八地理系统要素关系的主成分分析新PPT课件

第八章地理系统要素关系的主成分分析 主成分分析概述主成分分析基本原理矩阵的特征值与特征向量主成分分析的解法主成分分析应用实例 1主成分分析概述 一 问题的引出 什么是主成分分析 例1 我们知道生产服装有很多指标 比如袖长 肩宽 身高等十几个指标 服装厂生产时 不可能按照这么多指标来做 怎么办 一般情况 生产者考虑几个综合的指标 象标准体形 特形等 例2 企业经济效益的评价 它涉及到很多指标 例百元固定资产原值实现产值 百元固定资产原值实现利税 百元资金实现利税 百元工业总产值实现利税 百元销售收入实现利税 每吨标准煤实现工业产值 每千瓦时电力实现工业产值 全员劳动生产率 百元流动资金实现产值等 我们要找出综合指标 来评价企业的效益 1主成分分析概述 一 问题的引出 什么是主成分分析 例3 小学各科成绩的评估可以用下面的综合成绩来体现 a1 語文 a2 数学 a3 自然 a4 社会科学确定权重系数的过程就可以看作是主成分分析的过程 得到的加权成绩总和就相对于新的综合变量 主成分 地理系统是多要素的复杂系统 在地理学研究中 多变量问题是经常会遇到的 变量太多 无疑会增加分析问题的难度与复杂性 而且在许多实际问题中 多个变量之间是具有一定的相关关系的 因此 人们会很自然地想到 能否在相关分析的基础上 用较少的新变量代替原来较多的旧变量 而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息 1主成分分析概述 一 问题的引出 什么是主成分分析 1主成分分析概述 一 问题的引出 什么是主成分分析 推而广之 当某一问题需要同时考虑好几个因素时 我们并不对这些因素个别处理而是将它们综合起来处理 这就是主成分分析 这样综合处理的原则是使新的综合变量能够解释大部分原始数据方差 1主成分分析概述 二 概念 主成分分析 是把原来多个指标化为少数几个综合指标的一种统计方法 从数学角度来看 这是一种降维处理技术 是一种常用的基于变量协方差矩阵对信息进行处理 压缩和抽提的有效方法 压缩 压缩变量个数 将原来较多的一组变量 指标 变换成另外一组较少分量的变量 降维 把具有许多变量的高维空间通过数学方法变换成较低维的空间 1主成分分析概述 三 主成分分析的目的 一 主成分分析的原理假设n个地理区域 p个指标 则有np个观测数据用较少的综合指标代表原来较多的指标能尽量多的反映原有信息 彼此之间独立 选取原则 原指标的线性组合 2主成分分析的基本原理 二 主成分分析的数学模型 原始数据矩阵 2主成分分析的基本原理 二 主成分分析的数学模型 变换后坐标的性质 2主成分分析的基本原理 n个点的坐标Z1 Z2的相关几乎为0 二维平面上n个点的波动大部分可归结为Z1轴上的波动 而Z2轴上的波动较小 二 主成分分析的数学模型 则称z1 z2是原指标x1 x2的主成分 若长轴方向反映整个信息的75 则z1就是x1和x2的综合指标 式中 l11 l12为x1和x2对Z1这个综合指标的权值 或变量x1和x2的回归系数 2主成分分析的基本原理 二 主成分分析的数学模型 则有 长轴为第一主成分z1 短轴为第二主成分z2数据点对于原指标和对主成分的值分别为 2主成分分析的基本原理 二 主成分分析的数学模型 若有p个指标x1 x2 xp 综合成m个指标z1 z2 zm m p 可表示为 2主成分分析的基本原理 二 主成分分析的数学模型系数lij的决定原则 zi与zj i j i j 1 2 m 互相无关 z1是x1 x2 xp的一切线性组合中方差最大的 z2是与z1不相关的x1 x2 xp的所有线性组合中方差最大的 zm是与z1 z2 zm 1都不相关的x1 x2 xp的所有线性组合中方差最大的 z1 z2 zm分别称为原指标的第一 第二 第m主成分 2主成分分析的基本原理 二 主成分分析的数学模型 从几何上看 找主成分的问题就是找出p维空间中椭球体的主轴问题 从数学上 就是在x1 x2 xp的相关矩阵中m个较大特征值所对应的特征向量 2主成分分析的基本原理 一 矩阵的特征值 定义 设A为n阶矩阵 是一个数 如果方程Ax x 1 存在非零解向量 则称 为A的一个特征值 相应的非零解向量x称为与特征值 对应的特征向量 将 1 式改写为 补 矩阵的特征值与特征向量 一 矩阵的特征值 对应的n元齐次线性方程组 存在非零解的充要条件为 补 矩阵的特征值与特征向量 一 矩阵的特征值 I A为A的特征矩阵 I A 为 的n次多项式 称为A的特征多项式 I A 0称为A的特征方程 补 矩阵的特征值与特征向量 例 求矩阵A的特征值与特征向量 特征方程为 化简得 故 1 4 2 2是A的两个特征值 补 矩阵的特征值与特征向量 例 求矩阵A的特征值与特征向量 1 1 4 2 2 2 得基础解系 得基础解系 补 矩阵的特征值与特征向量 基础解系若 1 2 s是齐次线性方程组解空间的一个极大无关组 则称 1 2 s是该方程组的一个基础解系 即它满足 1 1 2 s线性无关 1 2 s均是方程组的解 2 方程组的任一解都可表示为 1 2 s的线性组合 二 特征值与特征向量的基本性质 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值 n阶矩阵A互不相同的特征值 1 2 m对应的特征向量x1 x2 xm线性无关 补 矩阵的特征值与特征向量 补 随机变量的数字特征 1 均值 离散随机变量X可能取的值是x1 x2 xn 设p X xk pk k 1 2 则称 对于连续型变量X 设概率密度为p x 则称 为X的均值 均值也叫数学期望 为X的均值 补 随机变量的数字特征 2 方差 方差 称为标准差或均方差 记作 如果随机变量X的数学期望EX存在 称X EX为随机变量X的离差 补 随机变量的数字特征 2 方差 若X是连续型变量 则 若X是离散型变量 则 补 随机变量的数字特征 3 协方差和相关系数 设X和Y是两个随机变量 则 叫做X Y的协方差 记作 相关系数 3主成分分析的解法 计算方差及协方差 得方差 协方差矩阵 3主成分分析的解法 p阶方阵的特征向量给出椭球主轴的方向 对应的特征值表示主轴的长度 主成分分析的实质就是求出方差 协方差矩阵的特征值及其对应的特征向量 第一主成分 特征向量为 第二主成分 特征向量为 37 9 II 6 5 3主成分分析的解法 变量x1的方差 20 3 变量x2的方差 24 1 54 46 86 14 20 3 24 1 44 4 37 9 6 5 由方差 协方差确定的椭圆 3主成分分析的解法 3主成分分析的解法 主成分z1 z2的表达式 主成分得分 P149 3主成分分析的解法 主成分分析的步骤 1 原始数据的标准化处理 其中 3主成分分析的解法 2 计算相关系数矩阵R 3 计算特征值和特征向量 对应于 k的特征向量 主成分分析的步骤 3主成分分析的解法 主成分分析的步骤 4 计算第k个特征值的贡献率和累计贡献率 一般取累计贡献率达85 95 的特征值对应的主成分即可 3主成分分析的解法 主成分分析的步骤 5 计算主成分载荷 6 计算主成分得分 表8 1某农业生态经济系统各区域单元的有关数据 4主成分分析应用实例 下面 我们根据表8 1给出的数据 对某农业生态经济系统做主成分分析 表8 2相关系数矩阵 步骤如下 1 将表中的数据作标准差标准化处理 然后将它们代入公式 计算相关系数矩阵 如表8 2所示 2 由相关系数矩阵计算特征值 以及各个主成分的贡献率与累计贡献率 表8 3 由表8 3可知 第1 第2 第3主成分的累计贡献率已高达86 596 大于85 故只需要求出第1 第2 第3主成分z1 z2 z3即可 表8 3特征值及主成分贡献率 3 对于特征值 4 6610 2 0890 1 0430分别求出其特征向量e1 e2 e3 再用公式计算各变量x1 x2 x9在主成分z1 z2 z3上的载荷 表8 4 表8 4主成分载荷 上述计算过程 可以借助于SPSS系统实现 分析 1 第1主成分z1与x1 x5 x6 x7 x9呈现出较强的正相关 与x3呈现出较强的负相关 而这几个变量则综合反映了生态经济结构状况 因此可以认为第1主成分z1是生态经济结构的代表 2 第2主成分z2与x2 x4 x5呈现出较强的正相关 与x1呈现出较强的负相关 其中 除了x1为人口总数外 x2 x4 x5都反映了人均占有资源量的情况 因此可以认为第2主成分z2代表了人均资源量 3 第3主成分z3与x8呈现出的正相关程度最高 其次是x