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文档简介

1 1数列的极限 1 2函数的极限 第一讲极限与连续 1 3无穷小量与无穷大量 1 4函数的连续性 1 1数列的极限 一 数列极限的定义 二 几个常用的数列极限 三 数列极限的四则运算法则 四 典例精析 例1 求极限 解析 例2 已知 求实数a b的值 解析 1 2函数的极限 一 函数极限的定义 3 左极限与右极限 二 极限的四则运算法则 注意 上面的极限中省略了自变量的变化趋势 下同 三 两个重要极限 解析 1 3无穷小量与无穷大量 一 无穷小量与无穷大量的定义 定义1极限为零的量称为无穷小量 简称无穷小 推论常数与无穷小量之积为无穷小量 二 无穷小的性质 性质1有限个无穷小的代数和仍然是无穷小 性质2有限个无穷小之积仍然是无穷小 性质3有界函数与无穷小的乘积是无穷小 三 无穷小量的阶 常用等价无穷小 例 求极限 四 无穷小与无穷大的关系 1 4函数的连续性 一 连续的定义 结论 二 间断点 跳跃间断点 例1 解 2 函数间断点的几种常见类型 1 第一类间断点 左右极限都存在的点 可去间断点 例2 解 说明 可去间断点只要改变 原来有定义时 或者补充 原来无定义时 间断点处函数的定义 则可使其变为连续点 故称其为可去间断点 如例5中 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 特点 可去型 左右极限存在且相等 跳跃型 左右极限存在但不相等 2 第二类间断点 例3 解 特点 这种情况称为无穷间断点 例4 解 这种情况称为振荡间断点 特点 振荡而不存在 但均不为 称之 解析 利用 若函数在点处连续 则函数在点处既右连续又左连续 三 初等函数的连续性 1 初等函数的连续性 由基本初等函数的连续性 连续的四则运算法则以及复合函数的连续性可知 结论 1 求初等函数的连续区间就是求其定义区间 2 关于分段函数的连续性 除按上述结论考虑每一段函数的连续性外 还必须讨论分段点处的连续性 定理3初等函数在其定义域内是连续的 2 利用函数的连续性求极限 3 闭区间上连续函数的性质 小结 若函数在开区间内连续 或函数在闭区间上有间断点 则它在该区间上未必能取得最大值和最小值 如图3 3 2所示 图3 3 2 此
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