实数指数幂及其运算完整版本

同底数幂相乘 底数不变 指数 即 同底数幂相除 底数不变 指数 即 幂的乘方 底数不变 指数 即 积的乘方 等于各因式幂的积 即 1 幂的概念 2 幂的运算法则 相加 相减 相乘 思考 在运算法则 中 若去掉m n会怎样 整数指数 规定 将正整数指数幂推广到整数指数幂 m n m n 练习 22 4 2 2 4 分数指数 探求n次方根的概念 回顾初中知识 根式是如何定义的 有那些规定 如果一个数的平方等于a 则这个数叫做a的平方根 如果一个数的立方等于a 则这个数叫做a的立方根 2 2叫4的平方根 2叫8的立方根 2叫 8的立方根 23 8 2 3 8 24 16 2 4 16 2 2叫16的4次方根 2叫32的5次方根 2叫a的n次方根 x叫a的n次方根 xn a 2n a 25 32 归纳总结 通过类比方法 可得n次方根的定义 1 方根的定义如果xn a 那么x叫做a的n次方根 其中n 1 且n N 24 16 2 4 16 16的4次方根是 2 2 5 32 32的5次方根是 2 2是128的7次方根 27 128 即如果一个数的n次方等于a n 1 且n N 那么这个数叫做a的n次方根 概念理解 1 试根据n次方根的定义分别求出下列各数的n次方根 1 25的平方根是 2 27的三次方根是 3 32的五次方根是 4 16的四次方根是 5 a6的三次方根是 6 0的七次方根是 点评 求一个数a的n次方根就是求出哪个数的n次方等于a 5 3 2 2 0 a2 23 8 2 3 8 2 5 3227 128 8的3次方根是2 8的3次方根是 2 32的5次方根是 2 128的7次方根是2 奇次方根 1 正数的奇次方根是一个正数 2 负数的奇次方根是一个负数 n次方根的性质 72 49 7 2 4934 81 3 4 81 49的2次方根是7 7 81的4次方根是3 3 偶次方根 2 负数的偶次方根没有意义 1 正数的偶次方根有两个且互为相反数 26 64 2 6 64 64的6次方根是2 2 正数的奇次方根是正数 负数的奇次方根是负数 零的奇次方根是零 n次方根的性质 1 奇次方根有以下性质 2 偶次方根有以下性质 正数的偶次方根有两个且是相反数 负数没有偶次方根 零的偶次方根是零 根指数 根式 根式的概念 被开方数 由xn a可知 x叫做a的n次方根 9 8 归纳总结1 当n是奇数时 对任意a R都有意义 它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根 当n是偶数时 只有当a 0有意义 当a 0时无意义 表示a在实数范围内的一个 n次方根 另一个是 归纳总结2 式子对任意a R都有意义 结论 an开奇次方根 则有 结论 an开偶次方根 则有 公式1 n次方根的运算性质 适用范围 当n为大于1的奇数时 a R 当n为大于1的偶数时 a 0 公式2 适用范围 n为大于1的奇数 a R 公式3 适用范围 n为大于1的偶数 a R 8 10 例1 求下列各式的值 数学运用 1 下列各式中 不正确的序号是 练一练 解 练一练 2 求下列各式的值 我们给出正数的正分数指数幂的定义 a 0 m n N 且n 1 注意 底数a 0这个条件不可少 若无此条件会引起混乱 例如 1 1 3和 1 2 6应当具有同样的意义 但由分数指数幂的意义可得出不同的结果 1 1 这就说明分数指数幂在底数小于0时无意义 用语言叙述 正数的次幂 m n N 且n 1 等于这个正数的m次幂的n次算术根 分数指数 负分数指数幂的意义 回忆负整数指数幂的意义 a n a 0 n N 正数的负分数指数幂的意义和正数的负整数指数幂的意义相仿 就是 a 0 m n N 且n 1 规定 0的正分数指数幂等于0 0的负分数指数幂没有意义 注意 负分数指数幂在有意义的情况下 总表示正数 而不是负数 负号只是出现在指数上 有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后 指数的概念就从整数指数推广到有理数指数 上述关于整数指数幂的运算性质 对于有理指数幂也同样适用 即对任意有理数r s 均有下面的性质 ar as ar s a 0 r s Q ar s ars a 0 r s Q ab r arbr a 0 b 0 r Q 说明 若a 0 p是一个无理数 则ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性质 对于无理数指数幂都适用 即当指数的范围扩大到实数集R后 幂的运算性质仍然是下述的3条 练习 思考1 上面 我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数 并且整数幂的运算性质对于有理指数幂都适用 那么 当指数是无理数时呢 无理指数幂 例1 求值 解 数学运用 例2 如果化简代数式 解 解之 得 所以