2021版高考数学一轮复习选修4_4坐标系与参数方程第1讲坐标系教学案理北师大版.docx

第1讲坐标系一、知识梳理1坐标系(1)伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点(x，y)，称为平面直角坐标系中的伸缩变换(2)极坐标系在平面内取一个定点O叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为，有序数对(，)叫做点M的极坐标，记为M(，)2直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则3直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)4圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r，则该圆的方程为：220cos(0)r20.常用结论几种简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02)圆心为(r，0)，半径为r的圆2rcos ()圆心为(r，)，半径为r的圆2rsin (0)过极点，倾斜角为的直线(1)(R)或(R)，(2)和过点(a，0)，与极轴垂直的直线cos a()过点(a，)，与极轴平行的直线sin a(00，b0，所以a3，b2. (1)平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，整理得yh(x)为所求(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P(x，y)的坐标关系，用方程思想求解 极坐标与直角坐标的互化(师生共研) 在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程【解】(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2. 极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos 及ysin 直接代入直角坐标方程并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos ，sin ，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧 1在极坐标系中，已知圆O：cos sin 和直线l：sin(0，00)在曲线C：4sin 上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解：(1)因为M(0，0)在C上，当0时，04sin 2.由已知得|OP|OA|cos 2.设Q(，)为l上除P的任意一点连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos 4cos ，即4cos .因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos ，.极坐标方程的应用(师生共研) (2020江淮十校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系(1)求曲线C的极坐标方程；(2)已知A，B是曲线C上任意两点，且AOB，求OAB面积的最大值【解】(1)消去参数，得到曲线C的普通方程为(x2)2y24，故曲线C的极坐标方程为4cos .(2)在极坐标系中，不妨设A(1，0)，B(2，0)，其中10，20，0，由(1)知：14cos 0，24cos(0)OAB面积S12sin 4cos 0cos(0)，S2cos206sin 0cos 0(1cos 20)3sin 202cos，当200时，即0时，cos有最大值1.此时Smax3.故OAB面积的最大值为3.极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正半轴重合；取相同的长度单位(2)若把直角坐标化为极坐标求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定取正值，0，2)，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)建立一一对应关系 1在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中为参数)，曲线C2：1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线l：(0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且点A，B均异于原点O)，当00，所以.4在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数)，曲线C2：x2y22y0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：(0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O)(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0时，求|OA|2|OB|2的取值范围解：(1)因为(为参数)，所以曲线C1的普通方程为y21.由得曲线C1的极坐标方程为2.因为x2y22y0，所以曲线C2的极坐标方程为2sin .(2)由(1)得|OA|22，|OB|224sin2，所以|OA|2|OB|24sin24(1sin2)4，因为0，所以11sin22，所以64(1sin2)9，所以|OA|2|OB|2的取值范围为(2，5)综合题组练1在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程是x4.曲线C的参数方程是(为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l和曲线C的极坐标方程；(2)若射线与曲线C交于点O，A，与直线l交于点B，求的取值范围解：(1)由xcos ，得直线l的极坐标方程为cos 4.曲线C的参数方程为(为参数)，消去参数得曲线C的普通方程为(x1)2(y1)22，即x2y22x2y0，将x2y22，xcos ，ysin 代入上式得22cos 2sin ，所以曲线C的极坐标方程为2cos 2sin .(2)设A(1，)，B(2，)，则12cos 2sin ，2，所以(sin 2acos 2)sin，因为0，所以2，所以sin1，所以sin.故的取值范围是.2在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y6，圆C的参数方程是(为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)分别求直线l与圆C的极坐标方程；(2)射线OM：与圆C的交点为O，P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求的最大值解：(1)直线l的方程是y6，可得极坐标方程为sin 6，圆C的参数方程是(为参数)，可得普通方程为x2(y1)21，展开为x2y22y0.化为极坐标方程为22sin 0，即2sin .(2)由题意可得，点P，M的极坐标为(2sin ，)，(，)所以|OP|2sin ，|OM|，可得.同理可得.所以.当时，取等号所以的最大值为.3在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为(为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为1，直线l2的方程为2.(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围解：(1)由(为参数)，消去参数，得曲线M的普通方程为(x1)2(y1)28，所以曲线M是以(1，1)为圆心，2为半径的圆(2)设|OA|1，|OC|2，因为O，A，C三点共线，则|AC|12|(*)，将曲线M的方程化成极坐标方程，得22(sin cos )60，所以代入(*)式得|AC|.用代替，得|BD|，又l1l2，所以S四边形ABCD|AC|BD|，所以S四边形ABCD2，因为sin220，1，所以S四边形ABCD8，144在极坐标系中，已知曲线C1：cos，C2：1(0)，C3：sin2.设C1与C2交于点M.(1)求点M的极坐标；(2)若直线l过点M，且与曲线C3交于不同的两点A，B，求的最小值解：(1)曲线C1：cos，可得xy1，C2：1(0)，可得x2y21(y0)，由可得点M的直角