函数的单调性ppt课件

1 3 1函数的单调性 观察下图中的函数图象 你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗 实例引入 问题 随x的增大 y的值有什么变化 能否看出函数的最大 最小值 函数图象是否具有某种对称性 画出下列函数的图象 观察其变化规律 问题 1 f x x 从左至右图象上升还是下降 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 实例引入 上升 增大 画出下列函数的图象 观察其变化规律 问题 2 f x x2 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 在区间 上 随着x的增大 f x 的值随着 实例引入 减小 0 增大 0 从上面的观察分析 能得出什么结论 函数的单调性 问题 从上面的观察分析可以看出 不同的函数 其图象的变化趋势不同 同一函数在不同区间上变化趋势也不同 函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映 这就是我们所要研究的函数的一个重要性质 函数的单调性 以二次函数f x x2为例 列出x y的对应值表 函数的单调性 问题 对比函数f x x2的图象和列出的x y的对应值表格 你能发现什么 函数的单调性 问题 图象在y轴左侧 下降 也就是 在区间 0 上 随着x的增大 相应的f x 反而减小 函数的单调性 问题 图象在y轴右侧 上升 也就是 在区间 0 上 随着x的增大 相应的f x 也随着增大 如何利用函数解析式f x x2描述 随着x的增大 相应的f x 随着减小 随着x的增大 相应的f x 也随着增大 函数的单调性 思考 对于二次函数f x x2 我们可以这样来描述 在区间 0 上 随着x的增大 相应的f x 也随着增大 在区间 0 上 任取两个 得到 当 时 有 这时 就说函数f x x2在区间 0 上是增函数 函数的单调性 你能仿照这样的描述 说明函数f x x2在区间 0 上是减函数吗 对于二次函数f x x2 我们可以这样来描述 在区间 0 上 随着x的增大 相应的f x 反而减小 在区间 0 上 任取两个 得到 当 时 有 这时 就说函数f x x2在区间 0 上是减函数 函数的单调性 一般地 设函数f x 的定义域为I 函数的单调性 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当时 都有 那么就说函数在区间D上是增函数 increasingfunction 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当时 都有 那么就说函数在区间D上是减函数 decreasingfunction 函数的单调性 如果函数y f x 在区间D上是增函数或减函数 那么就说函数在这个区间上具有 严格 单调性 区间D叫做y f x 的单调区间 函数的单调性 在单调区间上增函数的图象是上升的 减函数的图象是下降的 15 1 在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性 即必须是f x1 f x2 而不能是f x1 f x2 或f x1 f x2 注意 对函数单调性的理解 2 函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的 是局部概念 3 学习函数的单调性 要注意定义中条件和结论是双向使用的 16 4 函数的单调性是函数在某个区间上的整体性质 这个区间可以是整个定义域 这个区间也可以是定义域的真子集 5 单调性讨论必须在一个区间上 6 区间端点的写法 对于单独的一点 它的函数值是唯一确定的常数 没有增减变化 所以不存在单调性问题 因此写单调区间是包括端点也可以不包括也可以 但对于某些点无意义时单调区间就不包括这些点 如y y 1 x 17 7 并不是所有函数都具有单调性 有的函数不具有单调性 如y 2 y x x 0 1 2 8 函数单调性定义中的 必须满足任意性 不可以随意取两个特殊值 函数单调性的几何意义 单调增函数 在定义区间上图像从左到右上升单调减区间 在定义区间上图像从左到右下降 18 2 如果对于区间 a b 上的任意x有f x f a 则函数f x 在区间 a b 上是增函数 想一想 判断下列说法是否正确 1 如果对于区间 a b 上存在 使得则函数f x 在区间 a b 上是增函数 3 函数f x 在区间 a b 上有无数个自变量x 使得当时 有则函数f x 在区间 a b 上是增函数 4 若f x 是R上的增函数 且 则 错误 错误 错误 正确 19 三 单调区间的求法 1 直观法 对于我们熟悉的函数 如一次函数 二次函数 反比例函数等 可直观判断它们的单调性 写出其单调区间 2 图像法 能作出图像的函数我们可通过观察法确定函数的单调区间 3 定义法 有些函数不能作出图像 也不能观察出单调区间 只有用定义法来求其单调区间 对于抽象函数单调性判断的方法 20 21 例1 下图是定义在闭区间 5 5 上的函数y x 的图象 根据图象说出函数的的单调区间 以及在每一单调区间上 它是增函数还是减函数 解 y f x 的单调区间有 5 2 2 1 1 3 3 5 其中y f x 在 5 2 1 3 上 是减函数 在 2 1 3 5 上是增函数 依据函数图象给出单调区间 23 例2 物理学中的玻意耳定律 k为正常数 告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数的单调性证明之 不能作函数图像用定义法求解函数单调性及单调区间 典型例题 分析 按题意 只要证明函数在区间 0 上是减函数即可 例2 物理学中的玻意耳定律 k为正常数 告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数的单调性证明之 典型例题 证明 根据单调性的定义 设V1 V2是定义域 0 上的任意两个实数 且V1 V2 则 例2 物理学中的玻意耳定律 k为正常数 告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数的单调性证明之 由V1 V2 0 得V1V2 0 由V10 又k 0 于是 即 所以 函数是减函数 也就是说 当体积V减小时 压强p将增大 27 2