一阶系统的数学模型

3 2 1一阶系统的数学模型 单位脉冲信号与单位阶跃信号的一阶导数 单位斜坡信号的二阶导数和单位加速度信号的三阶导数相等 单位脉冲响应与单位阶跃响应的一阶导数 单位斜坡响应的二阶导数和单位加速度响应的三阶导数也相等 3 2 5一阶系统的单位加速度响应 线性系统的特点 开环传递函数为 闭环传递函数为 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统 它在控制工程中的应用极为广泛 许多高阶系统在一定的条件下 也可简化为二阶系统来研究 典型二阶系统的微分方程 3 3 1典型二阶系统的数学模型 称为典型二阶系统的传递函数 称为阻尼系数 称为无阻尼振荡圆频率或自然频率 这两个参数称为二阶系统特征参数 T称为二阶系统的时间常数 注意 当不同时 特征根有不同的形式 系统的阶跃响应形式也不同 它的阶跃响应有振荡和非振荡两种情况 当时 特征方程有一对共轭的虚根 称为零 无 阻尼系统 系统的阶跃响应为持续的等幅振荡 当时 特征方程有一对实部为负的共轭复根 称为欠阻尼系统 系统的阶跃响应为衰减的振荡过程 当时 特征方程有一对相等的实根 称为临界阻尼系统 系统的阶跃响应为非振荡过程 当时 特征方程有一对不等的实根 称为过阻尼系统 系统的阶跃响应为非振荡过程 阻尼系数 特征根 极点分布和单位阶跃响应形式如下表所示 3 3 3典型二阶系统的性能指标 衰减振荡瞬态过程 最大超调量 2 调节时间 例 有一位置随动系统 其方块图如图所示 其中K 4 T 1 试求 1 该系统的无阻尼振荡频率wn 2 系统的阻尼系数z 3 系统超调量d 和和调整时间ts 4 如果要求z 0 707 在不改变时间常数T的情况下 应怎样改变系统开环放大系数K 解 系统的闭环传递函数为 4 当要求在z 0 707时 wn 1 2z 0 707 则K wn2 0 5 可见要满足二阶工程最佳参数的要求 该例中为增加阻尼系数 必须降低开环放大系数K的值 传递函数 当0 z 1时 极点分布如下 3 4 1典型三阶系统的瞬态响应 三阶系统的单位阶跃响应由三部分组成 稳态项 共轭复极点形成的振荡分量 实极点构成的衰减指数项分量 闭环系统若存在离虚轴最近的一对共轭极点或一个实极点 极点附近无零点 其他极点距虚轴的距离是离虚轴最近的极点距虚轴的距离的5倍以上 主导极点 满足下列条件的极点称为主导极点 主导极点在y t 中的对应项衰减最慢 系数最大 系统的瞬态性能指标主要由它决定 具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶系统 3 4 3闭环主导极点 3 5 2线性控制系统稳定性 充分必要条件 线性系统稳定的充要条件 系统特征方程的根 即传递函数的极点 全为负实数或具有负实部的共轭复根 或者说 特征方程的根应全部位于s平面的左半部 一 胡尔维茨判据 胡尔维茨行列式的构造 主对角线上的各项为特征方程的第二项系数至最后一项系数 在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加 在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小 当下标大于n或小于0时 行列式中的项取0 胡尔维茨行列式 3 5 3代数稳定性判据 胡尔维茨稳定性判据 以4阶系统为例使用胡尔维茨判据 稳定的充要条件是 设线性系统的特征方程为 线性系统稳定的充分必要条件是 1 方程式所有系数为正 2 所有奇数阶或偶数阶胡尔维茨行列式为正 即 奇 0或 偶 0 根据李纳德 戚帕特判据 若系统特征方程式的各项系数中有负或零 缺项 则系统是不稳定的 对于n 4的线性系统 其稳定的充要条件还可以表示为如下简单形式 n 2时 特征方程的各项系数严格为正 n 3时 特征方程的各项系数严格为正 且 2 0n 4时 特征方程的各项系数严格为正 且 2 0以及 2 an 12an 4 an 3 3 5 3代数稳定性判据 胡尔维茨稳定性判据的另一种形式 李纳德 戚帕特判据 例2 设线性系统的开环传递函数为 试判断系统稳定时K T应满足的条件 根据李纳德 戚帕特判据 K 0 T 0且 二 劳斯判据设线性系统的特征方程为 劳斯阵列的前两行元素由特征方程的系数组成 第一行由特征方程的第一 三 五 项系数组成 第二行由特征方程的第二 四 六 项系数组成 若特征方程有缺项 则该项系数以零计 劳斯阵如下 3 5 3代数稳定性判据 劳斯稳定性判据 以后各项的计算式为 依次类推 可求得 劳斯判据 系统特征方程具有正实部根的数目与劳斯阵列第一列元素中符号变化的次数相等 根据这个判据可以得出线性系统稳定的充分必要条件为 由系统特征方程系数组成的劳斯阵列的第一列元素没有符号变化 若劳斯阵列第一列元素的符号有变化 其变化的次数等于该特征方程的根在s右半平面的个数 表明相应的线性系统不稳定 一 劳思阵某一行第一项系数为零 而其余系数不全为零 导致劳思阵下一列无法计算 处理办法 用很小的正数代替零的那一项 然后据此计算出劳斯阵列中的其他项 若第一次零 即 与其上项或下项的符号相反 计作一次符号变化 3 5 3代数稳定性判据 劳斯稳定性判据的特殊情况 二 劳斯阵某行系数全为零的情况 表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根 至少有下述几种情况之一出现 如 大小相等 符号相反的一对实根 或一对共轭虚根 或对称于虚轴的两对共轭复根 处理办法 可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程 对此辅助方程式对s求导所得方程的系数代替全零的行 大小相等 位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到 辅助方程应为偶次数的 例5 设线性系统特征方程式为 试判断系统的稳定性 解 建立劳斯表 若劳斯表某行第一列系数为零 则劳斯表无法计算下去 可以用无穷小的正数 代替0 接着进行计算 劳斯判据结论不变 由于劳斯表中第一列系数有负 系统是不稳定的 例9 系统的特征方程为 该系统稳定吗 解 劳斯阵如下 劳斯阵第一列系数全为正 所以系统稳定 控制系统的稳态误差 定义 误差信号在时间趋于无穷大时的数值定义为系统的稳态误差 记为 即 误差信号包括瞬态分量和稳态分量两部分 由于系统必须稳定 故当时间趋于无穷大时 必有瞬态分量趋于零 因而 控制系统的稳态误差定义为误差信号的稳态分量 对于稳定的系统 稳态误差可以借助拉