲线yx3围成的封闭图形的面积为2(xx3)dx，故选C.7由曲线y与直线y2x1及x轴所围成的封闭图形的面积为()A. B.C. D.考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案D解析联立曲线y与直线y2x1，构成方程组解得联立直线y2x1，y0构成方程组，解得曲线y与直线y2x1及x轴所围成的封闭图形的面积为Sdx.二、填空题8一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是_考点利用定积分求路程问题题点利用定积分求路程问题答案425ln 5解析由v(t)73t0，可得t4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，此期间行驶的距离为v(t)dtdt425ln 5.9由曲线yex，yex及x1所围成的图形的面积为_考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案e2解析如图，所围成的图形的面积为(exex)dx(exex)|ee12e2.10.如图，已知点A，点P(x0，y0)(x00)在曲线yx2上，若阴影部分的面积与OAP的面积相等，则x0_.考点导数与积分几何意义的应用题点导数与积分几何定义的应用答案解析由题意知x0即x0x，解得x0或x0或x00.x00，x0.11若两曲线yx2与ycx3(c0)围成图形的面积是，则c_.考点利用定积分求曲线所围成图形的面积题点已知曲线所围成图形的面积求参数答案解析由得x0或x.当0xcx3，S.c3，c.三、解答题12求由抛物线y28x(y0)与直线xy60及y0所围成图形的面积考点利用定积分求曲线所围成图形的面积题点需分割的图形的面积求解解如图所示，由得所以抛物线y28x(y0)与直线xy60的交点坐标为(2,4)方法一(选y为积分变量)Sdy24864.方法二(选x为积分变量)S()dx(6x)dx.13.已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与直线y0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点已知曲线所围成图形的面积求参数解由题图知方程f(x)0有两个实根，其中有一个实根为0，于是b0，所以f(x)x2(xa)有0(x3ax2)dx，所以a3.又a0，即a0，所以a3.四、探究与拓展14.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点不需分割的图形的面积求解答案解析S阴2(eex)dx2(exex)|2，S正方形e2，P.15.已知S1为直线x0，y4t2及y4x2所围成图形的面积，S2为直线x2，y4t2及曲线y4x2所围成图形的面积(t为常数