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专题20 矩形 专题知识回顾 1矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2矩形的性质:(1)矩形的四个角都是直角; (2)矩形的对角线平分且相等。3矩形判定定理:(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)对角线相等的平行四边形是矩形; (3)有三个角是直角的四边形是矩形。4矩形的面积:S矩形=长宽=ab专题典型题考法及解析 【例题1】(2019广西桂林)将矩形按如图所示的方式折叠,为折痕,若顶点,都落在点处,且点,在同一条直线上,同时点,在另一条直线上,则的值为ABCD【答案】B【解析】由折叠可得,分别为,的中点,设,则,中,即,即,的值为【例题2】(2019贵州省安顺市) 如图,在RtABC中,BAC90,AB3,AC4,点D为斜边BC上的一个动点,过D分别作DMAB于点M,作DNAC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为 .BDMNCA【答案】【解析】连接AD,即可证明四边形AMDN是矩形;由矩形AMDN得出MNAD,再由三角形的面积关系求出AD的最小值,即可得出结果连接AD,如图所示:BDMNCADMAB,DNAC,AMDAND90,又BAC90,四边形AMDN是矩形;MNAD,BAC90,AB3,AC4,BC5,当ADBC时,AD最短,此时ABC的面积BCADABAC,AD的最小值,线段MN的最小值为。 专题典型训练题 一、选择题1.(2019广东广州)如图,矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE3,AF5,则AC的长为()A4B4C10D8【答案】A 【解析】连接AE,由线段垂直平分线的性质得出OAOC,AECE,证明AOFCOE得出AFCE5,得出AECE5,BCBE+CE8,由勾股定理求出AB4,再由勾股定理求出AC即可连接AE,如图:EF是AC的垂直平分线,OAOC,AECE,四边形ABCD是矩形,B90,ADBC,OAFOCE,在AOF和COE中,AOFCOE(ASA),AFCE5,AECE5,BCBE+CE3+58,AB4,AC4;故选:A2.(2019贵州省铜仁市)如图为矩形ABCD,一条直线将该矩形分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为a和b,则a+b不可能是()A360B540C630D720【答案】C【解答】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,每一个多边形的内角和都是180的倍数,都能被180整除,分析四个答案,只有630不能被180整除,所以a+b不可能是6303(2019山东泰安)如图,矩形ABCD中,AB4,AD2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是()A2B4CD【答案】D 【解析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2,再根据垂线段最短可得当BPP1P2时,PB取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2,故BP的最小值为BP1的长,由勾股定理求解即可如图:当点F与点C重合时,点P在P1处,CP1DP1,当点F与点E重合时,点P在P2处,EP2DP2,P1P2CE且P1P2CE当点F在EC上除点C、E的位置处时,有DPFP由中位线定理可知:P1PCE且P1PCF点P的运动轨迹是线段P1P2,当BPP1P2时,PB取得最小值矩形ABCD中,AB4,AD2,E为AB的中点,CBE、ADE、BCP1为等腰直角三角形,CP12ADECDECP1B45,DEC90DP2P190DP1P245P2P1B90,即BP1P1P2,BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中,CP1BC2BP12PB的最小值是24.(2019湖北荆州)如图,矩形ABCD的顶点A,B,C分别落在MON的边OM,ON上,若OAOC,要求只用无刻度的直尺作MON的平分线小明的作法如下:连接AC,BD交于点E,作射线OE,则射线OE平分MON有以下几条几何性质:矩形的四个角都是直角,矩形的对角线互相平分,等腰三角形的“三线合一”小明的作法依据是()ABCD【答案】C【解析】四边形ABCD为矩形,AECE,而OAOC,OE为AOC的平分线二、填空题5(2019重庆)如图,在矩形ABCD中,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,图中阴影部分的面积是_(结果保留)【答案】【解析】6.(2019湖南娄底)如图,要使平行四边形 ABCD 是矩形,则应添加的条件是 (添加一个条件即可)【答案】ABC=90或 AC=BD【解析】解:根据矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形,有一个角是直角的平行四边形是矩形;故添加条件:ABC=90或 AC=BD 故答案为:ABC=90或 AC=BD7.(2019黑龙江省龙东地区)如图,矩形ABCD中,AB4,BC6,点P是矩形ABCD内一动点,且SPAB SPCD,则PCPD的最小值是_【答案】.【解析】结合已知条件,根据SPAB SPCD可判断出点P在平行于AB,与AB的距离为2、与CD的距离为4的直线上,再根据“将军饮马问题”的解法解之即可.过点P作直线lAB,作点D关于直线l的对称点D1,连接CD1,矩形ABCD中,AB4,BC6,CD=4,DD1=8,在RtCDD1中,由勾股定理得CD1=,PCPD的最小值是. 8(2019内蒙古通辽)如图,在矩形ABCD中,AD8,对角线AC与BD相交于点O,AEBD,垂足为点E,且AE平分BAC,则AB的长为 【答案】【解答】四边形ABCD是矩形AOCOBODO,AE平分BAOBAEEAO,且AEAE,AEBAEO,ABEAOE(ASA)AOAB,且AOOBAOABBODO,BD2AB,AD2+AB2BD2,64+AB24AB2,AB9.(2019湖北省咸宁市)如图,先有一张矩形纸片ABCD,AB4,BC8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC,交MN于点Q,连接CM下列结论:CQCD;四边形CMPN是菱形;P,A重合时,MN2;PQM的面积S的取值范围是3S5其中正确的是 (把正确结论的序号都填上)【答案】【解析】先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折的性质可得CNNP,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明,判断出正确;假设CQCD,得RtCMQCMD,进而得DCMQCMBCP30,这个不一定成立,判断错误;点P与点A重合时,设BNx,表示出ANNC8x,利用勾股定理列出方程求解得x的值,进而用勾股定理求得MN,判断出正确;当MN过D点时,求得四边形CMPN的最小面积,进而得S的最小值,当P与A重合时,S的值最大,求得最大值便可如图1,PMCN,PMNMNC,MNCPNM,PMNPNM,PMPN,NCNP,PMCN,MPCN,四边形CNPM是平行四边形,CNNP,四边形CNPM是菱形,故正确;CPMN,BCPMCP,MQCD90,CPCP,若CQCD,则RtCMQCMD,DCMQCMBCP30,这个不一定成立,故错误;点P与点A重合时,如图2,设BNx,则ANNC8x,在RtABN中,AB2+BN2AN2,即42+x2(8x)2,解得x3,CN835,AC,MN2QN2故正确;当MN过点D时,如图3,此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为S,当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为S,4S5,故错误故答案为:10.(2019贵州贵阳)如图,在矩形ABCD中,AB4,DCA30,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的运动路径长是 【答案】【解析】E的运动路径是EE的长;AB4,DCA30,BC,当F与A点重合时,在RtADE中,AD,DAE30,ADE60,DE,CDE30,当F与C重合时,EDC60,EDE90,DEE30,在RtDEE中,EE.11(2019山东潍坊)如图,在矩形ABCD中,AD2将A向内翻折,点A落在BC上,记为A,折痕为DE若将B沿EA向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B,则AB【答案】【解析】利用矩形的性质,证明ADEADEADC30,CABD90,推出DBADCA,CDBD,设ABDCx,在RtADE中,通过勾股定理可求出AB的长度四边形ABCD为矩形,ADCCB90,ABDC,由翻折知,AEDAED,ABEABE,ABEBABD90,AEDAED,AEBAEB,BEBE,AEDAEDAEB18060,ADE90AED30,ADE90AEB30,ADEADEADC30,又CABD90,DADA,DBADCA(AAS),DCDB,在RtAED中,ADE30,AD2,AE,设ABDCx,则BEBExAE2+AD2DE2,()2+22(x+x)2,解得,x1(负值舍去),x212.(2019北京市)在矩形ABCD中,M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合)对于任意矩形ABCD,下面四个结论中,存在无数个四边形MNPQ是平行四边形;存在无数个四边形MNPQ是矩形;存在无数个四边形MNPQ是菱形;至少存在一个四边形MNPQ是正方形所有正确结论的序号是_【答案】【解析】如图,O为矩形ABCD对角线的交点, 图中任过点O的两条线段PM,QN,则四边形MNPQ是平行四边形;显然有无数个.本结论正确.图中任过点O的两条相等的线段PM,QN,则四边形MNPQ是矩形;显然有无数个.本结论正确.图中任过点O的两条垂直的线段PM,QN,则四边形MNPQ是菱形;显然有无数个.本结论正确.图中过点O的两条相等且垂直的线段PM,QN,则四边形MNPQ是正方形;显然有一个.本结论错误.故填: .13.(2019辽宁本溪)如图,BD是矩形ABCD的对角线,在BA和BD上分别截取BE,BF,使BE=BF;分别以E,F为圆心,以大于EF的长为半径作弧,两弧在ABD内交于点G,作射线BG交AD于点P,若AP=3,则点P到BD的距离为 .【答案】3.【解析】过点P作PQBD,垂足为Q,根据题意可得BP平分ABD.四边形ABCD为矩形,A=90,PA=PQ.PA=3,PQ=3,故答案为3.14(2019辽宁抚顺)在矩形ABCD中,AB6,AD3,E是AB边上一点,AE2,F是直线CD上一动点,将AEF沿直线EF折叠,点A的对应点为点A,当点E、A、C三点在一条直线上时,DF的长度为 【答案】1或11;【解析】在旋转过程中A有两次和E,C在一条直线上,第一次在EC线段上,第二次在CE线段的延长线上,利用平行的性质证出CFCE,即可求解;如图1:将AEF沿直线EF折叠,点A的对应点为点A,AEFEAF,AEAE,ABCD,AEFCFE,CFCE,AB6,AD3,AE2,CFCE6DF,AE2,BE4,BC3,EC5,6DF5,DF1;如图2:由折叠FEAFEA,ABCD,CFECEF,CFCE,CF5,DF11;故答案为1或11;三、解答题15(2019湖南怀化)已知:如图,在ABCD中,AEBC,CFAD,E,F分别为垂足(1)求证:ABECDF;(2)求证:四边形AECF是矩形【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,BD,ABCD,ADBC,AEBC,CFAD,AEBAECCFDAFC90,在ABE和CDF中,ABECDF(AAS);(2)证明:ADBC,EAFAEB90,EAFAECAFC90,四边形AECF是矩形16(2019湖南郴州)如图1,矩形ABCD中,点E为AB边上的动点(不与A,B重合),把ADE沿DE翻折,点A的对应点为A1,延长EA1交直线DC于点F,再把BEF折叠,使点B的对应点B1落在EF上,折痕EH交直线BC于点H(1)求证:A1DEB1EH;(2)如图2,直线MN是矩形ABCD的对称轴,若点A1恰好落在直线MN上,试判断DEF的形状,并说明理由;(3)如图3,在(2)的条件下,点G为DEF内一点,且DGF150,试探究DG,EG,FG的数量关系【答案】(1)见解析;(2)DEF是等边三角形,理由见解析;(3)DG2+GF2GE2【解析】解:(1)证明:由折叠的性质可知:DAEDA1E90,EBHEB1H90,AEDA1ED,BEHB1EH,DEA1+HEB190又HEB1+EHB190,DEA1EHB1,A1DEB1EH;(2)结论:DEF是等边三角形;理由如下:直线MN是矩形ABCD的对称轴,点A1是EF的中点,即A1EA1F,A1DEA1DF(SAS),DEDF,FDA1EDA1,又ADEA1DE,ADF90ADEEDA1FDA130,EDF60,DEF是等边三角形;(3)DG,EG,FG的数量关系是DG2+GF2GE2,理由如下:由(2)可知DEF是等边三角形;将DGE逆时针旋转60到DGF位置,如解图(1),GFGE,DGDG,GDG60,DGG是等边三角形,GGDG,DGG60,DGF150,GGF90,GG2+GF2GF2,DG2+GF2GE2,17(2019湖南益阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的边AB4,BC6若不改变矩形ABCD的形状和大小,当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时,矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动(1)当OAD30时,求点C的坐标;(2)设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为时,求OA的长;(3)当点A移动到某一位置时,点C到点O的距离有最大值,请直接写出最大值,并求此时cosOAD的值【答案】(1)(2,3+2);(2)OA3;(3)当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8,cosOAD【解析】解:(1)如图1,过点C作CEy轴于点E,矩形ABCD中,CDAD,CDE+ADO90,又OAD+ADO90,CDEOAD30,在RtCED中,CECD2,DE2,在RtOAD中,OAD30,ODAD3,点C的坐标为(2,3+2);(2)M为AD的中点,DM3,SDCM6,又S四边形OMCD,SODM,SOAD9,设OAx、ODy,则x2+y236,xy9,x2+y22xy,即xy,将xy代入x2+y236得x218,解得x3(负值舍去),OA3;(3)OC的最大值为8,如图2,M为AD的中点,OM3,CM5,OCOM+CM8,当O、M、C三点在同一直线时,OC有最大值8,连接OC,则此时OC与AD的交点为M,过点O作ONAD,垂足为N,CDMONM90,CMDOMN,CMDOMN,即,解得MN,ON,ANAMMN,在RtOAN中,OA,cosOAD18.(2019湖北省鄂州市)如图,矩形ABCD中,AB8,AD6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F(1)求证:四边形DEBF是平行四
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