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WORD格式整理与轴对称相关的最值问题【典型题型一】：如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。【典型题型二】如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。【练习】1、(温州中考题)如图（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，BAD=1200,点P在BD上，则PE+PC的最小值是（ ）解：如图（6），因为菱形是轴对称图形，所以BC中点E关于对角线BD的对称点E一定落在AB的中点E1，只要连结CE1，CE1即为PC+PE的最小值。这时三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a 。所以选（D）。2、如图（13），一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋B西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是（ ）（A） 4+英里 （B） 16英里 （C） 17英里 （D） 18英里3如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.请问点C满足什么条件时，ACCE的值最小?4如图，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则ECED的最小值为_。即是在直线AB上作一点E，使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C，连接DC交AB于点E，则线段DC的长就是EC+ED的最小值。在直角DBC中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC=5如图，等腰RtABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 即在AC上作一点P，使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B，连接BE，交AC于点P，则BE = PB+PE = PB+PEBE的长就是PB+PE的最小值在直角BEF中，EF = 1，BF = 3根据勾股定理，BE = 6如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（）A2B2C3D即在AC上求一点P，使PE+PD的值最小点D关于直线AC的对称点是点B，连接BE交AC于点P，则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值BE = AB = 27如图，若四边形ABCD是矩形， AB = 10cm，BC = 20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PD的最小值；作点C关于BD的对称点C，过点C，作CBBC，交BD于点P，则CE就是PE+PC的最小值直角BCD中，CH = 错误！未定义书签。直角BCH中，BH = 8BCC的面积为：BHCH = 160所以 CEBC = 2160 则CE = 168如图，若四边形ABCD是菱形， AB=10cm，ABC=45，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；点C关于BD的对称点是点A，过点A作AEBC，交BD于点P，则AE就是PE+PC的最小值在等腰EAB中，求得AE的长为59如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为( )A 2 BC 1 D 2即在MN上求一点P，使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点A，连接AB，交MN于点P，则点P就是所要作的点AB的长就是PA+PB的最小值连接OA、OB，则OAB是等腰直角三角形所以 AB = 10如图，一次函数 y = 与反比例函数y = 交于点A，AMx轴于点M，SOAM = 1 (1)求k的值，(2)点B为双曲线y=上不与A重合的一点，且B(1，n)，在x轴上求一点P，使PA+PB最小(1)由SOAM = 1知，k = 2(2)作点A关于x轴的对称点A，连接AB，交x轴于点P，连接PA，则PA+PB最小。用待定系数法求直线AB的解析式为y = - 3x + 5，因为点P在x轴上，所以设 y = 0，即0 = - 3x + 5，解得 x = 所以P( ，0)11如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（2，5）关于直线l的对称点B、C的位置，并写出他们的坐标：B 、C ；（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P的坐标为 （不必证明）；（3）已知两点D（1，3）、E（1，4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标(1)点B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B(3，5)、C(5，-2)(2)坐标平面内任一点P(a，b)关于直线l的对称点P的坐标为(b，a)(3)作点E关于直线l的对称点E，连接DE，交直线l于点Q则QE+QD的值最小设直线DE的解析式为：y = kx+b，因为D(1，-3)、E(-4,-1)，则-3 = k+b-1 = -4k+b解得：k = - ，b = - 所以 y = - x - 当x = y时，有x = y = - 则Q点的坐标为(- ，- )【典型题型三】：如图，点P是MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使PAB的周长最小12、如图（9），AOB=450，角内有一点P，PO=10，在角两边上有两点Q、R（均不同于点O），则PQR的周长最小值是_。当PQR周长最小时，QPR的度数=_。（答案：900）【典型题型四】求线段差的最大值：如图所示，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PAPB最大，并说明理由。 13.如图，两点A，B在直线MN的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=6，CD=4，P在直线MN上运动，则 的最大值为( c )A.B.C.D.14.如图，已知两点A，B在直线l的异侧，A到直线l的距离AC=6，B到直线l的距离BD=2，CD=3，点P在直线l上运动，则 的最大值为( d )A.B.3 C.1 D.5 15.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（3，-4），在x轴上有一点P，当 的值最大时，点P的坐标是( b )A. B.（-1，0） C.（0，0） D.（3，0） 16、在直角坐标系中，X轴上的动点M（X，0）到定点P（5，5）和到Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标X=_ _.（你能求出当MP-MQ最大时点M的横坐标X= ？)【典型题型四】17.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB的值最小时，点P的坐标为( b )A.B.C.（1，0） D.（5，0） 18.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，则当四边形CDEF的周长最小时，点F的坐标为( b )A.B.C.（2，0） D.（3，0） 19.如图，当四边形PABN的周长最小时，a的值为( a )A.B.1 C.2 D.20如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP=( )时，四边形APQE的周长最小21.已知A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建造一座桥MN，使从A到B的路径AM-MN-NB最短，则应按照下列哪种方式来建造（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）( D )A.B.C.D.22如图，村庄A、B位于一条小河的两侧，若河岸a、b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？*逆向思维23如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y = ax2上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线y = ax2，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由(1)直线AP的解析式为：y = - x + 则Q的坐标为（，0）(2)解法一：CQ = |- 2 - | = 则抛物线 y = x2向左移动个单位时，AC+BC最短抛物线的解析式为：y = （x+）2 (2) 抛物线向左或向右平移时，使四边形ABCD的周长最短，因为AB + CD 是定值，只要使AD + BC最短即可当抛物线向右移动时，因为AD AD，BC BC，所以AD + BC AD + BC，则在不存在一个向右的位置，使四边形ABCD的周长最短当抛物线向左移动时，设A(-4-a，8)，B(2-a，2)，因为CD = 2，则将点B向左平移2个单位得到点B(-a，2).点A关于x轴的对称点是A(-4-a，-8)，直线AB的解析式为：y = x + m + 2要使AD + BD最短，点D应在直线AB上将点D(-4，0)的坐标代入到直线AB的解析式，得m = 故将抛物线向左平移时，否存在一个位置，使四边形ABCD的周长最短，抛物线函数解析式为y = (x+)2【典型题型五】如图，直线、相交，两个固定点、，分别在、上确定两点、，使得之和最小。24.如图，点A，B为MON内的两点，分别在OM，ON上作点C，D。使四边形CABD的周长最小。25恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值如图分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点A，B，连接AB，交x轴、y轴于点P、Q，则四边形PABQ的周长最小构造如图在RtABC中，BC = 30+30+40 = 100， AC = 10 +40 =50所以AB = =5026等腰ABC中，A = 20，AB = AC = 20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值分别作点C、B关于AB、AC的对称点C、B，连接CB交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC = BN+MN+MC = BC， BN+MN+MC的最小值就是BC的值BAC = BAC，CAB = CABBAC = 60AC = AC，AB = AB，AC = ABAC = ABABC是等边三角形BC = 20五. 【典型题型六】如图，点A是MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小如图，直线、，点在上，分别在、上确定两点、，使得之和最小。27如图，在锐角ABC中，AB = ，BAC45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_作点B关于AD的对称点B，过点B作BEAB于点E，交AD于点F，则线段BE的长就是BM的最小值在等腰RtAEB中，根据勾股定理得到，BE = 428如图，ABC中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值 作AB关于AC的对称线段AB，过点B作BNAB，垂足为N，交AC于点M，则BN = MB+MN = MB+MNBN的长就是MB+MN的最小值则BAN = 2BAC= 60，AB = AB = 2，ANB= 90，B = 30。所以AN = 1在直角ABN中，根据勾股定理BN = 29如图：在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD是等腰梯形，A、B在X轴上，D在Y轴上，ABCD，AB=5，CD=3，AD=BC= ，抛物线y = - x2 + bx + c过A、B两点。（1）直接写出点A、B、C、D的坐标及抛物线的解析式。（2）设M是第一象限内抛物线上的一个动点，它到x轴与y轴的距离之和为 d ，求 d 的最大值。（3）当（2）中的M点运动到d取最大值时，记此时的点M为点N，设线段AC与y轴交于点E，F为线段EC上一动点，求F点到点与它到y轴的距离之和的最小值。(1) y = - x2 + 3x +4(2)设M(a，-a2+3a+4)，则d = a a2 + 3a + 4 = -(a - 2)2 + 8所以，当a = 2时，d有最大值，且最大值是8，此时M(2，6)(3)作点N关于直线AC的