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对一道竞赛试题的思考杨广亮(高新区枫杨街 郑州外国语学校 河南 郑州 450001）题目 设为锐角三角形，分别是的重心向边，所作垂线的垂足. 证明：（第16届巴尔干地区数学奥林匹克）我们知道，“重心”、“内心”“垂心”是三角形的三个比较特殊的点，在各类竞赛试题中对三心的考查也是屡见不鲜的，这里，笔者通过类比发现，将试题中的“重心”改为“内心”、“垂心”后，仍有类似的面积问题值得我们探究.同时我将给出在同一锐角三角形中，由三心向各边做垂线所形成的垂足三角形面积大小关系.命题1设为任意三角形，分别是的内心向边，所作垂线的垂足. 证明：引理若是区间上的上凸函数，, ,则当且仅当时上式等号成立.图1证明：如图1，设，长分别为，内切圆半径为，则，记， 的面积为.即有，而， 将带入有由三角形和差化积公式和倍角公式化简得又在中， 有， 从而 ，当且仅当时上式等号成立.已知，而在上为上凸函数，由引理知，此处也是当且仅当时上式等号成立.从而上式两处等号同时成立的条件是当且仅当时，即为等边三角形时.命题2设为锐角三角形，为的垂心，分别为，边的垂足. 证明：证明:如图2，为垂足三角形，可证得图2后面求范围过程类似于命题2，可证明，读者可试着证明.面积关系在锐角三角形中，我们把由垂心，内心，重心向三边作垂线形成的垂足三角形依次记为，.则证明：已知下面仅证在中易证 由1知， 又有 从而只需证也即证此即转化为在条件，且，下，求函数的最大值问题.设得方程组易知 令，则，其中，.当时，其中，在上，单调递增；在上，单调递减.从而若 ，则，中至少有两个相等.由知，若只有两个相等，不妨设则 从而，令， ， 则（）当时，知，故，当时，易求得，从而与矛盾.（）当时，知，故，易求得，也与矛盾.从而由（），（）知，必有.也即通过解方程组我们得到唯一一个稳定点，而这个稳定点处的值即是我们所求的最大值，从而到此问题得证，有成立.参考文献1周沛耕 王博程. 数学奥林匹克标准教材M.北京教育出版社文津出版社.P484 2魏大宽. 凸函数的性质及应用J.零陵师专学报.19963曾仪.垂足三角形周长和面积的简证J
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