2021版高考数学一轮复习选修4_5不等式选讲第2讲不等式的证明教学案理北师大版.docx

第2讲不等式的证明一、知识梳理1基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理推广：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立2不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等3数学归纳法证明不等式的关键使用数学归纳法证明与自然数有关的不等式，关键是由nk时不等式成立推证nk1时不等式成立，此步的证明要具有目标意识，要注意与最终达到的解题目标进行分析、比较，以便确定解题方向常用结论1a20(aR)2(ab)20(a，bR)，其变形有a2b22ab，ab，a2b2(ab)2.3若a，b为正实数，则.特别地，2.4a2b2c2abbcca.二、教材衍化1已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_解析：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0.所以ab0，ab0，2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案：MN2求证：2.证明：2()2(2)210210422124.故原不等式成立一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论()(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论()(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实()(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏设a，b(0，)，且abab1，则有()Aab2(1)Bab1Cab2(1)解析：选A.由已知得ab1ab，故有(ab)24(ab)40，解得ab22或ab22(舍去)，即ab22.(当且仅当ab1时取等号)故选A.比较法证明不等式(师生共研) 设a，b是非负实数，求证：a3b3(a2b2)【证明】因为a，b是非负实数， 所以a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5当ab时，从而()5()5，得()()5()50；当ab时，从而()50. 所以a3b3(a2b2)比较法证明不等式的方法与步骤(1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论(2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法 1当p，q都是正数且pq1时，试比较(pxqy)2与px2qy2的大小解：(pxqy)2(px2qy2)p2x2q2y22pqxy(px2qy2)p(p1)x2q(q1)y22pqxy.因为pq1，所以p1q，q1p.所以(pxqy)2(px2qy2)pq(x2y22xy)pq(xy)2.因为p，q为正数，所以pq(xy)20，所以(pxqy)2px2qy2.当且仅当xy时，不等式中等号成立2已知a，b(0，)，求证：abba(ab).证明：abba.当ab时，1；当ab0时，00，a0时，1，0，0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.【证明】法一(综合法)：(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.法二(分析法)：(1)因为a0，b0，a3b32.要证(ab)(a5b5)4，只需证(ab)(a5b5)(a3b3)2，即证a6ab5a5bb6a62a3b3b6，即证a4b42a2b2，因为(a2b2)20，即a4b42a2b2成立故原不等式成立(2)要证ab2成立，只需证(ab)38，即证a33a2b3ab2b38，即证ab(ab)2，即证ab(ab)a3b3，即证ab(ab)(ab)(a2abb2)，即证aba2abb2，显然成立故原不等式成立分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要搞清已知什么，还要明确要干什么，通常用分析法找到解题思路，用综合法书写证题过程 1(2019高考全国卷)已知a，b，c为正数，且满足abc1，证明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.证明：(1)因为a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，且abc1，故有a2b2c2abbcca.所以a2b2c2.(2)因为a，b，c为正数且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3(2)(2)(2)24.所以(ab)3(bc)3(ca)324.2(2020湖南长沙长郡中学调研)已知函数f(x)|x2|.(1)解不等式f(x)4|x1|；(2)已知ab2(a0，b0)，求证：|x2.5|f(x).解：(1)f(x)4|x1|，即|x2|x1|4，则得x0.5.所以原不等式的解集为x|x0.5(2)证明：|x2.5|f(x)|x2.5|x2|4.5，(ab)()(41)(54)4.5，所以|x2.5|f(x).反证法证明不等式(师生共研) 设0a，b，c，(1b)c，(1c)a，三式相乘得(1a)b(1b)c(1c)a，又因为0a，b，c1，所以00，abbcca0，abc0，求证：a，b，c0.证明：(1)设a0，所以bc0，则bca0，所以abbccaa(bc)bc0矛盾，所以必有a0.同理可证b0，c0.综上可证a，b，c0.放缩法证明不等式(师生共研) 若a，bR，求证：.【证明】当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，所以.综上，原不等式成立“放”和“缩”的常用技巧在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：(1)变换分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN+，k1.(2)利用函数的单调性(3)真分数性质“若0a0，则”提醒在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度 设n是正整数，求证：n(k1，2，n)，得.当k1时，；当k2时，；当kn时，所以0，所以0.所以t213t.2(2020榆林模拟)已知函数f(x)|x1|x1|.(1)求函数f(x)的最小值a；(2)根据(1)中的结论，若m3n3a，且m0，n0，求证：mn2.解：(1)f(x)|x1|x1|x1(x1)|2，当且仅当(x1)(x1)0即1x1时取等号，所以f(x)min2，即a2.(2)证明：假设mn2，则m2n，m3(2n)3.所以m3n3(2n)3n326(1n)22.由(1)知a2，所以m3n32.矛盾，所以mn2.3(2020宣城模拟)已知函数f(x)|2x1|x2|，集合Ax|f(x)3(1)求集合A；(2)若实数s，tA，求证：.解：(1)函数f(x)|2x1|x2|首先画出yf(x)与y3的图象如图所示可得不等式f(x)3的解集A.(2)证明：因为实数s，tA，所以s，t.所以1t2(1t2)(s21)0，所以，所以0，b0，abm，证明：.解：(1)|2x|2x1|2x(2x1)|1，当且仅当2x(2x1)0即0x时取等号，故m1.所以实数m的取值范围为1，)(2)证明：由题知ab1，又(a2b2ab)(ab)2，所以(ab).综合题组练1设不等式|x1|x1|1.解：(1)由已知，令f(x)|x1|x1|由|f(x)|2得1x1，即Ax|1x1，只需证|1abc|abc|，只需证1a2b2c2a2b2c2，只需证1a2b2c2(1a2b2)，只需证(1a2b2)(1c2)0，由a，b，cA，得1ab1，c20恒成立综上，1.2已知函数f(x)k|x3|，kR，且f(x3)0的解集为1，1(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且1，求证：a2b3c9.解：(1)因为f(x)k|x3|，所以f(x3)0等价于|x|k，由|x|k有解，得k0，且解集为k，k因为f(x3)0的解集为1，1因此k1.(2)证明：由(1)知1，因为a，b，c为正实数，所以a2b3c(a2b3c)3332229.当且仅当a2b3c时，等号成立因此a2b3c9.3已知函数f(x)ax2bxc(a，b，cR)，当x1，1时，|f(x)|1.(1)求证：|b|1；(2)若f(0)1，f(1)1，求实数a的值解：(1)证明：由题意知f(1)abc，f(1)abc，所以bf(1)f(1)因为当x1，1时，|f(x)|1，所以|f(1)|1，|f(1)|1，所以|b|f(1)f(1)|f(1)|f(1)|1.(2)由f(0)1，f(1)1可得c1，b2a，所以f(x)ax2(2a)x1.当a0时，不满足题意，当a0时，函数f(x)图象的对称轴为x，即x.因为x1，1时，|f(x)|1，即|f(1)|1，所以|2a3|1，解得1a2.所以0，故|f|a(2a)1|1.整理得|1|1，所以111，所以20，又a0，所以0，所以0，所以a2.4(2019高考全国卷)设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解：(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(