2.2高等数学矩阵的运算ppt课件

2 2矩阵的运算 一 矩阵的加法 定义 设两个同型的m n矩阵A aij 与B bij 那末矩阵A与B的和定义为 aij bij 记作A B 即 例如 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 矩阵加法的运算规律 1 交换律 A B B A 2 结合律 A B C A B C 3 称为矩阵A的负矩阵 4 A A O A B A B 二 数与矩阵相乘 定义 数 与矩阵A aij 的乘积定义为 aij 记作 A或A 简称为数乘 即 设A B为同型的m n矩阵 为数 1 A A 2 A A A 3 A B A B 数乘矩阵的运算规律 矩阵的加法与数乘运算 统称为矩阵的线性运算 定义 设A aij 是一个m s矩阵 B bij 是一个s n矩阵 定义矩阵A与矩阵B的乘积C cij 是一个m n矩阵 其中 三 矩阵与矩阵相乘 i 1 2 m j 1 2 n 并把此乘积记作C AB 例1 例2 例3 求AB 其中 注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 矩阵乘法的运算规律 1 结合律 AB C A BC 2 分配律 A B C AB AC B C A BA CA 3 AB A B A B 其中 为数 4 Am nEn EmAm n A 并且满足幂运算律 AkAm Ak m Am k Amk 其中k m为正整数 注意 矩阵乘法不满足交换律 即 AB AB 5 若A是n阶方阵 则Ak为A的k次幂 即 例如 设 则 AB k AkBk 因此 故 AB BA 例4 计算下列矩阵乘积 1 2 解 1 解 2 a11x1 a21x2 a31x3 a12x1 a22x2 a32x3 a13x1 a23x2 a33x3 当矩阵为对称矩阵时 结果为 a11x1 a21x2 a31x3 x1 a12x1 a22x2 a32x3 x2 a13x1 a23x2 a33x3 x3 解 例5 由此归纳出 用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设 当k n时结论成立 对k n 1时 所以对于任意的k都有 四 矩阵的其它运算 定义 把矩阵A的行列互换 所得到的新矩阵 叫做矩阵A的转置矩阵 记作AT 例如 转置矩阵 1 AT T A 2 A B T AT BT 3 A T AT 4 AB T BTAT 转置矩阵的运算性质 解法1 因为 所以 解法2 AB T BTAT 由矩阵转置和对称矩阵的定义可得 方阵A为对称矩阵的充分必要条件是 A AT 方阵A为反对称矩阵的充分必要条件是 A AT 证明 因为 例7 设列矩阵X x1x2 xn T 满足XTX 1 E为n阶单位矩阵 H E 2XXT 证明 H为对称矩阵 且HHT E HT E 2XXT T ET 2 XXT T E 2XXT H 所以 H为对称矩阵 HHT H2 E 2XXT 2 E2 E 2XXT 2XXT E 2XXT 2XXT E 4XXT 4 XXT XXT E 4XXT 4X XTX XT E 4XXT 4XXT E 例7 证明任一n阶方阵A都可表示成对称阵与反对称阵之和 证明 设C A AT 所以 C为对称矩阵 从而 命题得证 则CT A AT T AT A C 设B A AT 则BT A AT T AT A B 所以 B为反对称矩阵 2 方阵的行列式 定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式叫做方阵A的行列式 记作 A 或detA 例如 则 方阵行列式的运算性质 1 AT A 2 A n A 3 AB A B B A BA 定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij所构成的如下矩阵 3 伴随矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵 性质 AA A A A E 证明 设A aij AA bij 则 故 同理可得 AA A ij A ij A E A ij A ij A E A A 4 共轭矩阵 定义 当A aij 为复矩阵时 用表示aij的共轭复数 记 称为A的共轭矩阵 运算性质 设A B为复矩阵 为复数 且运算都是可行的 则 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 五 小结 1 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 2 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 且矩阵相乘不满足交换律 3 矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同 注意 思考题 思考题